10.3.1 频率的稳定性（分层作业，7大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

10.3.1 频率的稳定性 题型一 计算频率 1．小李有一块不规则形状的五面体石块，他将每个面分别标上1，2，3，4，5后，抛掷了100次，并且记录了每个面落在地面上的次数（如下表）．如果再抛掷一次，试估计标记为4的这一面落在地面上的概率是多少． 石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 【答案】 【分析】利用频率估计概率的思想直接计算即可. 【详解】由题意知， 标记为4的这一面落在桌面上的频数为13， 所以标记为4的这一面落在桌面上的频率为， 故标记为4的这一面落在桌面上的概率为. 2．有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 … 抽出K的频数 7 13 32 136 198 270 660 … 抽出K的频率 65% 67% … (1)将上述表格补充完整； (2)观察表格，计算摸到K的频率为多少； (3)估计摸到K的概率． 【答案】(1)见解析 (2)约为66%. (3)摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为. 【详解】（1）完善后表格如下表所示： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 抽出K的频数 7 13 32 65 136 198 270 335 660 抽出K的频率 70% 65% 64% 65% 68% 66% 67.5% 67% 66% （2）由（1）可得计算摸到K的频率约为66%. （3）由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为. 3．下表中的数据是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，那么女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是 ． 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 合 计 男性青年观众 40 10 50 女性青年观众 40 60 100 合 计 80 70 150 【答案】 【分析】根据表格提供的数据计算出比值. 【详解】女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是： . 故答案为： 题型二 辨析概率与频率的关系 1．问题辨析： (1)天气预报：“明天降雨的概率是80%”，明天出门是否一定遇上雨？ (2)彩票中奖率为1%，你买100张彩票是否一定中奖？ (3)抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率为0.5，那么连续抛掷这枚硬币2次，一定是一次出现正面、一次出现反面吗？ 【答案】(1)不一定 (2)不一定 (3)不一定 【分析】根据随机事件与概率的性质，概率与频率的区别逐个判断即可. 【详解】（1）天气预报：“明天降雨的概率是80%”，则“明天降雨”为随机事件，不一定发生，故明天出门是不一定遇上雨. （2）彩票中奖率为1%，则“买1张彩票中奖”为随机事件，不一定发生，买100张彩票也不一定发生，即买100张彩票是不一定中奖 （3）抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率为0.5，那么连续抛掷这枚硬币2次，可能出现2次正面、一正一反、2次反面3种情况，故不一定是一次出现正面、一次出现反面. 题型三 用频率估计概率 1．一个盒子中装有除颜色外完全相同的白球和红球若干个，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回盒中，混合均匀后再摸一球，记录颜色．如此重复多次，统计摸得白球的次数，计算摸得白球的频率，估计摸得白球的概率．之后将盒中所有球取出，看其中白球所占比例．比较此比例与前面所得概率之间的关系． 【答案】答案见解析 【分析】根据频率和概率之间的关系分析作答. 【详解】在同等条件下，大量反复实验时，随机事件发生的频率稳定在附近概率， 所以此比例与前面所得概率近似相等. 2．“抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数为的概率为，那么连续抛掷这枚骰子次会出现次掷出的点数为．”这种说法对吗？为什么？ 【答案】不对，原因见解析. 【分析】由概率与频率的概念进行辨析即可. 【详解】这种说法不对，原因如下. 连续抛掷这枚骰子次，相当于做了次试验，每次试验的结果都是随机的. 每次试验骰子掷出的点数可能为，也可能不为，连续抛掷这枚骰子次，可能会出现次掷出的点数为，也可能出现次，次，……，次或次. 抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数为的概率为，其含义为每次试验中，骰子掷出的点数为的可能性为. “连续抛掷这枚骰子次出现次掷出的点数为”指的是次试验，出现点数的频率为. 随着试验次数的增加频率逐渐稳定于概率但是频率和概率并不是一个概念，故以上说法不正确. 题型四 游戏的公平性 1．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题. 题型五 决策中的概率思想 1．同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 【答案】(1)有，，，，，，，，，，共种可能 (2)分别约为，， (3)分别约为，，，且比第（2）问结果更加接近，， (4)可增加重复试验的次数 (5)不相等 【分析】动手试验，观察、记录数据，根据题意进行计算，由频率估计出相应概率，依次解答即可. 【详解】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. 实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共种可能， 并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. （2）重复抛掷两枚骰子次，分别观察、记录， 记“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频数分别为，，，（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由此可以分别求出“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频率分别为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由频率估计概率，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率分别约为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 实际上，由古典概型知识可以求得， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，，，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故. （3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”进行估计，所得结果会更加接近，，（随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）. （4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验的方法实现. （5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率不相等. 实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认. 题型六 抽奖、彩票和天气预报中的概率解释 1．根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 【答案】(1) (2) (3)不正确 【分析】（1）根据命中率计算方法即可得到答案； （2）根据命中率反推出投篮次数即可； （3）根据概率的含义即可判断. 【详解】（1）根据题意，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次， 则这名运动员的投篮命中率； （2）若这名运动员要想投篮命中10000次，则有； （3）虽然这名运动员的投篮命中率，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”说法不正确. 题型七 其他问题中的概率解释 1．2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有n份（）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测n次；（2）混合检测，将其中份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸样本全部为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k份核酸样本中，哪些是阳性，就要对这k份核酸样本逐份检测，此时这k份核酸样本检测总次数为k+1次．假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的．假设有5份核酸样本，已知其中只有2份为阳性． (1)若采用两种核酸检测方式检测，问最多经过几次检测就可以找到全部的阳性样本？ (2)从这5份核酸样本中随机抽取2份，求至少抽取到一份为阳性样本的概率． 【答案】(1)5次 (2) 【分析】（1）根据题意，直接分析求解即可； （2）根据古典概率模型列举基本事件，根据公式求解即可； 【详解】（1）解：有5份核酸样本，若采用逐份检测，最多经过4次可找到全部2份阳性核酸样本； 若采用第二种检测方法，根据题意，最多经过5次可找到全部2份阳性核酸样本， 综上知，最多经过5次可找到全部2份阳性核酸样本． （2）解：分别用A，B，C表示阴性样本，D，E表示阳性样本， 基本事件为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种 至少抽取到一份为阳性样本的基本事件有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共7种 所以，所求概率为． 2．在下列三个问题中： ① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的； ② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率； ③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的； 其中，正确的是 .（用序号表示） 【答案】①② 【分析】以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性. 【详解】① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币， 可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面､一个反面”的概率为 即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确； ② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确； ③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误. 故答案为：① ② 1．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【答案】B 【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 2．下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】ACD 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3.1 频率的稳定性 题型一 计算频率 1．小李有一块不规则形状的五面体石块，他将每个面分别标上1，2，3，4，5后，抛掷了100次，并且记录了每个面落在地面上的次数（如下表）．如果再抛掷一次，试估计标记为4的这一面落在地面上的概率是多少． 石块的面 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 2．有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 … 抽出K的频数 7 13 32 136 198 270 660 … 抽出K的频率 65% 67% … (1)将上述表格补充完整； (2)观察表格，计算摸到K的频率为多少； (3)估计摸到K的概率． 3．下表中的数据是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，那么女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是 ． 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 合 计 男性青年观众 40 10 50 女性青年观众 40 60 100 合 计 80 70 150 题型二 辨析概率与频率的关系 1．问题辨析： (1)天气预报：“明天降雨的概率是80%”，明天出门是否一定遇上雨？ (2)彩票中奖率为1%，你买100张彩票是否一定中奖？ (3)抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率为0.5，那么连续抛掷这枚硬币2次，一定是一次出现正面、一次出现反面吗？ 题型三 用频率估计概率 1．一个盒子中装有除颜色外完全相同的白球和红球若干个，从中任意摸出一个球，记录颜色后放回盒中，混合均匀后再摸一球，记录颜色．如此重复多次，统计摸得白球的次数，计算摸得白球的频率，估计摸得白球的概率．之后将盒中所有球取出，看其中白球所占比例．比较此比例与前面所得概率之间的关系． 2．“抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数为的概率为，那么连续抛掷这枚骰子次会出现次掷出的点数为．”这种说法对吗？为什么？ 题型四 游戏的公平性 1．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 题型五 决策中的概率思想 1．同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 题型六 抽奖、彩票和天气预报中的概率解释 1．根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 题型七 其他问题中的概率解释 1．2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有n份（）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测n次；（2）混合检测，将其中份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸样本全部为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k份核酸样本中，哪些是阳性，就要对这k份核酸样本逐份检测，此时这k份核酸样本检测总次数为k+1次．假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的．假设有5份核酸样本，已知其中只有2份为阳性． (1)若采用两种核酸检测方式检测，问最多经过几次检测就可以找到全部的阳性样本？ (2)从这5份核酸样本中随机抽取2份，求至少抽取到一份为阳性样本的概率． 2．在下列三个问题中： ① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的； ② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率； ③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的； 其中，正确的是 .（用序号表示） 1．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 2．下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$