专题04 二元一次方程组（18种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（人教版2024，吉林专用）

专题04 二元一次方程组 题型概览 题型01二元一次方程的定义 题型02二元一次方程的解 题型03已知二元一次方程组的解求参数 题型04代入消元法 题型05加减消元法 题型06二元一次方程组的特殊解法 题型07构造二元一次方程组求解 题型08已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型09方程组相同解问题 题型10根据实际问题列二元一次方程组 题型11方案问题(二元一次方程组的应用) 题型12行程问题(二元一次方程组的应用) 题型13销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型14和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型15几何问题(二元一次方程组的应用) 题型16古代问题(二元一次方程组的应用) 题型17其他问题(二元一次方程组的应用) 题型18三元一次方程组的定义及解 ( 题型01 ) 二元一次方程的定义 1.（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，从而完成求解．二元一次方程必须满足以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数的项的最高次数为一次；③方程是整式方程，根据依次判断即可． 【详解】是二元一次方程，故选项A正确； ，含未知数的项的次数是2，故选项B错误； 含未知数的项的次数是2，故选项C错误； ，只有一个未知数，故选项D错误； 故选：A． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为，然后进行求解即可． 【详解】解：方程是关于x、y的二元一次方程， ， 解得， 故答案为：0． 3.（22-23七年级下·吉林长春·期末）已知关于、的方程是二元一次方程，求、的值． 【答案】． 【分析】根据二元一次方程的定义得出且，再求出、即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， 且， 解得：，． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出和是解此题的关键． ( 题型0 2 ) 二元一次方程的解 1．（23-24七年级下·吉林·期末）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A．当时，，是二元一次方程的解，不合题意； B．当时，，是二元一次方程的解，不合题意； C．当时，，是二元一次方程的解，不合题意； D．当时，，不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 2．（20-21七年级下·吉林长春·期末）按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的定义是解答此题的关键．根据题意，运算程序即计算，选择满足方程的、即可． 【详解】解：根据题意，运算程序即计算，即， A选项，当时，，符合题意； B选项，当时，，不符合题意； C选项，当时，，不符合题意； D选项，当时，，不符合题意． 故选：A． 3.（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知方程，请用含的式子表示，得 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程移项，得到． 【详解】解：， ， 故答案为． 4．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于，的二元一次方程中的系数让墨迹盖住了，但是知道它有一个解是，，那么让墨迹盖住的的系数●的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程的解，解一元一次方程，设，将方程的解代入得到，求解即可． 【详解】解：设， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 5.（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)6 (2) (3)共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程： （1）根据题意可得或或或或或，解方程即可得到答案； （2）先求出，再由都是正整数得到是正整数，即或，据此可得答案； （3）设和两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴或或或或或， 解得或或或或或， 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴是正整数，即或， 当时，（不符合题意）； 当时，符合题意， ∴的正整数解为， 故答案为：； （3）解：设和两种规格的绳子分别为x段，y段， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴是正整数， ∴x是4的倍数， ∴当，；当，， ∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子． ( 题型0 3 ) 已知二元一次方程组的解求参数 1.（23-24七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（    ） A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把＝代入方程组第二个方程求出的值，确定出＋的值即可． 【详解】解：把代入中得：， ， 则这两个数分别为和， 故选：C． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及解二元一次方程组，根据题意，解，将代入求解即可得到答案，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解满足， ， ①②得； 将代入①得； 将代入得，解得， 故答案为：． 3.（20-21七年级下·吉林延边·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是．求a-b的值． 【答案】 【分析】把代入方程组求得、的值，即可求得的值． 【详解】把代入二元一次方程组得：， 解得： ∴. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解． ( 题型0 4 ) 代入消元法 1.（23-24七年级下·吉林长春·期末）解方程组时，把②代入①，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代入法解一元一次方程组，将②代入①整理即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①得，， 去括号得，． 故选：A． 2.（22-23七年级下·吉林长春·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，正确记忆相关知识点是解题关键．直接把看作已知，求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3.（22-23七年级下·吉林长春·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴方程组的解为． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知关于x、y的方程是二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程定义，解二元一次方程组，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义，可列方程组求解，再代入代数式求值． 【详解】解：∵关于x、y的方程是二元一次方程， ∴， 解得， ∴． ( 题型0 5 ) 加减消元法 1.（22-23七年级下·吉林长春·期末）由方程组可得出x与y的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组， 方程组两式相加即可得出关系式，熟练掌握解方程组是关键． 【详解】解：方程组， ，得， 整理得：， 故选：D． 2.（20-21七年级下·吉林延边·期末）若二元一次方程组，则与的关系是 ．（写出一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】解方程组求出方程组的解，再根据结果写出一个关系式即可 【详解】 ①-②得：-x=0 即x=0 将x=0代入①得：y= ∴ ∴x+y= 故答案为：x+y=（答案不唯一） 【点睛】本题考查解元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解这类题的关键． 3.（22-23七年级下·吉林长春·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据加减消元法进行计算即可． 【详解】解：， ①②，得③ 解得， 把代入①得， 解得， 原方程组的解是． 4.（22-23七年级下·吉林白山·期末）已知的平方根为的立方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了求平方根和立方根，解二元一次方程，根据平方根的性质和立方根的性质得到的值是解题的关键． 根据题意得出，求出的值再代入求解即可； 【详解】解：由题意，得， 解得， 所以， 所以的平方根是：． ( 题型0 6 ) 二元一次方程组的特殊解法 1.（20-21七年级下·吉林白山·期末）方程的所有正整数解为 ． 【答案】 【分析】先用x将y表示出来，然后根据x、y均为正整数运用列举法即可求解． 【详解】解：由可得y= ， ∵x、y均为正整数， ∴＞0，即x＜5 当x=2时，y=4， ∴方程4x+3y=20的正整数解为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解答本题题的关键． 2.（22-23七年级下·吉林长春·期中）阅读材料：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，将代入①可求得，从而求得方程组的解为，这种解方程组的方法被称为“整体代入法”． 利用上述方法解方程组：． 【答案】 【分析】由③得：，把代入④可求出y，把代入③即可求出x． 【详解】解： 可由③得：， 把代入④得：，解得：， 把代入③得：， ∴方程的解为； 【点睛】本题考查新定义下的计算，读懂题意是关键 ( 题型0 7 ) 构造二元一次方程组求解 1.（23-24七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为2， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】∵，，， ∴ 解得 ∴x，y的值分别为2，． 2．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查定义新运算，二元一次方程组的运用，理解新定义的运算方法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义运算的规则可得关于的二元一次方程组，运用加减消消元法即可求解； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 解得，． ( 题型 8 ) 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1.（23-24七年级下·吉林·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，且，则k值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2.（24-25七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活求解是关键． 观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得，因为，则，最后解方程即可． 【详解】解：， ，得 ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：12． 3．（20-21七年级下·吉林白山·期末）已知方程组的解为，求的值． 【答案】1 【分析】将x与y的值代入方程组求出a与b的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵方程组的解为 ∴把代入方程组中得， 把①+②得解得 把代入① 中解得 ∴方程的解为：． ∴ 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握二元一次方程组的解法. ( 题型 9 ) 方程组相同解问题 1.（21-22七年级下·吉林通化·期末）关于、的两个二元一次方程组与的解相同，则 ． 【答案】0 【分析】先求出二元一次方程组的解，再代入中，求出m、n，即可求解． 【详解】解：， 由①+②得：， 把代入①，得：， ∵两个二元一次方程组与的解相同， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2.（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是同解方程组的含义与解法，熟练的建立新的方程组是解本题的关键； （1）由题意可得方程组，再整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程和中，再建立方程组解题即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的公共解为：； （2）解：将代入方程和中， 得， 得：， 把代入④得：， 解得 ( 题型 10 ) 根据实际问题列二元一次方程组 1.（24-25九年级上·吉林长春·期末）现在有蓝花布与红花布共米，共卖了元，已知米蓝花布定价元，米红花布定价元，问两种布各有多少米？设有蓝花布米，红花布米，依据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有蓝花布米，红花布米，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设有蓝花布米，红花布米，依据题意可列方程组为 故选：A． 2.（23-24七年级下·吉林白城·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？有多少人共同购买？设这个物品的价格是x元，有y人共同购买，则可列出的方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题：列二元一次方程组．根据等量关系：共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元；列出方程组即可． 【详解】解：由已知，这个物品的价格是x元，有y人共同购买， 由题意，得：； 故答案为：． 3.（21-22七年级下·吉林四平·期末）为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买3包口罩和2包酒精湿巾共需21元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元． (1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价． (2)妈妈给了小明60元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包，由题意可列关于m，n的二元一次方程为：____________，由题意m，n都取正整数，请问小明有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元． (2)，小明有3种购买方案：①购买口罩9包，酒精湿巾5包；②购买口罩6包，酒精湿巾10包；③购买口罩3包，酒精湿巾15包． 【分析】（1）设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元，找出等量关系列出二元一次方程组，解答即可； （2）设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包，根据题中：小明60元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：（1）设每包口罩的单价为x元，每包酒精湿巾的单价为y元， 依题意得： 解得： 答：每包口罩的单价为5元，每包酒精湿巾的单价为3元． （2）解：设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包， 则， ∴， ∵m，n都取正整数， ∴或或， ∴小明有3种购买方案： ①购买口罩9包，酒精湿巾5包；②购买口罩6包，酒精湿巾10包；③购买口罩3包，酒精湿巾15包． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． ( 题型 11 ) 方案问题(二元一次方程组的应用) 1.（21-22七年级下·吉林·期末）有大、小两种货车，2辆大货车和3辆小货车一次可以运货15.5吨；5辆大货车和6辆小货车一次可以运货35吨． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以运货分别为多少吨？ (2)a辆大货车和8辆小货车一次可以运货 吨（用含a的式子表示）． 【答案】(1)1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货2.5吨 (2) 【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车和3辆小货车一次可以运货15.5吨；5辆大货车和6辆小货车一次可以运货35吨．”列出方程组，即可求解； （2）根据题意，列出代数式，即可求解． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据题意，得 ， 解得， 答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货2.5吨． （2）解∶根据题意得：a辆大货车和8辆小货车一次可以运货吨． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列代数式，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 2．（20-21七年级下·吉林白山·期末）某出租车公司有两种不同型号的汽车，用两辆型车和一辆型车装满货物一次可运货10吨；用一辆型车和两辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）一辆型车和一辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次．该物流公司最省钱的租车方案是 ，最少租车费为 元． 【答案】（1）3吨，4吨；（2）方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆；（3）物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为1880元 【分析】（1）根据用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，可以得到二元一次方程，再根据辆数为正整数，即可得到相应的租车方案； （3）根据A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，然后代入（2）中的方案中，计算出费用，然后比较大小即可解答本题． 【详解】解：（1）设一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨， 由题意可得，， 解得， 答：一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨； （2）由题意可得， 3a+4b=31， ∵a、b均为正整数， ∴，或， ∴该物流公司共有三种租车方案， 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B型车4辆； 方案三：租A型车9辆，B型车1辆； （3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次， ∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，费用为200×1+240×7=200+1680=1880（元）； 方案二：租A型车5辆，B型车4辆，费用为200×5+240×4=1000+960=1960（元）； 方案三：租A型车9辆，B型车1辆，费用为200×9+240×1=1800+240=2040（元）； ∵1880＜1960＜2040， ∴物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为1880元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组和方程． 3．（20-21七年级下·吉林四平·期末）“一方有难，八方支援”，2020年新冠肺炎疫情突如其来时，我市援鄂抗疫医疗队驰援武汉，如果用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租方案； （3）若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金150元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨；（2）该物流公司共有3种租车方案：租用A型车1辆，B型车8辆；租用A型车5辆，B型车5辆；租用A型车9辆，B型车2辆；（3）租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费用为1320元 【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运完且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，即可求出各方案所需租车费，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得：， 答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨． （2）依题意得：3a+4b=35， ∴， 又∵a，b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆； 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆； （3）方案1所需租车费为120×1+150×8=1320（元）； 方案2所需租车费为120×5+150×5=1350（元）； 方案3所需租车费为120×9+150×2=1380（元）． ∵1320＜1350＜1380， ∴方案1最省钱，即租用A型车1辆，B型车8辆， 最少租车费用为1320元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，求出各租车方案所需租车费用． ( 题型 12 ) 行程问题(二元一次方程组的应用) 1.（20-21七年级上·福建厦门·阶段练习）一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军89km，且第一天比第天少走1km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？ 【答案】第一天11千米/时，第二天是9千米/时 【分析】设第一天的平均速度为x千米/时，第二天行军的平均速度是y千米/时，由两天共行军89km，且第一天比第二天少走1km，列出方程组可求解． 【详解】解：设第一天的平均速度为x千米/时，第二天行军的平均速度是y千米/时， 由题意可得：， 解得：， 答：第一天的平均速度为11千米/时，第二天行军的平均速度是9千米/时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是本题的关键． 2．（20-21七年级下·吉林四平·期末）小明和小丽两人相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇：若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？ 【答案】小明每小时前行7千米，小丽每小时前行3千米． 【分析】设小明每小时走x千米，小丽每小时走y千米，根据题中所给等量关系：（1）相向而行时：小明0.8小时行的路程+小丽0.8小时走的路程=8；（2）同向而行时：小明2小时行的路程-小丽2小时走的路程=8列出方程组，解方程组即可求得所求答案. 【详解】解：设小明每小时前行x千米，小丽每小时前行y千米．             根据题意得：            解得：               答：小明每小时前行7千米，小丽每小时前行3千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程求解． 3．（21-22七年级下·吉林四平·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？ 【答案】从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米 【分析】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组，即可求得． 【详解】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米， 根据题意得： 解得 答：从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组是解决本题的关键． ( 题型 13 ) 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 1.（21-22七年级下·吉林白山·期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元． (1)打折前，买一件A商品和一件B商品各需多少元？ (2)打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】(1)买一件A商品需16元，一件B商品需4元 (2)400元 【分析】（1）设打折前，买一件A商品x元，一件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解之即可； （2）计算出打折前费用，再与打折后的费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设打折前，买一件A商品x元，一件B商品y元 解得： 答：打折前，买一件A商品需16元，一件B商品需4元． （2）（元） 答：打折后，买500件A商品和500件B商品，比不打折少花了400元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是找到等量关系列出方程组． 2．（22-23七年级下·吉林白城·期末）某体育用品商店在“”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学正该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？    【答案】一个篮球原价270元，一个排球原价150元 【分析】设一个篮球的原价是元，一个排球的原价是元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设一个篮球的原价是元，一个排球的原价是元， 根据题意，得，解得． 答：一个篮球原价270元，一个排球原价150元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． ( 题型 14 ) 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 1.（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 2．（21-22七年级下·吉林长春·期末）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m． (1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）． 方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根． 方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． 方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． (2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整． 解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管， 根据题意，得 【答案】(1)7，4，1 (2)用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管 【分析】（1）由总数÷每份数=份数就可以直接得出结论； （2）设用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此方程构成方程组求出其解即可． 【详解】（1）解：方法①：6÷0.8=7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根； 方法②：（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根； 方法③：（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1根； 故答案为：7，4，1． （2）解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管， 根据题意，得，解得：． 答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数=总数建立方程是关键． ( 题型 15 )几何问题(二元一次方程组的应用) 1.（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？    【答案】一个小长方形的周长为，面积为． 【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是列出方程组，可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴ 答：一个小长方形的周长为，面积为． 2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】长为，宽为 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可得，解二元一次方程组即可得到答案，读懂题意，由图中长和宽建立等式列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为，宽为． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、长方形面积等知识，读懂题意列出方程是解决问题的关键． （1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组求解即可得到答案； （2）利用面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2） 解：求电视背景墙的面积为， （3） 答：电视背景墙的面积为． ( 题型 16 ) 古代问题(二元一次方程组的应用) 1.（23-24七年级下·吉林白城·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，设共有人，辆车，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】设共有人，辆车，根据“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步”，即可得出关于，的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设共有x人，y辆车，根据题意得 ， 故答案为：． 2.（21-22七年级下·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？ 【答案】甲有文钱，乙有25文钱． 【分析】设甲有x文钱，乙有y文钱，根据“若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱”，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲有x文钱，乙有y文钱， 依题意得：， 解得：， 答：甲有文钱，乙有25文钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． ( 题型 17 ) 其他问题(二元一次方程组的应用) 1.（21-22七年级下·吉林长春·期末）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图①是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．为了确保参赛马匹拥有舒适的居住环境，每匹马都有自己的“单人间”，即高标准马厩（如图②），中心设置了约240个高标准马厩．其中主赛场和马厩总共占16320平方米，主赛场面积是马厩的2倍还多3360平方米．求主赛场和“单人间”的面积各多少平方米？ 【答案】主赛场的面积为12000平方米，“单人间”的面积为18平方米 【分析】设主赛场面积为x平方米，马厩面积为y平方米，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设主赛场面积为x平方米，马厩面积为y平方米． 根据题意，得 解得 （平方米） 答：主赛场的面积为12000平方米，“单人间”的面积为18平方米． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 ( 题型 18 ) 三元一次方程组的定义及解 1.（20-21七年级下·吉林长春·期中）解方程组： 【答案】 【分析】先消去y，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可． 【详解】解： ①+③得， ①3+②2，得 ④与⑤组成方程组，得 解得： 把代入①，得 解得： 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，解题关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组． 2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法将得，，再由得，把代入①得，把代入③得． 【详解】解：， 得，， 得，，解得， 把代入①得，，解得， 把代入③得，，解得， ∴原方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键． 3．（20-21七年级下·吉林长春·期末）【数学问题】解方程组 【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得 （2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组 【答案】【完成解答】；【迁移运用】 【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解； （2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解． 【详解】解：（1）【完成解答】把①代入②，得，解得， 把代入①，可得， ∴方程组的解为； （2）【迁移运用】把①代入③，得，解得， 把代入②，得，解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键． 一、单选题 1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程． 【详解】解：A．只有一个未知数，故A选项不符合题意； B．，B选项符合题意； C．不是方程，故C选项不符合题意； D．的次数是2，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是解题的关键，将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴的值为． 故选：A． 3．（22-23七年级下·吉林四平·期末）下列各项中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； C．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， 右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】将看作已知数求出即可， 此题考查了，代入法解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【详解】解： 故答案为：． 6．（23-24七年级下·吉林·期末）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组；利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， 所以方程组的解为， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·吉林松原·期末）《一千零一夜》中一段文字翻译如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多．”则树上、树下共有几只鸽子？若设树上原有x只鸽子，树下原有y只鸽子，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设树上原有x只鸽子，树下原有y只鸽子，根据上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的可得方程，根据从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，树下原有y只鸽子， 由题意得：， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24七年级下·吉林四平·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，运用代入消元法即可求解． 【详解】解：， 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， ∴方程组的解是． 9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）在等式中，当时，，当，．求k、b的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 把x、y的值代入得出方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：根据题意得： 由①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 即，． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满，若A型车每辆需租金每次300元，B型车租金每次200元，直接写出最少租车费是______元． 【答案】(1)每辆A型车一次可运3吨，每辆B型车一次可运4吨 (2)1700 【分析】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程的应用； （1）设每辆A型车一次可运吨，每辆B型车一次可运吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”列出二元一次方程组，解方程组可得答案； （2）根据“共有31吨货物，一次运完且恰好每辆车都装满”列出二元一次方程，求出方程的正整数解，再分别计算出对应的租车费即可得出答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车一次可运吨，每辆B型车一次可运吨， 由题意得：， 解得：， 答：每辆A型车一次可运3吨，每辆B型车一次可运4吨； （2）由题意得：（，，且a，b是整数）， ∴， ∴或或， 当时，租车费为：（元）， 当时，租车费为：（元）， 当时，租车费为：（元）， ∴最少租车费是元， 故答案为：1700． 11．（22-23七年级下·吉林长春·期末）某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场参与服务工作，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)求单独调配座客车多少辆？该大学参与服务工作的志愿者共有多少人？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座位，又保证每车没有空座，则座客车需要多少辆？座客车需要多少辆？ 【答案】(1)单独调配座客车辆，该大学参与服务工作的志愿者共有人 (2)座客车需辆，座客车需辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设单独调配座客车辆，该大学参与服务工作的志愿者共有人，则单独调配座客车辆，根据若单独调配座客车若干辆，则有人没有座位；若单独调配座客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设座客车需辆，座客车需辆，根据同时调配座和座两种车型，既保证每人有座位，又保证每车没有空座，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设单独调配座客车辆，该大学参与服务工作的志愿者共有人， 依题意得：， 解得：， 故单独调配座客车辆，该大学参与服务工作的志愿者共有人． （2）解：设座客车需辆，座客车需辆， 依题意得：， 整理得：， 又∵、均为正整数， ∴， 故座客车需辆，座客车需辆． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 题型概览 题型01二元一次方程的定义 题型02二元一次方程的解 题型03已知二元一次方程组的解求参数 题型04代入消元法 题型05加减消元法 题型06二元一次方程组的特殊解法 题型07构造二元一次方程组求解 题型08已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型09方程组相同解问题 题型10根据实际问题列二元一次方程组 题型11方案问题(二元一次方程组的应用) 题型12行程问题(二元一次方程组的应用) 题型13销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型14和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 题型15几何问题(二元一次方程组的应用) 题型16古代问题(二元一次方程组的应用) 题型17其他问题(二元一次方程组的应用) 题型18三元一次方程组的定义及解 ( 题型01 ) 二元一次方程的定义 1.（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）若方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 3.（22-23七年级下·吉林长春·期末）已知关于、的方程是二元一次方程，求、的值． ( 题型0 2 ) 二元一次方程的解 1．（23-24七年级下·吉林·期末）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·吉林长春·期末）按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知方程，请用含的式子表示，得 ． 4．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于，的二元一次方程中的系数让墨迹盖住了，但是知道它有一个解是，，那么让墨迹盖住的的系数●的值为 ． 5.（22-23七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题： (1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解______． (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． ( 题型0 3 ) 已知二元一次方程组的解求参数 1.（23-24七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（    ） A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 3.（20-21七年级下·吉林延边·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是．求a-b的值． ( 题型0 4 ) 代入消元法 1.（23-24七年级下·吉林长春·期末）解方程组时，把②代入①，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23七年级下·吉林长春·期末）已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 3.（22-23七年级下·吉林长春·期末）解方程组：． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知关于x、y的方程是二元一次方程，求的值． ( 题型0 5 ) 加减消元法 1.（22-23七年级下·吉林长春·期末）由方程组可得出x与y的关系式为（    ） A． B． C． D． 2.（20-21七年级下·吉林延边·期末）若二元一次方程组，则与的关系是 ．（写出一个答案即可）． 3.（22-23七年级下·吉林长春·期末）解方程组：． 4.（22-23七年级下·吉林白山·期末）已知的平方根为的立方根为，求的平方根． ( 题型0 6 ) 二元一次方程组的特殊解法 1.（20-21七年级下·吉林白山·期末）方程的所有正整数解为 ． 2.（22-23七年级下·吉林长春·期中）阅读材料：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，将代入①可求得，从而求得方程组的解为，这种解方程组的方法被称为“整体代入法”． 利用上述方法解方程组：． ( 题型0 7 ) 构造二元一次方程组求解 1.（23-24七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 2．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． ( 题型 8 ) 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1.（23-24七年级下·吉林·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，且，则k值为（    ） A．2 B． C．1 D． 2.（24-25七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足，则 ． 3．（20-21七年级下·吉林白山·期末）已知方程组的解为，求的值． ( 题型 9 ) 方程组相同解问题 1.（21-22七年级下·吉林通化·期末）关于、的两个二元一次方程组与的解相同，则 ． 2.（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． ( 题型 10 ) 根据实际问题列二元一次方程组 1.（24-25九年级上·吉林长春·期末）现在有蓝花布与红花布共米，共卖了元，已知米蓝花布定价元，米红花布定价元，问两种布各有多少米？设有蓝花布米，红花布米，依据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·吉林白城·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？有多少人共同购买？设这个物品的价格是x元，有y人共同购买，则可列出的方程组为 ． 3.（21-22七年级下·吉林四平·期末）为有效防控新冠肺炎疫情，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，若购买3包口罩和2包酒精湿巾共需21元，购买5包口罩和1包酒精湿巾共需28元． (1)求每包口罩和每包酒精湿巾的单价． (2)妈妈给了小明60元钱全部用于购买此口罩和酒精湿巾（且都要购买），设小明购买口罩m包，酒精湿巾n包，由题意可列关于m，n的二元一次方程为：____________，由题意m，n都取正整数，请问小明有哪几种购买方案？ ( 题型 11 ) 方案问题(二元一次方程组的应用) 1.（21-22七年级下·吉林·期末）有大、小两种货车，2辆大货车和3辆小货车一次可以运货15.5吨；5辆大货车和6辆小货车一次可以运货35吨． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以运货分别为多少吨？ (2)a辆大货车和8辆小货车一次可以运货 吨（用含a的式子表示）． 2．（20-21七年级下·吉林白山·期末）某出租车公司有两种不同型号的汽车，用两辆型车和一辆型车装满货物一次可运货10吨；用一辆型车和两辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）一辆型车和一辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次．该物流公司最省钱的租车方案是 ，最少租车费为 元． 3．（20-21七年级下·吉林四平·期末）“一方有难，八方支援”，2020年新冠肺炎疫情突如其来时，我市援鄂抗疫医疗队驰援武汉，如果用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租方案； （3）若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金150元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． ( 题型 12 ) 行程问题(二元一次方程组的应用) 1.（20-21七年级上·福建厦门·阶段练习）一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军89km，且第一天比第天少走1km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？ 2．（20-21七年级下·吉林四平·期末）小明和小丽两人相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇：若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？ 3． （21-22七年级下·吉林四平·期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？ ( 题型 13 ) 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 1.（21-22七年级下·吉林白山·期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元． (1)打折前，买一件A商品和一件B商品各需多少元？ (2)打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花了多少钱？ 2．（22-23七年级下·吉林白城·期末）某体育用品商店在“”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学正该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？    ( 题型 14 ) 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 1.（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 2．（21-22七年级下·吉林长春·期末）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的．现钢材市场的钢管每根长为6m． (1)试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）． 方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪______根． 方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． 方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料______根． (2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小明是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管．由题意，可列方程组，进而得到问题的解决，请帮助小明把过程补充完整． 解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪y根6m长的钢管， 根据题意，得 ( 题型 15 )几何问题(二元一次方程组的应用) 1.（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？    2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． ( 题型 16 ) 古代问题(二元一次方程组的应用) 1.（23-24七年级下·吉林白城·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，设共有人，辆车，则可列方程组 ． 2.（21-22七年级下·吉林长春·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？ ( 题型 17 ) 其他问题(二元一次方程组的应用) 1.（21-22七年级下·吉林长春·期末）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图①是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．为了确保参赛马匹拥有舒适的居住环境，每匹马都有自己的“单人间”，即高标准马厩（如图②），中心设置了约240个高标准马厩．其中主赛场和马厩总共占16320平方米，主赛场面积是马厩的2倍还多3360平方米．求主赛场和“单人间”的面积各多少平方米？ 2．（23-24七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． ( 题型 18 ) 三元一次方程组的定义及解 1.（20-21七年级下·吉林长春·期中）解方程组： 2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 3．（20-21七年级下·吉林长春·期末）【数学问题】解方程组 【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得 （2） 【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组 一、单选题 1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）若是关于、的二元一次方程的解，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·吉林四平·期末）下列各项中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、填空题 5．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，用含的代数式表示，则 ． 6．（23-24七年级下·吉林·期末）方程组的解为 ． 7．（23-24七年级下·吉林松原·期末）《一千零一夜》中一段文字翻译如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多．”则树上、树下共有几只鸽子？若设树上原有x只鸽子，树下原有y只鸽子，可列方程组为 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·吉林四平·期末）解方程组：． 9．（22-23七年级下·吉林长春·期末）在等式中，当时，，当，．求k、b的值． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨． (1)求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨． (2)某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满，若A型车每辆需租金每次300元，B型车租金每次200元，直接写出最少租车费是______元． 11．（22-23七年级下·吉林长春·期末）某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场参与服务工作，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)求单独调配座客车多少辆？该大学参与服务工作的志愿者共有多少人？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座位，又保证每车没有空座，则座客车需要多少辆？座客车需要多少辆？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$