2.2 平方根与立方根（第2课时）课时作业 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.2 平方根与立方根（第2课时） 课时作业 一、选择题 1．（2024秋•达州期末）的立方根是　　 A． B． C． D． 2．（2025•台江区校级模拟）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2025春•福州校级期中）下列说法正确的是　　 A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 4．（2025•广陵区校级二模）下列各式结果是负数的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•宁阳县期末）下列结论正确的是　　 A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D． 6．（2025春•睢县期中）已知，，，则　　 A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 7．（2025春•凉州区期中）已知为实数，且，则的算术平方根为　　 A． B． C．2 D．4 8．（2024秋•仁寿县期末）已知，，则的值为　　 A． B．1 C．11 D．或5 9．（2025春•北京校级期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在　　 A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 10．（2024秋•寿阳县期末）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为　　 A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025春•江津区校级期中）的算术平方根是　　 ，的立方根是　　 ． 12．（2024秋•薛城区期末）一个体积是9的小正方体的棱长是　　 ． 13．（2025春•瑞安市期中）已知，为实数，且，则的值为　　 ． 14．（2025春•云阳县期中）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是　　． 15．（2025春•周至县期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为　　 ． 16．（2024秋•福山区期末）已知实数，满足关系式，求的立方根　　 ． 17．（2025春•榆林期中）有一个立方体的集装箱，原容积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其成为容积达到的立方体，则它的棱长需要增加　　 ． 18．（2025春•饶平县期中）已知：，则　　 ． 三、解答题 19．（2025春•云梦县期中）求下列各式中的值： （1）； （2）． 20．（2025春•和平区校级期中）已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 21．（2025春•老河口市期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． （1）求正方形卡纸的边长； （2）如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； （3）如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 22．（2025春•西城区校级期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 （1）直接写出数对的开方对称数对　和　 ； （2）若数对的一个开方对称数对是，求，的值； （3）若数对的一个开方对称数对是，求的值． 23．（2025春•重庆期中）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以59319的立方根是两位数 第二步：因为59319的个位上的数是9，而在中，只有9的立方的个位上的数是9，所以59319的立方根的个位上的数是9． 第三步：划去59319后面的三位319得到数59，而，，，所以的十位上的数是3．综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则15625的立方根是 　　位数； 第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是 　　； 第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而，，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 　　， 因此15625的立方根是 　　． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数300763，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 24．（2025春•望城区期中）已知的平方根是，的立方根是3，是的算术平方根． （1）填空：　　 ，　　 ，　　 ； （2）求的平方根． （3）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 参考答案 一、选择题 1．（2024秋•达州期末）的立方根是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：， 的立方根是． 故选：． 【点评】本题主要考查了立方根，熟记立方根的定义是解答本题的关键． 2．（2025•台江区校级模拟）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方根、算术平方根和立方根的性质进行计算． 【解答】解：、，故选项错误； 、，故选项正确； 、，故选项错误； 、，故选项错误． 故选：． 【点评】此题考查了平方根、算术平方根和立方根，理解立方根的意义，记住，算术平方根的结果为非负数． 3．（2025春•福州校级期中）下列说法正确的是　　 A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 【答案】 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义分别求出结果，即可得出结论． 【解答】解：、的平方根是， 不正确，不符合题意； 、没有平方根， 正确，符合题意； 、，3的算术平方根是； 不正确，不符合题意； 、的立方根是2． 不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了立方根、平方根以及算术平方根的定义；熟练掌握开方与平方、立方的互逆关系是解决问题的关键． 4．（2025•广陵区校级二模）下列各式结果是负数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，立方根的定义依次运算即可得出正确答案． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，正确； 、，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，负整数指数幂，立方根的定义，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 5．（2024秋•宁阳县期末）下列结论正确的是　　 A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D． 【答案】 【分析】根据平方根与立方根的性质逐项判断即可得． 【解答】解：根据平方根与立方根的性质逐项分析判断如下： 、，8的平方根是，此项错误，不符合题意； 、，此项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数有0，1，，此项错误，不符合题意； 、， ，此项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平方根与立方根的性质，掌握理解平方根与立方根的性质是解题关键． 6．（2025春•睢县期中）已知，，，则　　 A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】 【分析】利用立方根的性质即可求得答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查立方根的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．（2025春•凉州区期中）已知为实数，且，则的算术平方根为　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【分析】根据结合已知条件可得，则，解方程求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【解答】解：， ， ， 解得， ， 的算术平方根为2， 故选：． 【点评】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2024秋•仁寿县期末）已知，，则的值为　　 A． B．1 C．11 D．或5 【答案】 【分析】由立方根的定义求出，由绝对值的性质得到，即可得到的值． 【解答】解：， ， ， ． 当，时， ； 当，时， ， 或5． 故选：． 【点评】本题考查立方根，绝对值，关键是掌握立方根的定义，绝对值的性质． 9．（2025春•北京校级期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在　　 A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】 【分析】设正方体内壁的边长为，得，求出，再利用立方根的估算方法估算即可． 【解答】解：设正方体内壁的边长为，则有， 解得：， 利用立方根的估算可知：，，，，， 且， ， 故选：． 【点评】本题考查立方根的应用，立方根的估算，熟练掌握立方根的估算方法是解题的关键． 10．（2024秋•寿阳县期末）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正方体体积的计算方法以及立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：二级魔方是由8个小正方体组成的，二阶魔方的体积约为， 每一个小正方体的体积为， 每个小正方体的棱长为， 故选：． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提． 二、填空题 11．（2025春•江津区校级期中）的算术平方根是　　 ，的立方根是　　 ． 【答案】，． 【分析】根据算术平方根、立方根的意义，即可解答． 【解答】解：根据算术平方根、立方根的意义可得：，3的算术平方根是； 的算术平方根是； 的立方根是． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了平方根与立方根．熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2024秋•薛城区期末）一个体积是9的小正方体的棱长是　　 ． 【答案】． 【分析】根据立方根的定义求解． 【解答】解：设小正方体的棱长为，则， 因此， 故答案为：． 【点评】本题考查立方根的应用，解题的关键是掌握立方根的定义． 13．（2025春•瑞安市期中）已知，为实数，且，则的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 14．（2025春•云阳县期中）已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是　　． 【分析】利用平方根、立方根定义求出与的值，即可确定出的平方根． 【解答】解：根据题意得：，， 解得：，， 则，4的平方根是， 故答案为： 【点评】此题考查了立方根、平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 15．（2025春•周至县期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为　6　 ． 【答案】6． 【分析】根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可． 【解答】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ， 由题意得：， 解得：， 康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为． 故答案为：6． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 16．（2024秋•福山区期末）已知实数，满足关系式，求的立方根　3　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ，，， ，，， ， 的立方根是3， 的立方根为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 17．（2025春•榆林期中）有一个立方体的集装箱，原容积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其成为容积达到的立方体，则它的棱长需要增加　1　 ． 【答案】1． 【分析】设它的棱长需要增加 ，根据立方体的体积公式求原立方体的棱长，然后根据新立方体的体积列方程，求解即可． 【解答】解：设它的棱长需要增加 ， 原立方体的棱长为， 由题意得：， ， ， 答：它的棱长需要增加1 ． 故答案为：1． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 18．（2025春•饶平县期中）已知：，则　11.29　 ． 【答案】11.29． 【分析】根据被开方数小数点向右（或向左）移动三位，其立方根的小数点就向右（或向左）移动一位解答即可． 【解答】解：， ． 故答案为：11.29． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握被开方数和立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 三、解答题 19．（2025春•云梦县期中）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）移项并两边同时开平方即可； （2）移项后，两边同时开立方即可，然后计算即可． 【解答】解：（1）， 移项，得， 两边同时开平方，得或； （2）， 移项，得， 两边同时开立方，得， 解得． 【点评】本题考查立方根和平方根，掌握求立方根与平方根的方法是本题的关键． 20．（2025春•和平区校级期中）已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）对于两个实数、若满足，那么就叫做的平方根，若为非负数，那么就叫做的算术平方根，若满足，那么就叫做的立方根，可得，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得， ， 的立方根是， ， ； （2）由条件可知，， ， 的平方根是． 【点评】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根：熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2025春•老河口市期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． （1）求正方形卡纸的边长； （2）如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； （3）如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】（1）正方形卡纸的边长为；（2）裁出的长方形的面积不能为理由见解析；（3）． 【分析】（1）利用正方形的面积公式和算术平方根的意义解答即可； （2）设长方形的长宽之比为，，利用长方形的面积公式解答即可； （3）利用正方体的体积公式，立方根的意义和正方体的表面积的公式解答即可． 【解答】解：（1）设正方形卡纸的边长为 ， ，， ． 正方形卡纸的边长为． （2）裁出的长方形的面积不能为理由： 设长方形的长宽之比为 ， ， 假设裁出的长方形的面积为， ， ， ， ． 长方形的长宽之比为，， 由（1）知：正方形卡纸的边长为， ， 裁出的长方形的面积不能为． （3）设小正方体的棱长为 ， ， ． ，， 符合题意． 正方体的表面积． 【点评】本题主要考查了正方形的面积，正方体的体积与表面积，立方根的意义，算术平方根的意义，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 22．（2025春•西城区校级期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 （1）直接写出数对的开方对称数对　和　 ； （2）若数对的一个开方对称数对是，求，的值； （3）若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】（1）和； （2），； （3）或． 【分析】（1）根据新定义直接求，的值，然后写出开方对称数对即可； （2）根据新定义得，，解得，的值； （3）分情况求，的值，进而求的值． 【解答】解：（1），， 数对的开方对称数对为和； （2）由题意得：，， ，； （3）当，时， 解得，， ； 当，时， 解得，， ， 综上所述，的值为或． 【点评】本题考查了立方根，算术平方根，准确理解题目中的新定义是解题的关键． 23．（2025春•重庆期中）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为，，，．所以59319的立方根是两位数 第二步：因为59319的个位上的数是9，而在中，只有9的立方的个位上的数是9，所以59319的立方根的个位上的数是9． 第三步：划去59319后面的三位319得到数59，而，，，所以的十位上的数是3．综上，可得． 【方法迁移】 第一步：，，则15625的立方根是 　2　位数； 第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是 　　； 第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而，，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 　　， 因此15625的立方根是 　　． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数300763，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 【答案】（1）2，5，2，25； （2）能，，推理过程见解析． 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可求得立方根； （2）利用以上规律求解即可． 【解答】解：（1）第一步：，，则15625的立方根是2位数； 第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是5； 第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而，，由此可确定15625的立方根十位上的数字是2，因此15625的立方根是25． 故答案为：2，5，2，25； （2），，， ， 的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3， 的个位数字是7． 如果划去300763后面的三位763得到数300，而，，， ， ，即的十位数字是6． ． 【点评】本题考查了数的立方，解题的关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数． 24．（2025春•望城区期中）已知的平方根是，的立方根是3，是的算术平方根． （1）填空：　5　 ，　　 ，　　 ； （2）求的平方根． （3）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】（1）5；2；； （2）； （3）． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先将，，代入求出，然后再求其平方根即可； （3）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【解答】解：（1）的平方根是，的立方根是3， ，， 解得：，， ， 是的算术平方根， ， 故答案为：5，2，； （2）， 16的平方根是， 即的平方根为； （3）， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（3）的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$