专题04 平面向量（10题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题04 平面向量 题型概览 题型01向量的概念及线性运算 题型02共线向量问题 题型03平面向量基本定理及其应用 题型04向量的数量积 题型05向量的坐标运算 题型06向量模的问题 题型07向量的夹角问题 题型08向量的应用 题型09向量的综合问题 题型10向量的新定义问题 优选提升题 ( 题型01 ) 向量的概念及线性运算 1．（23-24高一下·云南·期末）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 2．（23-24高一下·云南·期末）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·云南·期末）以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量 ( 题型02 ) 共线向量问题 1．（23-24高一下·云南·期末）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南玉溪·期末）向量，且∥，则实数（    ） A．5 B． C．2 D． 4．（23-24高一下·云南大理·期末）设向量，若向量与平行，则 . 5．（23-24高一下·云南·期末）已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A，B，D三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值． ( 题型03 ) 平面向量基本定理及其应用 1．（23-24高一下·云南·期末）在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 ( 题型04 ) 向量的数量积 1．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）已知，，则在方向上的投影的坐标为 . 3．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八遍园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为的正八边形中，若内的一点满足，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 向量的坐标运算 1．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 3．（23-24高一下·云南·期末.2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知，，绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为 ；一般地，绕A逆时针旋转得到，则的坐标为 ． ( 题型0 6 ) 向量模的问题 1.（23-24高一下·云南·期末）已知正方形的边长为，，，则等于（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．10 B． C． D．13 3．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 4．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．8 D．40 5．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，，若，则 . ( 题型0 7 ) 向量的夹角问题 1．（23-24高一下·云南·期末）若向量满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南普洱·期末）若，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知向量满足，，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·云南曲靖·期中）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ． ( 题型0 8 ) 向量的应用 1.（23-24高一下·云南·期末）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D． 2．（20-21高一下·云南昆明·期中）已知三个力，，作用在平面内某物体的同一点上，使得该物体保持静止，若，，则 ( 题型0 9 ) 向量的综合问题 1．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．在方向上的投影向量为 2．（多选）（23-24高一下·云南·期末）下列说法正确的是（　　） A． B．若，则与的夹角是钝角 C．向量能作为平面内所有向量的一个基底 D．若，则在上的投影向量为 3．（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量是 B． C．向量与向量的夹角为 D． 4．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．与的夹角余弦值为 D．若，则 5.（23-24高一下·云南·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 6．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知平面向量满足． (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的大小． 7．（23-24高一下·云南·期末）已知，，且与的夹角为. (1)求. (2)求. 8．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，，，且，． (1)求向量、； (2)若，，求向量，的夹角的正弦值． 9．（23-24高一下·云南·期末）已知平面向量，且． (1)求和； (2)若，求向量与向量的夹角的大小． ( 题型 10 ) 向量的新定义问题 1．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 1．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 2．（23-24高一下·云南·期末）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一下·云南·期末）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． (1)以为基底表示； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）所有非零向量构成的集合为，对于，定义. (1)已知，若，且，求； (2)已知，若，且，求； (3)已知，当时，若关于的方程有三个连续的实数根，且，求实数的值. 5．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 6．（23-24高一下·云南玉溪·期末）类比于二维空间（即平面），向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，，且维空间向量满足. (1)当，求. (2)证明：； (3)若是正实数，且满足，求证：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量 题型概览 题型01向量的概念及线性运算 题型02共线向量问题 题型03平面向量基本定理及其应用 题型04向量的数量积 题型05向量的坐标运算 题型06向量模的问题 题型07向量的夹角问题 题型08向量的应用 题型09向量的综合问题 题型10向量的新定义问题 优选提升题 ( 题型01 ) 向量的概念及线性运算 1．（23-24高一下·云南·期末）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 2．（23-24高一下·云南·期末）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加法、减法法则计算即得. 【详解】. 故选：C 3．（多选）（23-24高一下·云南·期末）以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD ( 题型02 ) 共线向量问题 1．（23-24高一下·云南·期末）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 2．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理的推论 【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得. 【详解】因为所以 由, 因三点共线，由共线定理推论可得，解得 故选：A. 3．（23-24高一下·云南玉溪·期末）向量，且∥，则实数（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的线性运算可得，结合向量平行的坐标运算分析求解. 【详解】因为，则， 若∥，则，解得. 故选：D. 4．（23-24高一下·云南大理·期末）设向量，若向量与平行，则 . 【答案】/ 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】分别求出向量的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出的值； 【详解】因为向量， 若向量与平行，所以， 解得. 故答案为：. 5．（23-24高一下·云南·期末）已知非零向量不共线． (1)如果，求证：A，B，D三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线； （2）根据已知条件有，求得，解出k即可. 【详解】（1）, ， 所以共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线 （2）因为和是方向相反的两个向量， 所以存在实数，使，且 又不共线，所以，解得，或， 因为，所以，所以 ( 题型03 ) 平面向量基本定理及其应用 1．（23-24高一下·云南·期末）在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案. 【详解】因为O是AC的中点， ，又由可得E是DO的中点， . 故选：B. 2．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B.    ( 题型04 ) 向量的数量积 1．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用在上的投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量的坐标为． 故选：D． 2．（23-24高一下·云南·期末）已知，，则在方向上的投影的坐标为 . 【答案】 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】首先求出，，再根据投影的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影的坐标为. 故答案为： 3．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八遍园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为的正八边形中，若内的一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】设，利用余弦定理求出，再由勾股定理得出，求出，再由求解即可. 【详解】设正八边形的中心为，， 在中，，， 由余弦定理得，解得， 在中，，由勾股定理得，所以. 所以， 设，，，又， 则 ， 所以， 所以 . 故选：A. ( 题型0 5 ) 向量的坐标运算 1．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标计算向量的模、向量的线性运算的几何应用、零向量与单位向量 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】向量，， 所以与向量同向的单位向量为. 故选：B 2．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直转化为数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，且， 所以, 则，所以， 故选：B． 3．（23-24高一下·云南·期末.2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知，，绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为 ；一般地，绕A逆时针旋转得到，则的坐标为 ． 【答案】 / 【知识点】向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】利用向量逆时针旋转的角度得到对应向量的坐标，结合三角函数的和差公式即可得解. 【详解】依题意，得设与轴的正方向的夹角为， 所以所以 所以， 将向量绕点逆时针旋转得到， 则 因为绕点A逆时针旋转得到， 所以， 又，所以P的坐标为： 故答案为：；. ( 题型0 6 ) 向量模的问题 1.（23-24高一下·云南·期末）已知正方形的边长为，，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的模、向量加法法则的几何应用 【分析】结合向量的加法原则即可得，然后计算长度即可. 【详解】设AB的中点为E，故=， 所以=+=，而，故=. 故选：D 2．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据模长的计算公式即可代入求值. 【详解】因为向量，它们的夹角为，所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】先根据已知条件求出，再由化简计算即可 【详解】因为向量，它们的夹角为， 所以， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．8 D．40 【答案】B 【知识点】数量积的运算律 【分析】所求模平方后，根据向量的数量积的运算律化简求解即可. 【详解】因为向量，满足，，， 所以， 则， 故选：B． 5．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据和代入计算整理． 【详解】因为向量，，且，所以，解得，. 故答案为：． ( 题型0 7 ) 向量的夹角问题 1．（23-24高一下·云南·期末）若向量满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】设向量与的夹角为，由得，根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】设向量与的夹角为， 由得，，即， 因为，所以， 故选：B． 2．（23-24高一下·云南普洱·期末）若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据平面向量夹角的坐标公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 3．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知向量满足，，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的计算 【分析】根据题意直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量满足，，且， 所以， 因为，所以. 故选：A 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】先根据垂直得出，再根据夹角坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 5．（22-23高一下·云南曲靖·期中）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】由为钝角，得到且与夹角不为，代入公式计算，再看与夹角是否可能为即可得解. 【详解】由，且为钝角，所以，解得， 当时，则，解得，此时与夹角为，不成立， 且． 故答案为：且． ( 题型0 8 ) 向量的应用 1.（23-24高一下·云南·期末）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据路程、位移的概念分别求出、即可得解. 【详解】因为一架飞机向西飞行，再向东飞行， 则飞机飞行的路程， 位移为向东，所以， 所以. 故选：A 2．（20-21高一下·云南昆明·期中）已知三个力，，作用在平面内某物体的同一点上，使得该物体保持静止，若，，则 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据，利用向量的运算法则即可求出． 【详解】设，由条件知，所以，解得，，所以． 故答案为：． ( 题型0 9 ) 向量的综合问题 1．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】求投影向量、向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的计算 【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法验证即可. 【详解】由，，则与不平行，故错误； ，，则，故正确； ，， ，故正确； ，即在方向上的投影向量为，故正确. 故选：. 2．（多选）（23-24高一下·云南·期末）下列说法正确的是（　　） A． B．若，则与的夹角是钝角 C．向量能作为平面内所有向量的一个基底 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AD 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、基底的概念及辨析、平面向量的混合运算 【分析】对于A：直接计算判断；对于B：当与反向，举反例判断；对于C：判断是否平行即可；对于D：直接计算投影向量即可. 【详解】，A正确； 当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确； 因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确； 在上的投影向量为，D正确. 故选：AD. 3．（多选）（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量是 B． C．向量与向量的夹角为 D． 【答案】BD 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先利用向量垂直坐标表示验证选项D，选项B利用平面向量模的公式计算即可，选项C利用向量夹角的坐标表示求解即可；选项A利用向量坐标求解投影向量即可. 【详解】对于D，因为，所以， 所以，故D正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又，则，故C错误； 对于A，在方向上的投影向量为，故A错误. 故选：BD. 4．（多选）（23-24高一下·云南·期末）已知向量，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．与的夹角余弦值为 D．若，则 【答案】BC 【知识点】由坐标判断向量是否共线、平面向量数量积的几何意义、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】A．先计算出，然后通过计算是否为进行判断； B．先计算出向量在向量上的投影，则对应投影向量可知； C．先计算出，根据求解出结果； D．根据向量共线对应的坐标关系进行判断. 【详解】A．因为，所以，故错误； B．因为向量在向量上的投影为， 又，所以向量在向量上的投影向量为，故正确； C．因为，所以，所以，故正确； D．因为，所以，所以不成立，故错误； 故选：BC. 【点睛】结论点睛：已知向量， （1）若，则有； （2）若，则有. 5.（23-24高一下·云南·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由得，通过坐标运算即可； （2）由得存在实数，使得，对应系数相等即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为， 所以， ， 所以， 即， 所以． （2）因为， 所以为一组基向量， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以， 因为， 所以． 6．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知平面向量满足． (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的大小． 【答案】(1) (2)． 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参； （2）先根据垂直结合向量的模长求出，最后根据夹角公式计算即可. 【详解】（1）根据题意可得， 解得． （2）由，得． 因为，所以， 所以， 所以， 又，所以． 7．（23-24高一下·云南·期末）已知，，且与的夹角为. (1)求. (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）先求得，再利用数量积的运算律求解； （2）先求得，根据向量模的求法，结合数量积的运算律求解. 【详解】（1）解：因为，，且与的夹角为， 所以， 所以 ； （2）， . 8．（23-24高一下·云南·期末）已知向量，，，且，． (1)求向量、； (2)若，，求向量，的夹角的正弦值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据题意，由向量平行于垂直的坐标表示代入计算，即可求解； （2）根据题意，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，，，且，， 所以，， 所以，， 所以，； （2）设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以，． 9．（23-24高一下·云南·期末）已知平面向量，且． (1)求和； (2)若，求向量与向量的夹角的大小． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据平面向量平行，垂直的坐标表示，代入计算，即可解出； （2）求出向量，，再根据平面向量的夹角公式，结合坐标运算，即可解出. 【详解】（1）因为，则，所以. 因为，则，所以. 所以，； （2）因为，， 所以． 设与向量的夹角为，则 ， 因为，所以，即与的夹角为. ( 题型 10 ) 向量的新定义问题 1．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期末）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、向量新定义 【分析】对于A，由题意可得，进一步即可判断；对于B，由三角形面积公式即可判断；对于C，由向量的夹角公式、模的计算公式直接验算即可；对于D，由条件等式得，结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解. 【详解】对于A中，因为是非零向量，由，可得，即， 可得，且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知， 则，且，可得， 所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确， 故选：BCD. 1．（23-24高一下·云南·期末）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 2．（23-24高一下·云南·期末）已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】设，构造平行四边形，由于恒成立，即恒成立，结合正弦定理将恒成立问题转化为最值问题，即可求解. 【详解】设，如图作平行四边形，    则，令， 由于恒成立，即恒成立， 在中，， ， ， 由于恒成立，故， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 3．（23-24高一下·云南·期末）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． (1)以为基底表示； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由三点共线及三点共线，结合平面向量共线定理列出方程组求解即可； （3）设，，再用表示出求得和，得出，结合即可得出． 【详解】（1）． （2）连接， 则， 因为，， 所以，， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得． （3）设，， 则， ， 所以，解得， 所以， ， 又因为， 所以，即， 所以． 4．（23-24高一下·云南曲靖·期末）所有非零向量构成的集合为，对于，定义. (1)已知，若，且，求； (2)已知，若，且，求； (3)已知，当时，若关于的方程有三个连续的实数根，且，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)3 (3)0 【知识点】数量积的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、正弦函数图象的应用、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）设，根据题意得到，结合进行求解； （2）根据题意得到方程，求出，化简得到，代入求解； （3）化简得到，故，结合正弦函数图象得到且，，又，得到方程，求出，代入，得到，求出答案. 【详解】（1）设，则，即， 又，解得， 当时，，当时，， 故或； （2）由题意得，即， 故， ； （3）， 即， 故， 故， 根据正弦图象及可知，且，， 又， 故，故， 则，所以， 即，解得. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 5．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 【答案】(1) (2)①②最小值为， 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解； （2）①分别得出，，，然后列方程求解即可； ②得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，则， ， 所以； （2）①因为，， ，， ， 则， 化简并整理得， 解得或（舍去，因为）， 则； ②依题意设，， 因为为AB中点，则， 同理， 则， 在中，，依据余弦定理得， 所以 在中，，由正弦定理， 设，则，， ，， 所以，当时，取最小值，此时取最小值， . 【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出，再结合正弦定理、余弦定理得出的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解. 6．（23-24高一下·云南玉溪·期末）类比于二维空间（即平面），向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，，且维空间向量满足. (1)当，求. (2)证明：； (3)若是正实数，且满足，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【知识点】向量新定义、基本不等式求和的最小值、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】（1）根据题意可得，结合夹角公式运算求解； （2）根据题意结合数量积的定义分析证明； （3）根据题意结合基本不等式分析证明. 【详解】（1）因为，则， 所以. （2）因为，， 则， 且，可得，当且仅当共线时，等号成立， 所以. （3）因为是正实数，则，当且仅当，即时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立， 同理可得：，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 此时满足，即等号成立， 所以. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$