第六章 立体几何初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第六章 立体几何初步 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 2.有下列叙述： ①相等的角，在直观图中仍相等； ②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等； ③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.若和是异面直线，和是异面直线，则与的位置关系是（    ） A． B．和异面 C．和相交 D．和平行、相交或异面 4.已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（　　） A．若n⊂α，m∥n，则m∥α B．若n⊂α，m⊥n，则m⊥α C．若α∥β，m∥α，则m∥β D．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β 5.有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 6.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（ ） A．； B．平面平面； C．直线平面； D．． 7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O.在构成的四面体中，下列说法错误的是（    ） A．平面EOF B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为 C．四面体的表面积为2 D．异面直线OH与AE所成角的余弦值为 8.三棱锥满足，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列命题中为假命题的是（      ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 11.如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（　　） A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若五棱台的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为 ． 13.为矩形所在平面外一点，且平面ABCD，P到B、C、D三点的距离分别为、、，则点到点的距离为 . 14.如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为 cm. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高. 16.（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面； 17.（15分）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 18.（17分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nào）．如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC． (1)几何体是否为鳖臑？说明理由； (2)若H是PB上的点，且，试找出图中所有和AH垂直的棱． 19.（17分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1=；③AA1=. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 立体几何初步 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、线面关系有关命题的判断 【分析】当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面可判断A；由平面的性质可判断BD；由空间两条直线的位置关系可判断C. 【详解】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，A错误； 对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，B错误； 对于C，三棱锥的三条侧棱所在的直线交于同一点，但这三条直线不共面，C错误； 对于D，若空间四点不共面，则任意三点不共线，否则若其中三点共线，则这四点共面，不合题意，D正确． 故选：D． 2.有下列叙述： ①相等的角，在直观图中仍相等； ②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等； ③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据直观图的基本画法，逐一判断即可. 【详解】已知等腰直角三角形，其中∠C=90°，AC=BC， 根据斜二测画法，可画出三角形的直观图三角形， 则，且，且， ①相等的角，在直观图中不一定相等； ②长度相等的线段，如果方向不一样，在直观图中长度不相等； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段不一定互相垂直； 所以，对于①②③④，从原图到直观图只能保证平行的仍平行，只有③正确． 故选：B． 3.若和是异面直线，和是异面直线，则与的位置关系是（    ） A． B．和异面 C．和相交 D．和平行、相交或异面 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】作出一个正方体，借助正方体的空间结构得出结果. 【详解】解：如图，在正方体中，取，， 若取时，和是异面直线，和是异面直线，则； 若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和相交； 若取时，和是异面直线，和是异面直线，则和异面. 综上所述，和平行、相交或异面. 故选：D. 4.已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（　　） A．若n⊂α，m∥n，则m∥α B．若n⊂α，m⊥n，则m⊥α C．若α∥β，m∥α，则m∥β D．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】可通过分别对线在面内和面外两种情况结合直线与平面平行以及垂直的性质分别进行分析判断即可． 【详解】对于A选项，n⊂α，m∥n，则m∥α或m⊂α，故A错误； 对于B选项，n⊂α，m⊥n，则m⊥α或m⊂α或m∥α或，相交，故B错误； 对于C选项，α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故C错误； 对于D选项，m⊥β，m⊂α，则必有α⊥β，故D正确， 故选：D． 5.有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据两点之间线段最短，利用圆木的侧面展开图计算葛藤长的最小值. 【详解】 取圆木两个的侧面展开图如上，如图，在中，（即圆木的高）长24尺，（尺），因此葛藤长的最小值为（尺），即为2丈6尺． 故选：C. 6.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（ ） A．； B．平面平面； C．直线平面； D．． 【答案】D 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】A.由平面，结合，易得平面判断； B.过作于，结合平面平面，可得，再由，易得平面判断；C.根据与是相交直线，则两直线有公共点判断； D.在中，根据求解判断. 【详解】A.∵平面，则，若，， 则平面，可得，但是与成，故错误， B.如图所示：， 过作于，如果平面平面，可得， ∵，且，∴平面，∴，矛盾，故错误； C.因为与是相交直线，所以一定不与平面平行，故错误； D.在中，因为，所以，故正确． 故选：D． 【点睛】方法点睛：（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质（2）证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O.在构成的四面体中，下列说法错误的是（    ） A．平面EOF B．直线AH与平面EOF所成角的正切值为 C．四面体的表面积为2 D．异面直线OH与AE所成角的余弦值为 【答案】C 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、求线面角、棱锥表面积的有关计算 【分析】根据已知图形折叠成立体图形分别证明线面垂直判断A,计算异面直线所成角判断D,计算线面角判断B,计算三棱锥的表面积判断C. 【详解】对A,翻折前，，故翻折后，，又平面EOF，平面EOF，故A正确. 对B,连接OH，AH，如图， 则为AH与平面EOF所成的角. 翻折前，，故翻折后，. ，H是EF的中点， . 又，故B正确. 对C,由题知四面体的表面积即为正方形ABCD的面积， ，故C错误. 对D,取AF的中点P，连接OP，HP. 点P是AF的中点，点H是EF的中点，， （或其补角）为异面直线OH与AE所成的角. ， ， 由余弦定理得，故D正确. 故选:C. 8.三棱锥满足，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】设，，由题意，当三棱锥的体积最大时，必定有面面，表示三棱锥的体积，借助函数知识即可得到结果. 【详解】解：设，，由题意，当三棱锥的体积最大时，必定有面面，过作于D，即就是三棱锥的最大高， 在中，， 又，， 又， 令，由， 在上单调递减， 当时，即时，. 故选：A 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列命题中为假命题的是（      ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】ABC 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】ABC均可以举出反例，D选项是真命题. 【详解】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A错误； 对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立，如图，满足要求，但不是棱柱，B错误； 对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误； D选项，正四棱柱是平行六面体，D正确． 故选：ABC． 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 【答案】ABD 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误. 【详解】 设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，故, 故AB正确. 而正三棱锥的体积为，侧面积为， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 11.如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（　　） A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC 【答案】CD 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【详解】利用反证法思想说明AB错误；由直线与平面平行的判定判断C；由平面与平面垂直的判定判断D． 【解答】解：对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA， 又PA∩PB＝P，平面，∴AC⊥平面PAB，而平面，则AC⊥AB，与∠CAB是锐角矛盾，故A错误； 对于B，∵点C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直， 若OC⊥平面PAB，则OC一定与AB垂直，故B错误； 对于C，∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴OM∥PA， 而OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正确； 对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC， 且PA∩AC＝A，平面，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，则平面PAC⊥平面PBC，故D正确． 故选：CD． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若五棱台的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为 ． 【答案】5 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】由即求. 【详解】， 则． 故答案为：5. 13.为矩形所在平面外一点，且平面ABCD，P到B、C、D三点的距离分别为、、，则点到点的距离为 . 【答案】1 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】分别设，利用勾股定理建立等式分别求出，即得. 【详解】如图所示，设，因为平面， 易得， 在中，， 同理，， 解得，所以， 故答案为：1. 14.如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为 cm. 【答案】// 【知识点】柱体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式以及圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为， 圆柱形容器中液态原料的体积为，解得， 即圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】（1）根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积； （2）设圆柱的高，，根据三角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，即可得解； 【详解】（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示： 设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长， 所以， 所以，故圆锥的底面积为； （2）设圆柱的高，， 在中，， ∽，所以，即，， 圆柱侧面积为：， 所以，当，时，圆柱的侧面积最大. 16.（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）由题意利用线面平行的性质定理即可证明； （2）取的中点，连接，由（1）可证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得平面. 【详解】（1）根据题意可得，平面， 平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点为，连接，如下图所示：    由是的中点，是的中点，可得，且； 由（1）知，且，所以，且； 所以四边形是平行四边形， 即，又平面，平面； 所以平面. 17.（15分）如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）直接按照锥体表面积计算即可； （2）利用正方体的体积减去三棱锥，，，的体积即可. 【详解】（1）∵是正方体， ∴， ∴三棱锥的表面积为． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 且正方体的体积为，故． 18.（17分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nào）．如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC． (1)几何体是否为鳖臑？说明理由； (2)若H是PB上的点，且，试找出图中所有和AH垂直的棱． 【答案】(1)几何体是鳖臑，理由见详解； (2)和AH垂直的棱有： 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，由平面ABC，得均为直角三角形，再根据线面垂直的判定定理证明平面，所以，所以为直角三角形，即可得证. （2）因为，再根据线面垂直的性质定理证明，从而证明平面，继而找出和AH垂直的棱. 【详解】（1）几何体是鳖臑，理由如下：因为平面ABC，所以，所以均为直角三角形，又因为△ABC是直角三角形，，所以，又因为平面ABC，所以，，所以平面，所以，所以为直角三角形，即四个面都为直角三角形，所以几何体是否为鳖臑. （2）因为，又由（1）知平面，所以，且，所以平面，所以，所以与AH垂直的棱有. 19.（17分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； （2）在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1=；③AA1=. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【知识点】棱柱的结构特征和分类、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】(1)根据给定条件证得C1D⊥A1B1及AA1⊥C1D即可推理作答； (2)连接DF，A1B，选①③，先证DF⊥AB1，再结合(1)证得C1D⊥AB1即可证得AB1⊥平面C1DF，选①②、选②③推理说明不能证得结论成立. 【详解】（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，依题意有A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°， 又D是A1B1的中点，则C1D⊥A1B1，又AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1， 于是得AA1⊥C1D，又A1B1AA1=A1，A1B1平面AA1B1B，AA1平面AA1B1B， 所以C1D⊥平面AA1B1B； （2）(ⅰ)选①③能证明AB1⊥平面C1DF， 连接DF，A1B，如图， 则DF∥A1B，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则AB=，又AA1=，于是得四边形AA1B1B为正方形， 则有A1B⊥AB1，从而有DF⊥AB1，因C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B， 因此得C1D⊥AB1，DFC1D=D，C1D平面C1DF，DF平面C1DF， 所以AB1⊥平面C1DF； (ⅰⅰ)选①②不能证明AB1⊥平面C1DF， 连接DF，A1B，如图， 则DF∥A1B，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则AB=，AA1=， 于是得四边形AA1B1B为长方形，则有A1B与AB1不垂直，即有DF与AB1不垂直， 所以AB1不垂直于平面C1DF； (ⅰⅰⅰ)选②③不能证明AB1⊥平面C1DF， 在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，则AB=，又，矛盾， 所以不能证明AB1⊥平面C1DF， 综上：(ⅰ)选①③能证明AB1⊥平面C1DF. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$