8.3多项式乘多项式练习-2024-2025学年苏科版（2024）数学七年级下册

8.3多项式乘多项式 练习 一、单选题 1．已知：无论取何值时，都成立，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知  ， 则的值为（   ） A．11 B．6 C．5 D．1 3．如图，一个长为a、宽为b的长方形，它的周长为18，面积为17，则的值为（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 4．有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 5．观察图形，与相等的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 8．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 9．一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 10．在1，2，3，…，2019中，可以表示为（表示不超过实数的最大整数）的形式的数有（   ） A．980个 B．988个 C．990个 D．998个 11．小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（   ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 12．已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 13．如果是关于x的多项式的一个因式，则常数m的值为 ． 14．已知，计算的值为 ． 15．已知，（，都为负整数），那 ． 16．已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）． ①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； ②长方形的长宽之比可能为； ③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形； ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． 三、解答题 17．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 18．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 19．已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 20．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D C B B B B C 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键． 先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ，， ． 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果即可得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了多项式乘多项式及求代数式的值；根据题意得；再把代数式用多项式乘多项式法则展开，整体代入即可求解． 【详解】解：∵长方形的周长为18，面积为17， ∴， 即； ∴； 故选：A． 4．D 【分析】本题考查代数式规律，多项式乘以多项式，代数式求值，根据的定义列出式子找到规律，再取特殊值代入计算即可． 【详解】解：①若， ， 故①正确； ② ， ∵代数式含有因式， ∴设 ∴， ∴，整理得， ∴， 故②正确； ∵， ， ， ， ， ∴， ， ∴当时，， ，， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； ∴， 当时，，，，则； ∴， 故③正确， 综上所述，正确的个数为3， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，根据图形面积关系可得，从而可得答案． 【详解】解：由长方形的面积可得： 图中长方形的面积为：或； ∴， 故选：C 6．B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据矩形的面积公式列式计算，算出每个选项的结果，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可得展开式中所有项的系数和是，据此解答即可求解，掌握数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， , ∴展开式中所有项的系数和是， ∴展开式中所有项的系数和是， 故选：． 8．B 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 求出，， ，，，可得到规律，即可求解． 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 故选：B 9．B 【分析】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选∶B 10．C 【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，理解新定义的含义，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据题意，令，则，所以均可表示为的形式，再根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：令，则， ， 均可表示为的形式， 当时，，当时，， ∴在中，可以表示为的形式的数有（个）， 故选：C． 11．C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． ，进行计算，即可求解． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴有最小值为， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 根据多项式乘多项式的法则求得，，再进行分类讨论，从而得解． 【详解】解：， ，， 又，，是整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故可能的值为个， 故选：C． 13．1 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是熟练掌握十字相乘法；利用十字相乘法很容易确定的值． 【详解】解：根据题意可得，多项式分解因式后含有因式， ， 则， 故答案为：1． 14． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算和整体代入求值，把整体代入化简后的结果，求出结果即可，解题的关键是熟练掌握整体代入． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 15．或或 【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. 根据整式的乘法得到，，再根据、都为负整数，从而求出的值. 【详解】解：， ，， ，都为负整数， 可分为或或， 或或， 的值为或或， 故答案为：或或． 16．①③ 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，多项式乘多项式等知识，注意数形结合；由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形，每个长方形的周长为，则三个这样的长方形周长为，再计算出大长方形的周长即可判断①；根据大长方形的两边，若长宽之比可能为，则可推出a或b的值，从而可判断②；当长方形为正方形时，可得a与b的关系，从而判断③；根据当长方形周长为60，得，计算出长方形的面积，根据面积即可判断④，最后可作出判断． 【详解】解：由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形， 所以每个长方形的周长为， 所以三个这样的长方形周长为； 而由图知大长方形的一边为，另一边为，则其周长为， 即图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； 故①正确； 若，则； 若，则； 即或时，长方形的长宽之比为，否则不成立； 故②错误； 当长方形为正方形时，即， 则有，从而九个部分都为正方形； 故③正确； 根据当长方形周长为60时，即， 得， 长方形的面积为 ， 由于均为正数，则， 即大长方形面积不可能为100； 故④错误； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 17．（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，． 18．(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：， ∴ 解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 19．(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简原式，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 20．(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$