1.3 勾股定理的应用（第2课时）【平面展开—最短路径问题】 课时作业 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.3 勾股定理的应用（第2课时） 课时作业 一、选择题 1．（2025春•和县期中）如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路径是（注取　　 A． B． C． D． 2．（2025春•平舆县期中）如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是，高，要从点环绕油罐建梯子，正好到达的正上方的点，则梯子最短需要　　 A． B． C． D． 3．（2025春•青秀区校级期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点在上，米，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为　　 A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 4．（2024秋•宁阳县期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为　　 A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 5．（2025春•盘龙区期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是，，，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到处的最短路程为　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•城关区校级期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是　　 A．15 B．25 C．35 D．45 7．（2024秋•府谷县期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为5，高为9．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为　　 A．41 B．50 C．9 D．29 二、填空题 8．（2024秋•通许县期末）如图，正方体的棱长为，已知点与点间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 　　． 9．（2024秋•岳麓区校级期末）如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为 　　 ． 10．（2024秋•沙市区期末）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为　　 ． 11．（2024秋•榆阳区期末）我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则葛藤的最短长度是 　　尺． 12．（2025春•合川区期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 　　． 13．（2025•西安校级四模）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为　　． 三、解答题 14．（2025春•香坊区校级月考）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点爬到点，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． （1）根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形取，其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　 厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　 厘米； （2）在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 15．（2024秋•观山湖区期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少？ （2）这块绿化用地的面积是多少？ 16．（2025春•城关区校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．（1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 17．（2024秋•东营区期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程长是多少？ 18．（2025春•潜山市期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 19．（2025春•盐山县期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定，两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 20．（2024春•东阿县期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为 　　，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为 　　． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 参考答案 一、选择题 1．（2025春•和县期中）如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路径是（注取　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：在侧面展开图中， 的长等于底面圆周长的一半，即， 根据勾股定理得：， 从点爬到点的最短路径长， 故选：． 【点评】此题考查的是平面展开最短路径问题，正确进行计算是解题关键． 2．（2025春•平舆县期中）如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是，高，要从点环绕油罐建梯子，正好到达的正上方的点，则梯子最短需要　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：如图所示： ，， ． 答：梯子最短需要13米， 故选：． 【点评】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 3．（2025春•青秀区校级期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点在上，米，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为　　 A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】 【分析】要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：如图是其侧面展开图： （米，（米，（米， 在△中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20（米． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2024秋•宁阳县期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为　　 A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】 【分析】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， 米，（米， （米， 雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 5．（2025春•盘龙区期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是，，，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到处的最短路程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先将已知图形展开，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为；再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长，然后运用勾股定理可完成解答． 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为 ， 由勾股定理得：， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 6．（2024秋•城关区校级期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是　　 A．15 B．25 C．35 D．45 【分析】根据梯形画出图形，根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线， 在中，，，由勾股定理得：． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长． 7．（2024秋•府谷县期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为5，高为9．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为　　 A．41 B．50 C．9 D．29 【答案】 【分析】如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【解答】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， 由题意得，，， 由勾股定理得， 同理可得， ， 答：所用彩条最短长度是41． 故选：． 【点评】本题考查的勾股定理得实际应用，平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 二、填空题 8．（2024秋•通许县期末）如图，正方体的棱长为，已知点与点间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 　　． 【答案】． 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将正方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图1， ， 如图2， ， 答：需要爬行的最短距离为， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 9．（2024秋•岳麓区校级期末）如图，已知长方体的长、宽、高分别是4、3、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为 　　 ． 【答案】． 【分析】分三种情况将长方体侧面展开根据勾股定理分别计算出的长再比较大小即可得出结果． 【解答】解：将长方体侧面展开如图所示： 则； 如图所示： 则； 如图所示： 则， ， 最短路径长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 10．（2024秋•沙市区期末）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为　4　 ． 【答案】4． 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图，， ， 答：它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少， 故答案为：4． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 11．（2024秋•榆阳区期末）我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则葛藤的最短长度是 　25　尺． 【答案】25． 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中， 尺，尺， （尺． 答：葛藤长为25尺． 故答案为：25． 【点评】本题考查的是平面展开最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键． 12．（2025春•合川区期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 　5　． 【答案】5． 【分析】将容器侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【解答】解：如图，过作于， 圆柱形玻璃容器高，底面周长为， ，， ， 答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为， 故答案为：5． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 13．（2025•西安校级四模）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为　　． 【答案】． 【分析】根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可． 【解答】解：展开图如下， ， 蚂蚁爬行的最短距离， 故答案为：． 【点评】本题考查平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题． 三、解答题 14．（2025春•香坊区校级月考）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点爬到点，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． （1）根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形取，其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　4　 厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　 厘米； （2）在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】厘米， 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得厘米，厘米， 故答案为：4，6； （2）在△中，（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程为厘米， 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．（2024秋•观山湖区期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少？ （2）这块绿化用地的面积是多少？ 【答案】（1）这条小路的最短长度是； （2）这块绿化用地的面积是． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． 【解答】解：（1）连接， ，，， ， 答：这条小路的最短长度是； （2）， ， ， 答：这块绿化用地的面积是． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． 16．（2025春•城关区校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．（1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】（1）着火点受洒水影响，理由见解析； （2）着火点能被扑灭，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出△是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【解答】解：（1）如图，过点作于点， ，，， ，， ， △是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在△中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 【点评】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 17．（2024秋•东营区期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程长是多少？ 【答案】． 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， 蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是的长，由勾股定理得， 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 【点评】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 18．（2025春•潜山市期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，根据两点之间，线段最短可知的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 【解答】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部7厘米，所以，厘米， 将容器侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 答：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 19．（2025春•盐山县期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定，两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点，对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）蜘蛛所走的最短路线的长度为； （2）昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【分析】（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径，设爬行捕捉到昆虫甲需秒．根据勾股定理列方程即可得到结论．． 【解答】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路， ，，， ， 蜘蛛所走的最短路线的长度为； （2）如图2，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点爬行的同时，昆虫乙从顶点按路径， 设爬行捕捉到昆虫甲需秒． 如图2，长方体的棱长， ， ，，， ， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【点评】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．（2024春•东阿县期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为 　25　，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为 　　． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25； （2）； （3）处到内壁处所爬行的最短路程是． 【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【解答】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图1，由题意，得： ，，， 由勾股定理得：； 故答案为：； （3）如图2，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 【点评】本题考查平面展开最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$