7.3 定义、命题、定理（三大知识点梳理+三大题型过关）-2024-2025学年人教版（2024）七年级下册 胸有成竹系列知识梳理题型过关宝典

7.3 定义、命题、定理 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•福州校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间线段最短 2．（2024秋•青阳县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．直角三角形中两个锐角互补 B．相等的角是对顶角 C．同旁内角互补，两直线平行 D．若|a|=|b|，则a=b 3．（2025春•惠州期中）下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．内错角相等 4．（2025春•西湖区校级期中）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（　　） A．∠1=60°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=11° C．∠1=45°，∠2=46° D．∠1=30°，∠2=15° 5．（2025春•红谷滩区校级月考）判断命题“如果n＜2，那么n2-4＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A．-3 B．-1 C．3 D．1 6．（2025春•安陆市期中）能作为命题“如果a2＞4，则a＞2”是假命题的反例的是（　　） A．a=3 B．a=0 C．a=-3 D．a=2 7．（2025春•长沙期中）下列命题中假命题是（　　） A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数 C．对顶角相等 D．在同一平面内，若a∥b,a⊥c,则b⊥c 8．（2025春•江津区校级期中）下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段AB上取点C，使得CA=2CB 9．（2024秋•埇桥区期末）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b,则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　） A．a=1，b=0 B．a=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3 10．（2025春•惠山区期中）对于命题“若a＜b,则a2＜b2”，下面a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a=-1，b=2 B．a=0，b=2 C．a=-4，b=-2 D．a=2，b=4 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•兴庆区校级期末）命题“同角的余角相等”的条件是 ______，结论是 ______． 12．（2025•海陵区一模）命题“如果∠1与∠2是同位角，那么∠1=∠2”是______命题（填“真”或“假”）． 13．（2024秋•榆阳区期末）说明命题“若a＞b,则ac＞bc”的假命题的一个反例的c的值可以是 ______． 14．（2025春•惠城区期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果______，那么______． 15．（2024秋•白银期末）命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是______命题．（填“真”或“假”） 三．解答题（共5小题） 16．（2024春•滑县期中）如图，现有下面三个条件：AB⊥BC，CD⊥BC；BE∥CF；∠1=∠2． （1）请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果…那么…”的形式） （2）对（1）中的命题进行求证． 17．（2024秋•静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：______； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 18．（2024•齐河县校级开学）如图，如果已知∠1=∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 19．（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF=∠CFG，③AF平分∠BAC．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是 ______；结论是 ______（只要填写序号）． 20．（2023春•海州区校级期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2=∠3．求证：∠B+∠F=180°． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$7.3 定义、命题、定理 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．（2025春•福州校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间线段最短 2．（2024秋•青阳县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．直角三角形中两个锐角互补 B．相等的角是对顶角 C．同旁内角互补，两直线平行 D．若|a|=|b|，则 a=b 3．（2025春•惠州期中）下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．内错角相等 4．（2025春•西湖区校级期中）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是 （　　） A．∠1=60°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=11° C．∠1=45°，∠2=46° D．∠1=30°，∠2=15° 5．（2025春•红谷滩区校级月考）判断命题“如果 n＜2，那么 n2-4＜0”是假命题，只需举出 一个反例．反例中的 n可以为（　　） A．-3 B．-1 C．3 D．1 6．（2025春•安陆市期中）能作为命题“如果 a2＞4，则 a＞2”是假命题的反例的是（　　） A．a=3 B．a=0 C．a=-3 D．a=2 7．（2025春•长沙期中）下列命题中假命题是（　　） A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数 C．对顶角相等 D．在同一平面内，若 a∥b,a⊥c,则 b⊥c 8．（2025春•江津区校级期中）下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段 AB上取点 C，使得 CA=2CB 9．（2024秋•埇桥区期末）下列选项中，可以用来证明命题“若 a＞b,则|a|＞|b|”是假命题 的反例是（　　） A．a=1，b=0 B．a=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3 10．（2025春•惠山区期中）对于命题“若 a＜b,则 a2＜b2”，下面 a,b的值中，能说明这个命 题是假命题的是（　　） A．a=-1，b=2 B．a=0，b=2 C．a=-4，b=-2 D．a=2，b=4 二．填空题（共 5 小题） 11．（2024 秋•兴庆区校级期末）命题“同角的余角相等”的条件是 ______，结论是 ______． 12．（2025•海陵区一模）命题“如果∠1与∠2是同位角，那么∠1=∠2”是______命题（填 “真”或“假”）． 13．（2024秋•榆阳区期末）说明命题“若 a＞b,则 ac＞bc”的假命题的一个反例的 c的值可 以是 ______． 14．（2025春•惠城区期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那 么…”的形式为：如果______，那么______． 15．（2024秋•白银期末）命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是______命 题．（填“真”或“假”） 三．解答题（共 5 小题） 16．（2024春•滑县期中）如图，现有下面三个条件：AB⊥BC，CD⊥BC；BE∥CF；∠1=∠2． （1）请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果…那 么…”的形式） （2）对（1）中的命题进行求证． 17．（2024秋•静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平 行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：______； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 18．（2024•齐河县校级开学）如图，如果已知∠1=∠2，那么 AB∥CD，这个命题是真命题吗？ 若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 19．（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为边 AB上一点，F为边 BC上一点，连接 AF交 CE于点 G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF=∠CFG，③AF平分∠ BAC．请在上述 3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断 这个命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是 ______；结论是 ______（只要填写序号）． 20．（2023春•海州区校级期末）（1）已知：如图，直线 AB、CD、EF被直线 BF所截，∠B+∠ 1=180°，∠2=∠3．求证：∠B+∠F=180°． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 7.3 定义、命题、定理 题型目录 【题型1】定义的理解与应用 2 【题型2】命题 4 【题型3】定理与证明 6 知识回顾 一、定义 数学对象的定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义． 二、命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 三、证明的一般步骤 （1）分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程． 方法归纳 综合分析法 对于相对复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件，再结合已知条件看这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出证明过程，这种分析问题的方法称为综合分析法． 题型过关1 题型要点 【题型1】定义的理解与应用 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们理解它，并作出准确的判断． 典型例题 例1： 例1：下列语句中，为定义的是（　　） A．两点确定一条直线吗 B．三角形的角平分线是一条线段 C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D．同角的余角相等 【答案】C 【分析】正确的一句话不一定是定义，对名称和术语的含义加以描述的句子才是定义，分析A，是问句，并不是定义，接下来自己逐项进行分析． 【解答】解：根据定义的概念可得只有“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”为定义，其它都不是定义． 故选C． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是首选要明确定义的概念，能区分定义、性质、定理； 2.下列语句中，不属于定义的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 B．等边三角形是特殊的等腰三角形 C．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】B 【分析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定． 【解答】解：选项A、C、D分别是平行四边形、三角形、平行线的定义，选项B只描述了等边三角形与等腰三角形的关系，不是定义． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题的定义，属于中考常考题型． 跟踪训练 【跟踪训练1】下列语句中属于定义的是（　　） A．对顶角相等 B．等腰三角形是轴对称图形 C．三角形三个内角的和等于180° D．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 【跟踪训练2】下列语句中，属于定义的是（　　） A．如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等 B．直角三角形的两锐角互余 C．两直线平行，同位角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【跟踪训练3】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三人行，必有我师焉 C．在同一平面内三条线段首尾顺次连结得到的图形叫做三角形 D．三角形任意两边的和大于第三边 【跟踪训练4】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．两点之间线段最短 D．数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数 【跟踪训练5】（2023秋•巨野县期末）下列语句中，属于定义的是（　　） A．直线a和b垂直吗？ B．延长AB到C使BC=2AB C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数 题型过关2 题型要点 【题型2】命题 1．命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子． 2．有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么…”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意． 3．说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论． 4．判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 典型例题 例1： 例1（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线l外一点作l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、美丽的天空，不是命题，不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 例2、下列句子中，属于命题的是（　　） A．对顶角相等 B．延长线段PQ到点K C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗 【答案】A 【分析】根据命题的定义分别对各选项进行判断． 【解答】解：A选项的语句对对顶角的数量关系做出了判断，它属于命题，该选项符合题意． B选项的语句没有对画点K做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． C选项的语句没有对所作平行线做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． D选项没有对锐角是否相等做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 跟踪训练 【跟踪训练1】下列语句描述中，属于命题的是（　　） A．对顶角相等 B．作线段 AB=CD C．AB与CD是否相等 D．点到直线的距离 【跟踪训练2】下列说法中属于命题的是（　　） A．请把你的作业交给老师 B．苍蝇是一只另类的鸟 C．画一个等于60°的角 D．三边对应相等的两个三角形全等吗？ 【跟踪训练3】下列选项中属于命题的是（　　） A．任意一个三角形的内角和一定是1800吗？ B．画一条直线 C．异号两数之和一定是负数 D．连结A、B两点 【跟踪训练4】下列句子中，属于定义的是（　　） A．直线AB和CD垂直吗 B．作线段AB的垂直平分线 C．同位角相等，两直线平行 D．数据分组落在各小组内的数据个数叫做频数 【跟踪训练5】下列语句中，属于命题的是（　　） A．作∠ABC的平分线 B．如果两直线平行，那么同旁内角互补 C．画线段AB=3cm D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 题型过关3 题型要点 【题型3】定理与证明 （1）定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理．定理也可以作为继定理一定是真命题，但真命题不一定是定理续推理的依据． （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 典型例题 例1： 例1（2025春•福州校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】命题是对一件事情做出判断的语句，正确的判断叫做真命题，错误的判断叫做假命题，据此作答即可． 【解答】解：A：相等的角不一定是对顶角，这个命题是假命题，故A选项不符合题意； B：只有当两直线平行时，同位角才相等，是假命题，故B选项不符合题意； C：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故C选项不符合题意； D：两点之间线段最短，是真命题，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题，解决本题的关键是根据命题对事情的判断是否正确，判断这个命题是真命题还是假命题． 例2（2025春•福州期中）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1=∠2=45° B．∠1=40°，∠2=50° C．∠1=50°，∠2=50° D．∠1=40°，∠2=40° 【答案】B 【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【解答】解：根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断如下： A．∠1=∠2=45°，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B．∠1=40°，∠2=50°，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C．∠1=50°，∠2=50°，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D．∠1=40°，∠2=40°，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了反证法，正确记忆相关知识点是解题关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•海淀区校级期中）如图，已知 ______，且AD∥BC，求证：______． 给出下列两个条件： ①∠B=∠C； ②∠EAD=∠CAD． 请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明． 证明： 【跟踪训练2】（2024秋•平果市期末）如图，从①∠1+∠2=180°，②∠3=∠A，③∠B=∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知 ______，求证：______．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【跟踪训练3】（2025春•平山县月考）如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“⊗⊗→⊗”的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 【跟踪训练4】（2025春•黄浦区期中）如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 定义、命题、定理 题型目录 【题型1】定义的理解与应用 2 【题型2】命题 5 【题型3】定理与证明 9 知识回顾 一、定义 数学对象的定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义． 二、命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 三、证明的一般步骤 （1）分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程． 方法归纳 综合分析法 对于相对复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件，再结合已知条件看这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出证明过程，这种分析问题的方法称为综合分析法． 题型过关1 题型要点 【题型1】定义的理解与应用 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们理解它，并作出准确的判断． 典型例题 例1： 例1：下列语句中，为定义的是（　　） A．两点确定一条直线吗 B．三角形的角平分线是一条线段 C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D．同角的余角相等 【答案】C 【分析】正确的一句话不一定是定义，对名称和术语的含义加以描述的句子才是定义，分析A，是问句，并不是定义，接下来自己逐项进行分析． 【解答】解：根据定义的概念可得只有“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”为定义，其它都不是定义． 故选C． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是首选要明确定义的概念，能区分定义、性质、定理； 2.下列语句中，不属于定义的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 B．等边三角形是特殊的等腰三角形 C．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】B 【分析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定． 【解答】解：选项A、C、D分别是平行四边形、三角形、平行线的定义，选项B只描述了等边三角形与等腰三角形的关系，不是定义． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题的定义，属于中考常考题型． 跟踪训练 【跟踪训练1】下列语句中属于定义的是（　　） A．对顶角相等 B．等腰三角形是轴对称图形 C．三角形三个内角的和等于180° D．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 【答案】D 【分析】根据对顶角的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和二元一次方程的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A．对顶角相等，它是对顶角的性质，所以A选项不符合题意； B．等腰三角形是轴对称图形，它为等腰三角形的性质，所以B选项不符合题意； C．三角形三个内角的和等于180°，它是三角形的性质定理，所以C选项不符合题意； D．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它是二元一次方程的定义，所以D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】下列语句中，属于定义的是（　　） A．如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等 B．直角三角形的两锐角互余 C．两直线平行，同位角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理、直角三角形的性质、平行线的性质和平行线的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A．如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等，它是全等三角形的判定定理，所以A选项不符合题意； B．直角三角形的两锐角互余，它为直角三角形的性质，所以B选项不符合题意； C．两直线平行，同位角相等，它是平行线的性质定理，所以C选项不符合题意； D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，它是平行线的定义，所以D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练3】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三人行，必有我师焉 C．在同一平面内三条线段首尾顺次连结得到的图形叫做三角形 D．三角形任意两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定． 【解答】解：C对三角形作出了描述，属于定义，而A，B，D没有对名称或术语作出描述，所以不是定义． 故选：C． 【跟踪训练4】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．两点之间线段最短 D．数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数 【答案】D 【分析】定义是指数学具体专有名词的精确解释，是用来精确描述某一事物的． 【解答】解：A中，两点确定一条直线，是公理，不是定义； B中，两直线平行，同位角相等，是定理，不是定义； C中，两点之间线段最短，是公理，不是定义； D中，数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数，是描述频数的，因此是定义． 故选：D． 【跟踪训练5】（2023秋•巨野县期末）下列语句中，属于定义的是（　　） A．直线a和b垂直吗？ B．延长AB到C使BC=2AB C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数 【答案】D 【分析】根据定义的概念对各选项进行判断． 【解答】解：A、直线a和b垂直吗？不是对一件事情的判断，不是定义，不符合题意； B、延长AB到C使BC=2AB，不是对一件事情的判断，不是定义，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，不是定义，不符合题意； D、无限不循环小数是无理数，是定义，符合题意； 故选：D． 题型过关2 题型要点 【题型2】命题 1．命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子． 2．有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么…”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意． 3．说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论． 4．判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 典型例题 例1： 例1（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线l外一点作l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、美丽的天空，不是命题，不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 例2、下列句子中，属于命题的是（　　） A．对顶角相等 B．延长线段PQ到点K C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗 【答案】A 【分析】根据命题的定义分别对各选项进行判断． 【解答】解：A选项的语句对对顶角的数量关系做出了判断，它属于命题，该选项符合题意． B选项的语句没有对画点K做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． C选项的语句没有对所作平行线做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． D选项没有对锐角是否相等做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 跟踪训练 【跟踪训练1】下列语句描述中，属于命题的是（　　） A．对顶角相等 B．作线段 AB=CD C．AB与CD是否相等 D．点到直线的距离 【答案】A 【分析】命题是判断一件事情的语句，根据次概念逐项判断即可． 【解答】解：对顶角相等，是命题，故A符合题意； 作线段 AB=CD不是命题，故B不符合题意； AB与CD是否相等不是命题，故C不符合题意； 点到直线的距离不是命题，故D不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练2】下列说法中属于命题的是（　　） A．请把你的作业交给老师 B．苍蝇是一只另类的鸟 C．画一个等于60°的角 D．三边对应相等的两个三角形全等吗？ 【答案】B 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、请把你的作业交给老师，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； B、苍蝇是一只另类的鸟，是命题，符合题意； C、画一个等于60°的角，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； D、三边对应相等的两个三角形全等吗？没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练3】下列选项中属于命题的是（　　） A．任意一个三角形的内角和一定是1800吗？ B．画一条直线 C．异号两数之和一定是负数 D．连结A、B两点 【答案】C 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、任意一个三角形的内角和一定是1800吗？，是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； B、画一条直线，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； C、异号两数之和一定是负数，是命题，符合题意； D、连结A、B两点，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练4】下列句子中，属于定义的是（　　） A．直线AB和CD垂直吗 B．作线段AB的垂直平分线 C．同位角相等，两直线平行 D．数据分组落在各小组内的数据个数叫做频数 【答案】D 【分析】根据命题的定义分别对各选项进行判断． 【解答】解：A．直线AB和CD垂直吗，是疑问句，不合题意． B．作线段AB的垂直平分线，是指令，不不合题意． C．同位角相等，两直线平行，是定理，不合题意． D．数据分组落在各小组内的数据个数叫做频数，属于定义，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练5】下列语句中，属于命题的是（　　） A．作∠ABC的平分线 B．如果两直线平行，那么同旁内角互补 C．画线段AB=3cm D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【答案】B 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、作∠ABC的平分线，不是命题，不符合题意； B、如果两直线平行，那么同旁内角互补，是命题，符合题意； C、画线段AB=3cm,不是命题，不符合题意； D、你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢，不是命题，不符合题意； 故选：B． 题型过关3 题型要点 【题型3】定理与证明 （1）定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理．定理也可以作为继定理一定是真命题，但真命题不一定是定理续推理的依据． （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 典型例题 例1： 例1（2025春•福州校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】命题是对一件事情做出判断的语句，正确的判断叫做真命题，错误的判断叫做假命题，据此作答即可． 【解答】解：A：相等的角不一定是对顶角，这个命题是假命题，故A选项不符合题意； B：只有当两直线平行时，同位角才相等，是假命题，故B选项不符合题意； C：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故C选项不符合题意； D：两点之间线段最短，是真命题，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题，解决本题的关键是根据命题对事情的判断是否正确，判断这个命题是真命题还是假命题． 例2（2025春•福州期中）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1=∠2=45° B．∠1=40°，∠2=50° C．∠1=50°，∠2=50° D．∠1=40°，∠2=40° 【答案】B 【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【解答】解：根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断如下： A．∠1=∠2=45°，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B．∠1=40°，∠2=50°，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C．∠1=50°，∠2=50°，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D．∠1=40°，∠2=40°，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了反证法，正确记忆相关知识点是解题关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•海淀区校级期中）如图，已知 ______，且AD∥BC，求证：______． 给出下列两个条件： ①∠B=∠C； ②∠EAD=∠CAD． 请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明． 证明： 【答案】∠B=∠C；∠EAD=∠CAD，证明见解析． 【分析】根据题意写出已知和求证，根据平行线的性质、等量代换证明． 【解答】如图，已知∠B=∠C，且AD∥BC， 求证：∠EAD=∠CAD， 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠EAD=∠CAD， 故答案为：∠B=∠C；∠EAD=∠CAD． 【跟踪训练2】（2024秋•平果市期末）如图，从①∠1+∠2=180°，②∠3=∠A，③∠B=∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知 ______，求证：______．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】①②，③（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理和性质定理分类证明即可． 【解答】答案一：已知①②，求证：③， 证明：∵∠1+∠2=180°， ∴AD∥EF， ∴∠3=∠D， ∵∠3=∠A， ∴∠A=∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B=∠C； 答案二：如图，已知①③，求证：②， 证明：∵∠1+∠2=180°， ∴AD∥EF， ∴∠3=∠D， ∵∠B=∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D， ∴∠3=∠A； 答案三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵∠B=∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D， ∵∠3=∠A， ∴∠3=∠D， ∴AD∥EF， ∴∠1+∠2=180°． 【跟踪训练3】（2025春•平山县月考）如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“⊗⊗→⊗”的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质判断解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）有三个真命题，分别是：①②→③；①③→②；②③→①； （2）选择①②→③， 证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠DCF， ∵∠B=∠D， ∴∠D=∠DCF， ∴DE∥BF， ∴∠E=∠F； 选择①③→②， 证明：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠D=180°， ∵∠E=∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B=180°， ∴∠B=∠D； 选择②③→①， 证明：∵∠E=∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B=180°， ∵∠B=∠D， ∴∠DAB+∠D=180°， ∴AB∥CD． 【跟踪训练4】（2025春•黄浦区期中）如图，已知点E、F分别在AB、CD上，连接EC、BF交AD于点G、H．有以下三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若∠1=∠2，∠B=∠C，则AB∥CD，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若∠1=∠2，AB∥CD，则∠B=∠C，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若∠B=∠C，AB∥CD，则∠1=∠2，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， 由条件可知∠2=∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠BFD， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠BFD， ∴AB∥CD； 选择①③为题设，②为结论， 由条件可知∠2=∠CGD， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠BFD， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BFD， ∴∠B=∠C； 选择②③为题设，①为结论， 由平行线性质可知∠B=∠BFD， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠BFD， ∴CE∥BF， ∴∠2=∠CGD， 又∵∠1=∠CGD， ∴∠1=∠2． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 9 页 7.3 定义、命题、定理 【题型 1】定义的理解与应用......................................................2 【题型 2】命题..................................................................4 【题型 3】定理与证明............................................................6 一、定义 数学对象的定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的 描述称为数学对象的定义． 二、命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事 项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面 解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确 性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 三、证明的一般步骤 （1）分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出 有关字母与符号； （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程． 题型目录 知识回顾 第 2 页 共 9 页 方法归纳 综合分析法 对于相对复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要哪些条件，再结合 已知条件看这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来，找到解题思路，写出证明 过程，这种分析问题的方法称为综合分析法． 【题型 1】定义的理解与应用 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们理解它，并作出准确的判断． 例 1： 例 1：下列语句中，为定义的是（　　） A．两点确定一条直线吗 B．三角形的角平分线是一条线段 C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 D．同角的余角相等 【答案】C 【分析】正确的一句话不一定是定义，对名称和术语的含义加以描述的句子才是定义，分析 A，是问句，并不是定义，接下来自己逐项进行分析． 【解答】解：根据定义的概念可得只有“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”为定 义，其它都不是定义． 题型过关 1 题型要点 典型例题 第 3 页 共 9 页 故选 C． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是首选要明确定义的概念，能区分定义、性质、定 理； 2.下列语句中，不属于定义的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 B．等边三角形是特殊的等腰三角形 C．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】B 【分析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定． 【解答】解：选项 A、C、D分别是平行四边形、三角形、平行线的定义，选项 B只描述了等边 三角形与等腰三角形的关系，不是定义． 故选：B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题的定义，属于中考常考题型． 【跟踪训练 1】下列语句中属于定义的是（　　） A．对顶角相等 B．等腰三角形是轴对称图形 C．三角形三个内角的和等于 180° D．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1的方程叫做二元一次方程 【跟踪训练 2】下列语句中，属于定义的是（　　） A．如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等 B．直角三角形的两锐角互余 C．两直线平行，同位角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【跟踪训练 3】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三人行，必有我师焉 跟踪训练 第 4 页 共 9 页 C．在同一平面内三条线段首尾顺次连结得到的图形叫做三角形 D．三角形任意两边的和大于第三边 【跟踪训练 4】下列语句中，属于定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．两点之间线段最短 D．数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数 【跟踪训练 5】（2023秋•巨野县期末）下列语句中，属于定义的是（　　） A．直线 a和 b垂直吗？ B．延长 AB到 C使 BC=2AB C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数 【题型 2】命题 1．命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子． 2．有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么…”的形式时，需对命题的语序 进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意． 3．说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论． 4．判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就 可以了． 例 1： 例 1（2024秋•观山湖区期末）下列句子中属于命题的是（　　） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ 题型过关 2 题型要点 典型例题 第 5 页 共 9 页 C．过直线 l外一点作 l的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、美丽的天空，不是命题，不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，不符合题意； C、过直线 l外一点作 l的垂线，不是命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 例 2、下列句子中，属于命题的是（　　） A．对顶角相等 B．延长线段 PQ到点 K C．过点 O作直线 a∥b D．锐角都相等吗 【答案】A 【分析】根据命题的定义分别对各选项进行判断． 【解答】解：A 选项的语句对对顶角的数量关系做出了判断，它属于命题，该选项符合题意． B选项的语句没有对画点 K做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． C选项的语句没有对所作平行线做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． D选项没有对锐角是否相等做出判断，它不属于命题，该选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 【跟踪训练 1】下列语句描述中，属于命题的是（　　） A．对顶角相等 B．作线段 AB=CD C．AB与 CD是否相等 D．点到直线的距离 【跟踪训练 2】下列说法中属于命题的是（　　） A．请把你的作业交给老师 B．苍蝇是一只另类的鸟 跟踪训练 第 6 页 共 9 页 C．画一个等于 60°的角 D．三边对应相等的两个三角形全等吗？ 【跟踪训练 3】下列选项中属于命题的是（　　） A．任意一个三角形的内角和一定是 1800吗？ B．画一条直线 C．异号两数之和一定是负数 D．连结 A、B两点 【跟踪训练 4】下列句子中，属于定义的是（　　） A．直线 AB和 CD垂直吗 B．作线段 AB的垂直平分线 C．同位角相等，两直线平行 D．数据分组落在各小组内的数据个数叫做频数 【跟踪训练 5】下列语句中，属于命题的是（　　） A．作∠ABC的平分线 B．如果两直线平行，那么同旁内角互补 C．画线段 AB=3cm D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 【题型 3】定理与证明 （1）定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理．定理也可以作为继定理一定是真命题，但 真命题不一定是定理续推理的依据． （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫 作证明． 例 1： 题型过关 3 题型要点 典型例题 第 7 页 共 9 页 例 1（2025春•福州校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】命题是对一件事情做出判断的语句，正确的判断叫做真命题，错误的判断叫做假命题， 据此作答即可． 【解答】解：A：相等的角不一定是对顶角，这个命题是假命题，故 A选项不符合题意； B：只有当两直线平行时，同位角才相等，是假命题，故 B选项不符合题意； C：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故 C选项不 符合题意； D：两点之间线段最短，是真命题，故 D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题，解决本题的关键是根据命题对事情的判断是否正确，判断这个命题 是真命题还是假命题． 例 2（2025春•福州期中）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题 的反例是（　　） A．∠1=∠2=45° B．∠1=40°，∠2=50° C．∠1=50°，∠2=50° D．∠1=40°，∠2=40° 【答案】B 【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【解答】解：根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断如下： A．∠1=∠2=45°，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符 合题意； B．∠1=40°，∠2=50°，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合 题意； C．∠1=50°，∠2=50°，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 第 8 页 共 9 页 D．∠1=40°，∠2=40°，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了反证法，正确记忆相关知识点是解题关键． 【跟踪训练 1】（2025春•海淀区校级期中）如图，已知 ______，且 AD∥BC，求证：______． 给出下列两个条件： ①∠B=∠C； ②∠EAD=∠CAD． 请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空 格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明． 证明： 【跟踪训练 2】（2024秋•平果市期末）如图，从①∠1+∠2=180°，②∠3=∠A，③∠B=∠C， 三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成 3个命题．从中选择一个真命题，写 出已知求证，并证明． 如图，已知 ______，求证：______．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【跟踪训练 3】（2025春•平山县月考）如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E= ∠F． 跟踪训练 第 9 页 共 9 页 （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“⊗⊗→⊗” 的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 【跟踪训练 4】（2025春•黄浦区期中）如图，已知点 E、F分别在 AB、CD上，连接 EC、BF交 AD 于点 G、H．有以下三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C，③AB∥CD． （1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真 命题还是假命题； （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 7.3 定义、命题、定理 强化训练 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1.（2025春•福州校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】命题是对一件事情做出判断的语句，正确的判断叫做真命题，错误的判断叫做假命题，据此作答即可． 【解答】解：A：相等的角不一定是对顶角，这个命题是假命题，故A选项不符合题意； B：只有当两直线平行时，同位角才相等，是假命题，故B选项不符合题意； C：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故C选项不符合题意； D：两点之间线段最短，是真命题，故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题，解决本题的关键是根据命题对事情的判断是否正确，判断这个命题是真命题还是假命题． 2.（2024秋•青阳县期末）下列命题是真命题的是（　　） A．直角三角形中两个锐角互补 B．相等的角是对顶角 C．同旁内角互补，两直线平行 D．若|a|=|b|，则a=b 【答案】C 【分析】分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案． 【解答】解：A、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误； B、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误； C、同旁内角互补，两直线平行，正确； D、若|a|=|b|，则a=±b,故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键． 3.（2025春•惠州期中）下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．内错角相等 【答案】C 【分析】只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则可对A进行判断；根据对顶角的定义对B进行判断；根据平行线的传递性对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断． 【解答】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以A选项的命题为假命题； B、相等的角不一定为对顶角，所以B选项的命题为假命题； C、平行于同一条直线的两条直线平行，所以C选项的命题为真命题； D、两直线平行，内错角相等，所以D选项的命题为假命题． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 4.（2025春•西湖区校级期中）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（　　） A．∠1=60°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=11° C．∠1=45°，∠2=46° D．∠1=30°，∠2=15° 【答案】D 【分析】由锐角和钝角的定义，即可判断． 【解答】解：A、B、C中的两个角的和是钝角，不能说明命题是假命题的反例，故A、B、C不符合题意； D、两个角的和是锐角，能说明命题是假命题的反例，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握锐角和钝角的概念． 5.（2025春•红谷滩区校级月考）判断命题“如果n＜2，那么n2-4＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A．-3 B．-1 C．3 D．1 【答案】A 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【解答】解：当n=3，n＜2不成立， 故C不符合题意； 当n=-3，n=-1，n=1时，符合条件n＜2， 但当n=-1或n=1时，n2-4=（±1）2-4=-3＜0，结论成立， 故B、D不符合题意； 当n=-3时，n2-4=（-3）2-4=5＞0，结论不成立， ∴“如果n＜2，那么n2-4＜0”是假命题， 故A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合n＜2中找出一个数，能使n2-4＜0不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 6.（2025春•安陆市期中）能作为命题“如果a2＞4，则a＞2”是假命题的反例的是（　　） A．a=3 B．a=0 C．a=-3 D．a=2 【答案】C 【分析】找出a满足a2＞4，但不满足a＞2即可． 【解答】解：由题意可得：可以举一个反例为a=-3．因为a=-3满足a2＞4，但不满足a＞2． 故选：C． 【点评】本题考查举反例，判断命题的真假．熟练掌握举反例的方法是解题的关键． 7.（2025春•长沙期中）下列命题中假命题是（　　） A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数 C．对顶角相等 D．在同一平面内，若a∥b,a⊥c,则b⊥c 【答案】B 【分析】根据平移、平方根、对顶角和垂直的概念判断即可． 【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，是真命题； B、负数没有平方根，是假命题； C、对顶角相等，是真命题； D、在同一平面内，若a∥b,a⊥c,则b⊥c,是真命题； 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 8.（2025春•江津区校级期中）下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段AB上取点C，使得CA=2CB 【答案】D 【分析】根据命题的定义分别进行判断即可． 【解答】解：根据命题的定义分别进行判断如下： A、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； B、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； C、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； D、在线段AB上取点C，使得CA=2CB，不是命题，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键． 9.（2024秋•埇桥区期末）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b,则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　） A．a=1，b=0 B．a=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义逐项代入验证，即可得出答案． 【解答】解：A、当a=1，b=0时，有a＞b,且|a|＞|b|，不能证明题中命题是假命题； B、当a=-1，b=2时，有a＜b,且|a|＜|b|，不能证明题中命题是假命题； C、当a=-2，b=1时，有a＜b,且|a|＞|b|，不能证明题中命题是假命题； D、当a=1，b=-3时，有a＞b,且|a|＜|b|，能证明题中命题是假命题． 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 10.（2025春•惠山区期中）对于命题“若a＜b,则a2＜b2”，下面a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a=-1，b=2 B．a=0，b=2 C．a=-4，b=-2 D．a=2，b=4 【答案】C 【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a＜b,但a2＜b2不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可． 【解答】解：A．a=-1，b=2，满足a＜b,a2＜b2，不能说明命题是假命题． B．a=0，b=2，满足a＜b,a2＜b2，不能说明命题是假命题． C．a=-4，b=-2，满足a＜b,不满足a2＜b2，能说明命题是假命题． D．a=2，b=4，满足a＜b,a2＜b2，不能说明命题是假命题． 故答案为：C． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解用反例说明命题是假命题． 二．填空题（共5小题） 11.（2024秋•兴庆区校级期末）命题“同角的余角相等”的条件是 ______，结论是 ______． 【答案】两个角与同一个角互余，这两个角相等． 【分析】“如果”后面的部分是命题的条件，“那么”后面的是命题的结论，根据改写结果解答． 【解答】解：将命题该写成“如果…，那么…”的形式，得“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”， 则原命题的条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 故答案为：两个角与同一个角互余，这两个角相等． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成，属于中考常考题型． 12.（2025•海陵区一模）命题“如果∠1与∠2是同位角，那么∠1=∠2”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假． 【分析】根据同位角的概念、平行线的性质判断即可． 【解答】解：当∠1与∠2是两条平行线被第三条直线所截所得的同位角时，∠1=∠2，否则，∠1≠∠2， ∴命题“如果∠1与∠2是同位角，那么∠1=∠2”是假命题， 故答案为：假． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13.（2024秋•榆阳区期末）说明命题“若a＞b,则ac＞bc”的假命题的一个反例的c的值可以是 ______． 【答案】0（答案不唯一）． 【分析】举出一个能使得ac=bc或ac＜bc的一个c的值即可． 【解答】解：若a＞b,当c=0时ac=bc=0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 14.（2025春•惠城区期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果______，那么______． 【答案】见试题解答内容 【分析】把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 15.（2024秋•白银期末）命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真． 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过直线外一点只能作这条直线的一条平行线，正确，故真命题； 故答案为：真． 【点评】本题考查了命题与定理，平行线的性质，熟知过直线外一点只能作这条直线的一条平行线是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16.（2024春•滑县期中）如图，现有下面三个条件：AB⊥BC，CD⊥BC；BE∥CF；∠1=∠2． （1）请从中选择两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题．（写成“如果…那么…”的形式） （2）对（1）中的命题进行求证． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）可以把前两个条件作为题设，第三个条件作为结论，即可得解； （2）由于AB⊥BC，CD⊥BC得到∠ABC=∠DCB=90°，利用平行线的性质得到∠EBC=∠FCB，进而可得到∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB，即有∠1=∠2． 【解答】（1）解：如果AB⊥BC，CD⊥BC，BE∥CF，那么∠1=∠2； （2）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC=∠DCB=90°， 又∵BE∥CF， ∴∠EBC=∠FCB， ∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB， 即∠1=∠2． 【点评】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质，垂直的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 17.（2024秋•静安区校级期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：______； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）见解析． 【分析】（1）如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，由此即可得到答案； （2）画出图形，由题意即可写出已知和求证，由垂直的定义得到∠CMN=∠ENB=90°，由同位角相等，两直线平行推出CD∥EF． 【解答】解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， 求证：CD∥EF， 证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， ∴∠CMN=∠ENB=90°， ∴CD∥EF． 【点评】本题考查命题与定理，关键是掌握平行线的判定方法． 18.（2024•齐河县校级开学）如图，如果已知∠1=∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 【答案】假命题，BE∥DF，证明过程见解析． 【分析】根据题意可以判定，只有∠1=∠2，不能推导出AB∥CD，再添加上BE∥DF，可推导出∠MBA=∠BDC，即可证明AB∥CD． 【解答】解：如果已知∠1=∠2，那么AB∥CD，不是真命题， 添加条件为：BE∥DF， 证明过程如下： ∵BE∥DF， ∴∠MBE=∠BDF， ∵∠1=∠2， ∴∠MBA=∠BDC， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握屏体的判定及平行线的判定及性质等知识是解答此题的关键． 19.（2022春•靖江市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为边AB上一点，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，给出以下信息；①CE⊥AB，②∠CGF=∠CFG，③AF平分∠BAC．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 你选择的条件是 ______；结论是 ______（只要填写序号）． 【答案】①②，③．理由见解答过程． 【分析】以①②为条件，蝴蝶型三角形CFG和AEG（或8字型），可通过直角三角形两锐角互余及等量代换推出∠GAE=∠CAF． 【解答】解：①②，③． 理由如下：∵∠CGF=∠CFG，∠CGF=∠AGE， ∴∠CFG=∠AGE， ∵CE⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠AGE+∠GAE=90°，∠CFA+∠CAF=90°， ∴∠GAE=∠CAF， ∴BE平分∠ABC． 【点评】本题考查直角三角形两锐角互余和对顶角相等，解题关键是恰当的运用等量代换． 20.（2022春•海州区校级期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2=∠3．求证：∠B+∠F=180°． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【解答】（1）证明：∵∠B+∠1=180°， ∴AB∥CD， ∵∠2=∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B+∠F=180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$