第3讲 等式、根与系数关系、方程组讲义-2026届高三数学一轮复习

等式的性质与方程的解 一．等式的性质 1．等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 2．等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示上述等式的性质： 如果a=b，则对任意c，都有； 如果a=b，则对任意不为零的c，都有． 3、等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立． 二．恒等式 1．恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 【注意】恒等式是代数变形的依据之一． 2．常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 3．十字相乘法 给定式子，如果能找到和，使得且，则 为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，常用图来表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C， 正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 4．利用恒等式化简的步骤： （1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式； （2）提公因式后，看多项式的项数 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法． （3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行． 三．方程的解集 一般地，把一个方程所有解（或根）组成的集合，称为这个方程的解集． 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集． 考点一 等式的性质与应用 【例1】1．已知，则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【训练1】1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．下列变形错误的是（ ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 考点二 恒等式的化简 【例2】1．已知多项式分解因式为，则的值为（ ） A．； B．； C．； D． 【训练2】1．下列各式运算正确的是（ ） A． B． C． D． 考点三 一元二次式因式分解 【例3】1．用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； 【训练3】1．将下列各式因式分解： （1）； （2） 2．求下列方程的解集： （1）； （2）； 考点四 多元高次式因式分解 【例4】1．用十字相乘法分解因式： （1）； （2）． 【训练4】1．把下列各式因式分解： （1）6m2－5mn－6n2； （2）2x4＋x2y2－3y4； （3）. 2．把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）. 考点五 方程的解 【例5】1．一元二次方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【训练5】1．已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ） A．0 B．1 C． D． 2．（多选）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ） A． B． C． D． 3．用因式分解法求下列方程的解集． （1）6x(x＋1)＝5(x＋1)； （2） (2x－1)2－(x＋1)2＝0； 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一．一元二次方程 1．定义：形如的方程称为一元二次方程，其中，，是常数，且． 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解； （2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解； （3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解； （4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解． 3．一元二次方程根的判别式与解集 式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用表示，即= （1）当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 此时，方程的解集为： （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；此时，方程的解集为： （3）当<0时，一元二次方程没有实数根；此时，方程的解集为 二．一元一次方程根与系数的关系（韦达定理） 1．一元二次方程根与系数的关系： 如果的两根、，那么， 2．应用一元二次方程根与系数的关系时，常有一下变形： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； 考点一 一元二次方程的解集 【例1】1．方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【训练1】1．集合________． 2．方程的解集为__________． 3．求下列方程的解集： （1）； （2）． 4．方程的实数根是_______________． 考点二 一元二次方程根的分布 【例2】1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______． 2．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______． 3．已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是_______． 4．若关于的方程的一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为_______． 考点三 根与系数的关系 【例3】1．若关于x的方程的两根分别是，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【训练3】1．若是方程的两个根，则( ) A． B．2 C．4 D．8 2．若，满足，，且，则的值为（ ） A． B． C．9 D．11 3．已知一元二次方程的两根为，则为_______． 4．已知方程的两根，分别计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点四 利用根与系数的关系求参数 【例4】1．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【训练4】1．已知方程的两个实数根是和，若，求实数． 2．若为实数，关于的方程的解集为，则______． 3．已知关于的方程有两个不等实根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实根为，且，求实数的值； 4．已知是关于的一元二次方程的两个实根． （1）若，求实数的值； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若，求整数的值． 方程组的解集 一．方程组的解集与表示 1．方程组的解集：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．二元一（二）次方程组的解集表示方法为：，其中，为确定的实数． 三元一次方程组解集的表示方法为：，其中，，为确定的实数． 二．二元一次方程组 1．定义：方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 2．二元一次方程组的解法： （1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． （2）加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法． 三、二元二次方程组 1．定义：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称二元二次方程组． 2．解二元二次方程组的思路：消元和降次． 四、三元一次方程组 1、定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 2．三元一次方程组的解法： （1）先观察三个方程中各未知数系数及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数， 再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． （2）当“三元一次方程组”只含有两个方程时，我们将其中一个未知数看成已知数， 此时，方程组即二元一次方程组，利用消元法思想即可求解． 3．解三元一次方程组时要特别注意： （1）三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可； （2）解三元一次方程组时，每个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确． 考点一 解一元二次方程组 【例1】1．方程组的解集是（ ） A． B． C． D．或 【训练1】1．(多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（ ） A．或 B． C． D． 2．若关于，的方程组的解集为，则（ ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 3．关于，的方程组的解集，不正确的说法是（ ） A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是单元素集合 D．可能是无限集 4．若，则的值为_______． 考点二 解二元二次方程组 【例2】1．方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．解方程组：． 2．若相异两实数x，y满足，则之值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．求方程组的解集． 考点三 解三元一次方程组 【例3】1．方程组的解集的是（ ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 【训练3】1．已知，则（ ） A．（-1）:13:5 B．1:（-17）:（-5） C．1:5:13 D．1:17:5 2．方程组的解集为______． 考点四 方程组在实际问题中的应用 【例4】1．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ） A． B． C． D． 【训练4】1．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 2．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ） A．8元 B．16元 C．24元 D．32元 3．有A、B两种型号台灯，若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元，若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元． （1）求A、B两种型号台灯每台分别多少元？ （2）采购员小红想采购A、B两种型号台灯共30台，且总费用不超过2200元，则最多能采购B型台灯多少台？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等式的性质与方程的解 一．等式的性质 1．等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 2．等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示上述等式的性质： 如果a=b，则对任意c，都有； 如果a=b，则对任意不为零的c，都有． 3、等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为减去、除以，结论仍成立． 二．恒等式 1．恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 【注意】恒等式是代数变形的依据之一． 2．常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 3．十字相乘法 给定式子，如果能找到和，使得且，则 为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，常用图来表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C， 正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 4．利用恒等式化简的步骤： （1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式； （2）提公因式后，看多项式的项数 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法． （3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行． 三．方程的解集 一般地，把一个方程所有解（或根）组成的集合，称为这个方程的解集． 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集． 考点一 等式的性质与应用 【例1】1．已知，则下列比例式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误.故选：B. 【训练1】1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】选项A，当时，显然不成立；选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立；选项D，如果，则，故， 即，成立，故选：D 2．下列变形错误的是（ ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】B 【解析】A、，两边都加，得，故A正确；B、时，两边都除以无意义，故B错误；C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；D、两边都乘以，故D正确；故选：B． 考点二 恒等式的化简 【例2】1．已知多项式分解因式为，则的值为（ ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【解析】展开 ，解得：，.故选：D 【训练2】1．下列各式运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，右边左边，故A选项错误． 对于B选项，右边左边，故B选项错误． 对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确． 对于D选项，根据立方差公式可知，正确的运算是，故D选项错误．故选C． 考点三 一元二次式因式分解 【例3】1．用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）=； （2）=； 【训练3】1．将下列各式因式分解： （1）； （2） 【答案】答案见解析. 【解析】（1）； （2） 2．求下列方程的解集： （1）； （2）； 【答案】（1）（2） 【解析】（1），原方程化为， 解得或，所以原方程的解集为. （2），原方程化为， 解得或，所以原方程的解集为. 考点四 多元高次式因式分解 【例4】1．用十字相乘法分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）=； （2）=． 【训练4】1．把下列各式因式分解： （1）6m2－5mn－6n2； （2）2x4＋x2y2－3y4； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）； （2）； （3）. 2．把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）（方法一）原式 . （方法二）原式 . 考点五 方程的解 【例5】1．一元二次方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即，所以或， 解得，.故选:C. 【训练5】1．已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，得，因为关于的方程的解集为， 所以，得，故选：C 2．（多选）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意可知且，则原方程可化为，得， 若，解得，故原方程为，解得； 若此方程有一根为－1，，此方程解为（舍去）； 若此方程有一根为0，，此方程解为（舍去）选：ABC． 3．用因式分解法求下列方程的解集． （1）6x(x＋1)＝5(x＋1)； （2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0； 【答案】（1）；（2）{0，2}； 【解析】（1）分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1. 所以方程的解集为. （2）分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0， 所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.所以方程的解集为{0，2}． 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一．一元二次方程 1．定义：形如的方程称为一元二次方程，其中，，是常数，且． 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解； （2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解； （3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解； （4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解． 3．一元二次方程根的判别式与解集 式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用表示，即= （1）当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 此时，方程的解集为： （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；此时，方程的解集为： （3）当<0时，一元二次方程没有实数根；此时，方程的解集为 二．一元一次方程根与系数的关系（韦达定理） 1．一元二次方程根与系数的关系： 如果的两根、，那么， 2．应用一元二次方程根与系数的关系时，常有一下变形： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） （7） （8） 考点一 一元二次方程的解集 【例1】1．方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程，可得方程，解得或，所以或， 即方程的解集为.故选：C. 【训练1】1．集合________． 【答案】 【解析】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A＝﹒ 2．方程的解集为__________． 【答案】，． 【解析】令，则，原方程化为，解得（舍或， 即，得，解得或．即方程的解集为，． 3．求下列方程的解集： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）令，原方程化为，解得或． 当时，，即，，此方程无解． 当时，，即，解得或．所以原方程的解集为． （2）令方程化为，解得或（舍）． 由得，即，解得或， 经检验，是原方程的解．所以原方程的解集为． 4．方程的实数根是_______________． 【答案】 【解析】∵，∴ ，令可得，， ∴ ，∴ 或，由可得，方程无实数解， 由可得，方程的解为. 考点二 一元二次方程根的分布 【例2】1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】有两个不相等的实数根 【训练2】1．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】由题意得：. 2．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】的两个根都大于， 解得可求得实数的取值范围为 3．已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】设两个正实数根分别为，. 4．若关于的方程的一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】由题意，关于的方程的一根大于1，另一根小于1，设， 根据二次函数的性质，可得，解得，所以实数的取值范围为. 考点三 根与系数的关系 【例3】1．若关于x的方程的两根分别是，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为是方程的两根，所以 所以，故选：C 【训练3】1．若是方程的两个根，则( ) A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为是方程的两个根，所以由根与系数之间的关系，，， 故.故选：C. 2．若，满足，，且，则的值为（ ） A． B． C．9 D．11 【答案】A 【解析】依题可得，，为方程的两个不等实根，所以，， 所以.故选：A. 3．已知一元二次方程的两根为，则为_______． 【答案】 【解析】结合韦达定理可知，.因为， 所以，且，由（1）知，所以. 4．已知方程的两根为，分别计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】是方程的两根，； （1）； （2）； （3）. （4）； 考点四 利用根与系数的关系求参数 【例4】1．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由题意得且，解得， 又，解得或（舍）.故选：B 【训练4】1．已知方程的两个实数根是和，若，求实数． 【答案】 【解析】方程的两个根是和,由韦达定理得,, 又，即,得 ,解得 2．若为实数，关于的方程的解集为，则______． 【答案】 【解析】由关于的方程的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，解得，所以. 3．已知关于的方程有两个不等实根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实根为，且，求实数的值； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，关于的方程有两个不等实根 则，即，解得，即实数的取值范围为. （2）由方程的两个实根为，可得， 解得且，因为，可得， 解得或（舍去），所以实数的值为. 4．已知是关于的一元二次方程的两个实根． （1）若，求实数的值； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若，求整数的值. 【答案】（1）；（2）不存在，详见解析；（3）或或. 【解析】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得，，，因为， 所以，即，，，. （2）由（1）易知，，，若存在实数，使成立， 则，解得，因为，所以不存在实数使成立. （3）由（1）易知，，，则， 因为，所以，因为为整数，所以、、，因为，所以或或. 方程组的解集 一．方程组的解集与表示 1．方程组的解集：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．二元一（二）次方程组的解集表示方法为：，其中，为确定的实数． 三元一次方程组解集的表示方法为：，其中，，为确定的实数． 二．二元一次方程组 1．定义：方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 2．二元一次方程组的解法： （1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． （2）加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法． 三、二元二次方程组 1．定义：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称二元二次方程组． 2．解二元二次方程组的思路：消元和降次． 四、三元一次方程组 1、定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 2．三元一次方程组的解法： （1）先观察三个方程中各未知数系数及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数， 再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的． （2）当“三元一次方程组”只含有两个方程时，我们将其中一个未知数看成已知数， 此时，方程组即二元一次方程组，利用消元法思想即可求解． 3．解三元一次方程组时要特别注意： （1）三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可； （2）解三元一次方程组时，每个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确． 考点一 解一元二次方程组 【例1】1．方程组的解集是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由得：，方程组的解集为.故选：C. 【训练1】1．(多选)有下面四种表示方法：其中能正确表示方程组的解集的是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，得，解集用集合表示为：或.故选：BD. 2．若关于，的方程组的解集为，则（ ） A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】D 【解析】∵关于，的方程组的解集为，∴，解得，，∴. 3．关于，的方程组的解集，不正确的说法是（ ） A．可能是空集 B．必定不是空集 C．可能是单元素集合 D．可能是无限集 【答案】A 【解析】当时，与重合，解集是 无限集，则D正确； 当时，有单元素集合，则B，C正确；故选：A 4．若，则的值为_______． 【答案】-1 【解析】，两式相加可得：，故答案为：-1 考点二 解二元二次方程组 【例2】1．方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，所以方程组的解集是，故选：D 【训练2】1．解方程组：． 【答案】或 【解析】依题意，则，，解得或. 所以方程组的解为：或 2．若相异两实数x，y满足，则之值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】两式作差消元得：，反代回去得：， 同理可得：，由同构及韦达定理有：继而有：.故选：D 3．求方程组的解集． 【答案】 【解析】由题设，，整理有，可得，代入，可得，∴方程组的解集为. 考点三 解三元一次方程组 【例3】1．方程组的解集的是（ ） A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)} 【答案】A 【解析】由题意将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得： 代入第一个式子，可得故方程组的解集为：{(1，－2，3)}，故选：A 【训练3】1．已知，则（ ） A．（-1）:13:5 B．1:（-17）:（-5） C．1:5:13 D．1:17:5 【答案】A 【解析】因为，两式相加得，则，则， 所以. 2．方程组的解集为______． 【答案】 【解析】由，联立求解得，故方程组的解集为故答案为： 考点四 方程组在实际问题中的应用 【例4】1．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程；根据组数×每组8人＝总人数＋5人， 得方程 ，列方程组为，故选：C 【训练4】1．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有.故选：B. 2．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ） A．8元 B．16元 C．24元 D．32元 【答案】D 【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，则， 两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8， ∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选：D. 3．有A、B两种型号台灯，若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元，若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元． （1）求A、B两种型号台灯每台分别多少元？ （2）采购员小红想采购A、B两种型号台灯共30台，且总费用不超过2200元，则最多能采购B型台灯多少台？ 【答案】（1）50、85元；（2）20台． 【解析】（1）设A、B两种型号台灯每台分别x、y元，依题意可得：， 解得：，答： A、B两种型号台灯每台分别50、85元． （2） 设能采购B型台灯a台，依题意可得：，解得：． 答：最多能采购B型台灯20台． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$