精品解析：2025届河南省信阳市光山县第一、二高级中学高三二模联考数学试题

2025届光山县一高、二高二模联考 高三数学试题 注意事项: 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若是周期为π的奇函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ） A. 直线∥平面PCD B. 直线AF与平面PBC所成角的最小值是 C. 直线直线PC D. 三棱锥的体积随BF的增大而减小 5. 两个圆锥有等长母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线和直线，点为抛物线C上任意一点，设点P到直线的距离为d，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 10. 在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点N的轨迹长度为 D. 的取值范围为 11. 如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（ ） A. 存在使得 B. 存使得平面 C. 若长度定值，则时三棱锥体积最大 D. 当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 以抛物线焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则__________． 13. 已知 ，则 ___________ 14. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，图象上相邻的最高点与最低点之间的距离. （1）求的值及在上的单调递增区间； （2）设的内角，，的对边分别为，，，且，求的值域. 16. 对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列. （1）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，求. 17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． （1）求的方程； （2）过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 18. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 若数列若满足递推关系其中为常数，我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列，并称方程为递推关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论：对于k阶常系数齐次线性递推数列，若其不同的特征根为，，…，，且特征根的重数为，则数列的通项公式为 其中，，这里都是常数，它们由数列初始值可以确定. （1）若数列满足，且，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足对于所有非负整数m，n（），都成立，且，求数列通项公式； （3）设边长为1的正六边形ABCDEF，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数量） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届光山县一高、二高二模联考 高三数学试题 注意事项: 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解二次不等式，对数不等式化简集合A，B，后由补集，交集定义可得答案. 详解】由，得，所以； 由，得，解得，所以. 所以或，所以. 故选：D． 2. 设集合，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】由集合， 因为，所以或，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故选：C． 3. 若是周期为π的奇函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合选项，利用三角恒等变换的公式化简，应用三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，若，则为偶函数，不符合题意； 若，则，奇函数且周期为，符合题意； 若，则为偶函数，不符合题意； 若，则周期为，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的恒等变换的应用，着重考查了推理与运算能力. 4. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则（ ） A. 直线∥平面PCD B. 直线AF与平面PBC所成角的最小值是 C. 直线直线PC D. 三棱锥的体积随BF的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，对于A：假设直线∥平面PCD，可证平面∥平面，结合交点分析可知矛盾，即可判断A；对于C：根据题意依次可证平面，平面，即可得；对于B：分析可知直线AF与平面PBC所成角为，结合正弦值分析判断；对于D：利用等体积法可求得，即可得D. 【详解】不妨设， 对于选项A：因为∥，且平面，平面， 可得∥平面， 假设直线∥平面PCD，且，平面， 可得平面∥平面，可知平面与平面没有公共点， 显然点为平面与平面公共点， 两者相矛盾，假设不成立，故A错误； 对于选项C：因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 又因为，，平面，可得平面， 由平面，可知， 又因为，E为线段PB的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得：，故C正确； 对于选项B：由选项C可知：平面， 则直线AF与平面PBC所成角为，且F为线段BC上的动点， 可得，当且仅当点F与B重合时，等号成立， 且，则， 所以直线AF与平面PBC所成角的最大值是，故B错误； 对于选项D：由选项C可知：平面，且E为线段PB的中点， 则三棱锥的高即为， 所以三棱锥的体积（定值），故D错误； 故选：C. 5. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，小圆锥半径为、高为，大圆锥半径为，高为，根据侧面积之比可得，再由圆锥侧面展开扇形圆心角公式得到，利用勾股定理得到关于的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成的表达式，求出它们的比值即可. 【详解】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为， 侧面积较大圆锥半径为，它们的高分别为、， 则，得， 因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆， 所以，得， 再由勾股定理，得， 同理可得， 所以两个圆锥的体积之比为： 故选：A. 6. 已知抛物线和直线，点为抛物线C上任意一点，设点P到直线的距离为d，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义将转化为，再由的最小值、点线距离公式求最小值. 【详解】 作垂直抛物线准线于，连接，则，故， 所以，由图知：的最小值为到直线的距离， 所以. 故选：B 7. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据余弦定理及二倍角公式求得，根据的范围即可得解. 【详解】设，则，设，则. 故在中，由余弦定理可得， 而，故，解得， 在直角三角形中，为锐角，故，故. 故选：A. 8. 已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，则， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有， 所以. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C. 用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好 D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D. 【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误； 对B：，则其第80百分位数是，故B正确； 对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设， 则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确. 故选：BCD. 10. 在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点N的轨迹长度为 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上（含端点），当为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，此时，即可判断A；三棱锥,利用等体积法结合体积公式即可判断B；根据点在线段上（含端点），利用勾股定理求出求，即可判断C；根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断D． 【详解】在棱长为2的正方体中，为中点，为四边形内一点（含边界）， 平面， 取、中点分别为、，连接、、、，，如图： 为正方体，为中点，为中点， ，，，， 、平面，、平面，且，， 平面平面， 为四边形内一点（含边界），且平面， 点在线段上（含端点）， 对于A：当在时，则与的夹角为，此时， 则与不垂直，故A不正确； 对于B为四边形内一点（含边界）， 到平面的距离为2， 三棱锥的体积为，故B正确； 对于C：由于点在线段上（含端点）， 而， 点的轨迹长度为，故C不正确； 对于D为正方体， 平面， 平面， ， △为直角三角形，且直角为， ， 点在线段上（含端点）， 则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为， 当最小时，即，此时， 此时最大，最大为， 则的取值范围，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（ ） A. 存在使得 B. 存在使得平面 C. 若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D. 当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可. 【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则由题：， 所以， 因为，， 所以，所以，， 所以，所以， 对于A：由，故A错误； 对于B：由是平面的一个法向量， 则， 所以当时，，所以平面，故B正确； 对于C：由， 设平面的一个法向量为， 所以，令， 设点到平面的距离为，则， 所以， 所以， 因为长度为定值，所以当时，三棱锥体积最大，故C正确； 对于D：设直线与所成角为， 由上当时， ， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 以抛物线的焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点在第一象限，可得，由此可确定圆的半径，利用可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，， 不妨设点在第一象限，如图所示， 由，得：，圆的半径， ． 故答案为：. 13. 已知 ，则 ___________ 【答案】## 【解析】 【分析】由，结合两角和的余弦公式化简条件可求得，再利用二倍角的余弦公式求即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 所以. 故答案为： 14. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设两球球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果. 【详解】作出圆锥的轴截面如图所示， 圆锥面与两球相切于两点，则，， 过作，垂足为，连接，，设与交于点， 设两球的球心距离为， 在中，，，； ，， ，，解得：，， ； 由已知条件，知：，即轴截面中， 又，，解得：， 即两球的球心距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题以圆锥为载体，考查了椭圆的定义和几何性质，解题关键是能够通过作出圆锥的轴截面，利用轴截面中的线段垂直关系、长度关系，根据椭圆离心率构造出关于球心距离的方程. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，图象上相邻的最高点与最低点之间的距离. （1）求的值及在上的单调递增区间； （2）设的内角，，的对边分别为，，，且，求的值域. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为，则，即可求出，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范围，即可得到的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意可得 ， 由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为，设函数的最小正周期为， 则，解得（负值已舍去），则，解得. . 令， 解得， 所以的单调递增区间为， 又，故在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理， 又且，所以，当且仅当时取等号， 所以，又，所以， 所以，则， 则，所以的值域为. 16. 对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列. （1）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前项和即可. （2）利用累乘法求通项公式即可. 【小问1详解】 由题意知， 因为，且是公比为2的等比数列，所以， 因为，所以数列首项为1，公比为4的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为，且是公差为2的等差数列，所以， 所以， 所以， 所以，因为， 所以. 17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． （1）求的方程； （2）过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到直线方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案； （2）设直线MN的方程为，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，由，所以，由（1）可知，计算即可证得结论. 【小问1详解】 设． 因为点的坐标为，所以， 由得， 则， 从而 得，所以的方程为． 【小问2详解】 证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为． 设，由可得， 则 所以． 由（1）可知， 因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以 可得，即． 【点睛】 18. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】 由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为， 因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以， 又点在双曲线上，所以，整理得： 因为的面积为8，所以，则， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，所以为 当直线的斜率存在时，设方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点，使为常数，且. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况. 19. 若数列若满足递推关系其中为常数，我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列，并称方程为递推关系式（*）的特征方程，该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论：对于k阶常系数齐次线性递推数列，若其不同的特征根为，，…，，且特征根的重数为，则数列的通项公式为 其中，，这里都是常数，它们由数列初始值可以确定. （1）若数列满足，且，，，求数列的通项公式； （2）若数列满足对于所有非负整数m，n（），都成立，且，求数列的通项公式； （3）设边长为1的正六边形ABCDEF，O是六边形的中心，除了六边形的每一条边，我们还从点O到每个顶点连一条线段，共得到12条长度为1的线段，一条路径是指动点沿着上述线段（全部或部分）移动，始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条？（注：根的重数就是方程中同样根的数量） 【答案】（1）； （2）； （3）条. 【解析】 【分析】（1）求出对应特征方程的根，再设出，列出方程求出参数即可. （2）求出数列项间关系等式，并求出其特征方程的根，进而求出通项公式. （3）表示从O到O的长度为的路径条数，表示从到O的长度为的路径条数，根据题意建立关系等式，利用特征方程的根求出通项公式，再令即得结果. 【小问1详解】 依题意，对应的特征方程为：， 即，其根为 (重数为2)和1(重数为1)， 设，即，由， 得，解得， 所以. 【小问2详解】 由于所有非负整数成立， 令得，令得， 令得，得， 令得， 联立消去得，即有， 因此，对应的特征方程为，解得其根为1(重数为3)， 设， 由，得，解得， 所以. 【小问3详解】 设表示从O到O的长度为的路径条数，表示从到O的长度为的路径条数，则有 ，对任何正整数成立，显然，即， 其特征方程为，解得(重数为1)， 因此，由， 得，解得， 因此 所以长度为2024的路径共有条. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$