2024-2025学年苏科版数学七年级下册12.2～12.3命题与证明同步练习

七下数学《命题与证明》 【课前热身】 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．内错角相等 B．三角形的外角等于两个内角的和 C．五边形的外角和等于360° D．相等的两个角是对顶角 2．下面各语句中，正确的是 （填写序号） ①当a≥0时，|a|＝﹣a成立；②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若a∥b，a∥c，则当b、c不重合时，b∥c；④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． ⑦若a＝b，则a2＝b2⑧若|a|＝|b|，则a＝b ⑨若ab＝0，则a＝0 ⑩若a2＝b2，则a＝b 3．判断命题“如果n＞﹣3，则n2＞9”是假命题，只需一个反例，反例中的n可以是（　　） A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4 4．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．同旁内角互补 5．下列命题中的真命题是（　　） A．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥c B．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c D．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c 6．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　 　 ．（填写序号） 7．把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果…那么…”的形式是 　 　 ． 8．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　 　 ，该逆命题是 　 　 （填“真”或“假”）命题． 9．“对顶角相等”的逆命题是 　 　 ．（用“如果…那么…”的形式写出） 10．命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 　 　 命题．（填“真”或“假”）． 11．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　 　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 12．（1）已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （2）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 13．（1）一般地，如果那么a+c 　 　 b+d（用“＜”或“＞”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性． （2）已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，求x+y的取值范围． 14．小亮由“如果a，b都是偶数，那么a+b也是偶数”，联想“如果a，b都是奇数，那么a+b也是奇数”，小亮的结论正确吗？ 15．已知x，y，z是三个有理数，若x＜y，x+y＝0，且xyz＞0，试判断x+z的符号并且说明理由． 16．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【典型例题】 1．如图，已知 　 　 ，且AD∥BC，求证：　 　 ． 给出下列两个条件：①∠B＝∠C；②∠EAD＝∠CAD． 请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明． 证明： 2．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AC∥FD，∠A＝∠D．由此，你能推出什么结论？证明其中的1～2个结论． 3．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中． （1）真命题的个数为 　 　 ； （2）选择一个真命题写出理由． 4．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式； 判定该命题是否为真命题？如果是，写出证明过程：如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）． 5.用反证法证明 已知：直线a、b被直线c所截，∠1+∠2≠180°．求证：a与b不平行． 【巩固练习】 1．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的反例是（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝﹣3，b＝﹣4 2．下列语句属于命题的是（　　） A．作直线AB的平行线 B．同旁内角相等 C．∠1与∠2互余吗 D．在线段AB上取点C 3．关于命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”下列判断正确的是（　　） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的两个角是对顶角 B．同位角相等 C．若|a|＝|b|，则a＝b D．平行于同一条直线的两条直线平行 5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： 　 　 ． 6．已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列条件的命题． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 参考答案与试题解析 1.下列命题中，是真命题的是( ). A.内错角相等 B.三角形的外角等于两个内角的和. C.五边形的外角和等于360° D.相等的两个角是对顶角。 [解答]解:内错角相等是假命题，故A不符合题意; 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故B故符合题意; 五边形的外角和等于360°是真命题，故C符合题意; 相等的两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意; 故选:C. 2.下面各语句中，正确的个数是( ). ①当a≥0时，|a|=-a成立; ②垂直于同一条直线的两条直线平行; ③若a// b，a// c，则当b、c不重合时，b// c; ④相等的角是对顶角; ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个. 【解答]解:①当a≤0时，|a|=-a成立，故本小题说法错误; ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本小题说法错误; ③若 a// b，a// c，则当b、c不重合时，b//c，说法正确; ④相等的角不一定是对顶角，故本小题说法错误; ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误; ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本小题说法错误; 则正确的个数是1个， 故选:A.. 3.下列命题是真命题的是( ). A.若a=b，则a²=b2 B.若|a|=|b|，则a=b. C.若ab=0，则a=0 D.若a²=b²，则a=b. 【解答]解:A、若a=b，则a2=b²，是真命题，符合题意; B、若|a|=|b|，则a=±b，故本选项说法是假命题，不符合题意;。 C、若ab=0，则a=0或b=0或a、b同时为0，故本选项说法是假命题，不符合题意; D、若a²=b²，则a=±b，故本选项说法是假命题，不符合题意; 故选:A.. 4.判断命题“如果n>-3，则n²>9”是假命题，只需一个反例，反例中的n可以是( )。 A. 4 B.3 C.-3 D. -4 [解答]解:当n=3时，3>-3，而32=9， 说明命题“如果n>-3，则n²>9”是假命题， 故选:B.. 5.下列命题中，真命题是( ). A.相等的角是对顶角。 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．同旁内角互补 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 6．下列命题中的真命题是（　　） A．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥c B．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c D．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c 【解答】解：A、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a⊥c，原命题是假命题； B、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，原命题是假命题； C、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题； D、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c，原命题是假命题； 故选：C． 7．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　①②④　 ．（填写序号） 【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； 　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c， 故答案为：①②④． 8．把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果…那么…”的形式是 　如果两数同号，那么这两个数的积是正数　 ． 【解答】解：命题“同号两数的积是正数”写成“如果…，那么…”的形式为： 故答案为：如果两数同号，那么这两个数的积是正数． 9．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 　如果a2＝b2，那么a＝b　 ，该逆命题是 　假　 （填“真”或“假”）命题． 【解答】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题， 故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b；假． 10．“对顶角相等”的逆命题是 　如果两个角相等，那么这两个角是对顶角　 ．（用“如果…那么…”的形式写出） 【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 11．命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 　假　 命题．（填“真”或“假”）． 【解答】解：命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是负数是两个负数之和，错误，为假命题， 故答案为：假． 12．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案为：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3）真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 13．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC+∠DEF＝180°　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC＝∠DEF　 ； 请选择其中一种情况说明理由． ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补　 ． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 【解答】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF， 故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF． 理由：如图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DPB＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°． 如图2中，∵BC∥EF， ∴∠DPC＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC， ∴∠ABC＝∠DEF． ②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． （2）设两个角分别为x和2x﹣30°， 由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°， 解得x＝30°或x＝70°， ∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°． 14．我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？ 例如：已知可得3+5＞1+2；已知可得﹣1+0＞﹣3﹣1；已知可得﹣2+1＜3+2． 请解答下列问题： （1）一般地，如果那么a+c 　＜　 b+d（用“＜”或“＞”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性． （2）已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，请直接写出x+y的取值范围． 【解答】解：（1）结论：a+c＜b+d． 理由：∵a＜b， ∴a+c＜b+c， ∵c＜d， ∴b+c＜b+d， ∴a+c＜b+d． 故答案为：＜． （2）∵x﹣y＝2， ∴x＝y+2，y＝x﹣2， 又∵x＞1，y＜0， ∴1＜x＜2，﹣1＜y＜0， ∴0＜x+y＜2． 15．小亮由“如果a，b都是偶数，那么a+b也是偶数”，联想“如果a，b都是奇数，那么a+b也是奇数”，小亮的结论正确吗？ 【解答】解：∵奇数+奇数＝偶数， ∴如果a，b都是奇数，那么a+b也是奇数，原命题是假命题， 即小亮的结论错误． 16．已知a与b互为相反数，m，n互为倒数，|c|＝2，求的值． 解：∵a与b互为相反数， ∴a+b＝　0　 ． ∵m，n互为倒数， ∴mn＝　1　 ． ∵|c|＝2， ∴c＝　±2　 ． ∴　±　 ． （1）数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； （2）请用推理的方式解决下面的问题： 已知x，y，z是三个有理数，若x＜y，x+y＝0，且xyz＞0，试判断x+z的符号并且说明理由． 【解答】解：（1）∵a与b互为相反数， ∴a+b＝0． ∵m，n互为倒数， ∴mn＝1． ∵|c|＝2， ∴c＝±2． ∴±． 故答案为：0；1；±2；±． （2）x+z的符号为负，理由如下： ∵x+y＝0， ∴x与y互为相反数，且x＜y， ∴x为负数，y为正数， ∴xy＜0 又∵xyz＞0， ∴z＜0， ∴x+z的符号为负． 17．如图，已知 　∠B＝∠C　 ，且AD∥BC，求证：　∠EAD＝∠CAD　 ． 给出下列两个条件： ①∠B＝∠C； ②∠EAD＝∠CAD． 请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明． 证明： 【解答】如图，已知∠B＝∠C，且AD∥BC， 求证：∠EAD＝∠CAD， 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠EAD＝∠CAD， 故答案为：∠B＝∠C；∠EAD＝∠CAD． 18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AC∥FD，∠A＝∠D．由此，你能推出什么结论？证明其中的1～2个结论． 【解答】解：推出∠C＝∠F，∠ABC＝∠DEF，理由如下： ∵AC∥FD， ∴∠C＝∠F， ∵∠A＝∠D，∠A+∠C+∠ABC＝∠D+∠F+∠DEF＝180°， ∴∠ABC＝∠DEF． 19．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中． （1）真命题的个数为 　3　 ； （2）选择一个真命题写出理由． 【解答】解：（1）条件：①②，结论：③，为真命题； 条件：①③，结论：②，为真命题； 条件：②③，结论：①，为真命题， 所以，真命题的个数为3． 故答案为：3． （2）命题一：条件：①②，结论：③ 证明：如图所示：当①∠1＝∠2， 则∠3＝∠2， 故DB∥EC， 则∠D＝∠4， 当②∠C＝∠D， 故∠4＝∠C， 则DF∥AC， 可得：∠A＝∠F， 即． 命题二：条件：①③，结论：②， 证明：当①∠1＝∠2， 则∠3＝∠2， 故DB∥EC， 则∠D＝∠4， 当③∠A＝∠F， 故DF∥AC， 则∠4＝∠C， 故可得：∠C＝∠D， 即． 命题三：条件：②③，结论：①， 证明：当③∠A＝∠F， 故DF∥AC， 则∠4＝∠C， 当②∠C＝∠D， 则∠4＝∠D， 故DB∥EC， 则∠2＝∠3， 可得：∠1＝∠2， 即． 20．阅读下面材料并解决问题： 一些命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明，证明中的每一步推理都要有根据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． （1）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式； （2）判定该命题是否为真命题？如果是，写出证明过程：如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）． 【解答】解：（1）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； （2）该命题是真命题，理由如下： 如图，AB⊥AE，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D， 求证：AB∥CD， 证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABD＝∠CDF＝90°， ∴AB∥CD． 21．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【解答】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：a∥b，b∥c， 求证：a∥c， 证明：作直线m分别于直线a、b、c相交，如图1， ∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵b∥v（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴a∥c（同位角相等，两直线平行）； 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，如图2，b⊥a，c⊥a，而b∥c． 22．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的反例是（　　） A.a=3，b=4 B.a=-3，b=4 C.a=3，b=-4 D.a=-3，b=-4. 【解答]解:A.a+b=7>0，不满足“a+b<0”，故A选项不符合题意; B. a+b=1>0，不满足“a+b<0”，故B选项不符合题意; C.a+b=-1，满足“a+b<0”，但不满足“a<0，b<0”，故C选项是题设命题的反例; D.a+b=-7，满足“a+b<0”，也满足“a<0，b<0”，故D选项不符合题意; 故选:C.. 23.下列语句属于命题的是( ). A.作直线AB的平行线 B.同旁内角相等 . C.∠1与22互余吗 D.在线段AB上取点C. 【解答]解:B选项是用语言可以判断真假的陈述句，是命题， A、B、C均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题. .故选:B.. 24.关于命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”下列判断正确的是( ) A.该命题及其逆命题都是真命题 B.该命题是真命题，其逆命题是假命题 C.该命题是假命题，其逆命题是真命题 D.该命题及其逆命题都是假命题。 【解答]解:“若a>0，b>0，则ab>0”是真命题，它的逆命题是“若ab>0，则a>0，b>0”，是一个假命题..故选:B. 25.下列命题中，是真命题的是( ). A.相等的两个角是对顶角 B.同位角相等 C.若|a|=|b|，则a=b. D.平行于同一条直线的两条直线平行 【解答]解:等的两个角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意; 同位角不一定相等，故B是假命题，不符合题意;。 若|a|=|b|，则a=b或a=- b，故C是假命题，不符合题意; 平行于同一条直线的两条直线平行，故D是真命题，符合题意; 故选:D.. 26.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式: 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行. [解答]解:命题可以改写为:“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”. 故答案为:如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行. 27.已知:三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a// b; ②a⊥c; ③b⊥c; ④a⊥b.. 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列条件的命题.. (1)写出一个真命题，并证明它的正确性; (2)写出一个假命题，并举出反例.. [解答]解:(1)如果alc、b⊥c、那么a// b; 理由:如图， ∵a⊥c、b⊥c， ∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b． （2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b； 反例：见图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b． 第5页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$