上海市八下期末真题百题大通关（106题20题型）（提升版）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

八下期末真题百题大通关（106题20题型）（提升版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一次函数自变量或函数值 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 题型三 一次函数图象平移问题 题型四 求一次函数解析式 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型六 一次函数的应用 题型七 一次函数与几何综合 题型八 分式方程 题型九 无理方程 题型十 二元二次方程组的解法 题型十一 列方程（组）解应用题 题型十二 平行四边形 题型十三 矩形 题型十四 折叠问题 题型十五 菱形 题型十六 正方形 题型十七 梯形 题型十八 三角形、梯形的中位线 题型十九 平面向量及其加减运算 题型二十 概率初步 题型一 求一次函数自变量或函数值 1．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 ． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 3．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 4．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 题型三 一次函数图象平移问题 6．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 题型四 求一次函数解析式 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 8．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像经过点，且平行于直线，那么这个函数的解析式是 ． 9．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是 ． 10．（23-24八年级下·上海青浦·期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 11．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 12．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 13．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 15．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）． (1)求直线AB的表达式； (2)将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式． 16．（21-22八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点C的坐标； (3)如果，求点D的坐标． 17．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 题型六 一次函数的应用 18．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 19．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 20．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 21．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 22．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 24．（23-24八年级下·上海闵行·期末）某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．    (1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域） (2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算） 25．（23-24八年级下·上海宝山·期末）暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 26．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 题型七 一次函数与几何综合 27．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 28．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 29．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 题型八 分式方程 30．（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·上海虹口·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·上海·期末）解方程： ． 34．（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程：． 题型九 无理方程 35．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 36．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 ． 37．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 ． 38．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 39．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）解方程：． 题型十 二元二次方程组的解法 40．（23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 41．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 42．（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 题型十一 列方程（组）解应用题 43．（21-22八年级下·上海徐汇·期末）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 44．（20-21八年级下·上海宝山·期末）甲，乙两名摩托车选手在匀速状态下进行赛道训练，已知两名选手先后从起点A地驶往相距60千米的终点B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分钟．甲比乙早出发1分钟，最后乙先到达终点B地．设甲的行驶时间为x（分钟），甲、乙的行驶路程、（千米）与x之间的函数图像如图所示． （1）根据图像，回答问题： 当乙到达终点B地时，________千米； （2）求甲、乙两名摩托车选手的速度； （3）求关于x的函数解析式． 45．（22-23八年级下·上海·期末）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 46．（21-22八年级下·上海·期末）有一段河道需要进行清淤疏通，现有甲乙两家清淤公司可供选择，如果甲公司单独做4天，乙公司再单独做6天，那么恰好能完成全部清淤任务的一半；如果甲公司先做4天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，那么乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所需时间多2天，求甲乙两公司单独完成清淤任务各需多少天． 题型十二 平行四边形 47．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 48．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 49．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，，且，，点在边上，点关于直线的对称点为，的延长线交边于点，如果，那么线段的长为 ．    题型十三 矩形 51．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 52．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形； B．如果，那么四边形是菱形； C．如果，，那么四边形是矩形； D．如果，，那么四边形是菱形． 53．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点E修一条笔直的小路（点F在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 54．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是 ． 55．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在等腰中，为边上的中线，过点A作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，如果，求点A到直线的距离． 56．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 57．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，请判断四边形的形状并证明． 58．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，已知在等腰梯形中，，点E、F分别在底边上，连接、，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 题型十四 折叠问题 59．（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知中，，，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，若是直角三角形，那么边 ． 61．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长 ．    62．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 63（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是 ． 64．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 题型十五 菱形 65．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 66．（23-24八年级下·上海·期末）已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为 ． 67．（23-24八年级下·上海·期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 68．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知：如图，四边形中，，垂足分别为E、F，． (1)求证：四边形为菱形； (2)联结交于点O，联结，求证：． 69．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 70．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 71．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 72．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 73．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、点．点C是x轴上一点，点Q是平面内一点，四边形是菱形． (1)求点C和点Q的坐标； (2)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是直线上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段没有交点），求t的取值范围． 题型十六 正方形 74．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． (1)求的大小； (2)如果，求证：； (3)如果，当时，求的长． 75．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：； (2)当点E落在线段上时（如图所示），设，的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 76．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 77．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 78．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B、C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)已知点P在线段上． ①若点P是的中点，求线段的长度； ②点D在直线上，点H在x轴上，当四边形是正方形时，求点P的坐标． 题型十七 梯形 79．（23-24八年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（       ） A．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 80．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 81．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 82．（23-24八年级下·上海·期末）已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 83．（23-24八年级下·上海·期末）已知在等腰梯形中，，厘米，厘米，高厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 84．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是 ． 85．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 86．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在直角梯形中，，．求．    87．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是梯形； (2)如果，当为等腰三角形时，求的长． 题型十八 三角形、梯形的中位线 88．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ． 89．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么 ． 90．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 91．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是 （用含m、n的式子表示）． 92．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ． 93．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知菱形的边长是4，，E、F是边的中点，G、H是线段的中点，那么 ． 94．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．    95．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 96．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 96．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． (1)求证：； (2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)写出x为何值时，？ 98．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 题型十九 平面向量及其加减运算 99．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 题型二十 概率初步 100．（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 101．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 102．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 ． 103．（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球． 104．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 105．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 106．（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期末真题百题大通关（106题20题型）（提升版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求一次函数自变量或函数值 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 题型三 一次函数图象平移问题 题型四 求一次函数解析式 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型六 一次函数的应用 题型七 一次函数与几何综合 题型八 分式方程 题型九 无理方程 题型十 二元二次方程组的解法 题型十一 列方程（组）解应用题 题型十二 平行四边形 题型十三 矩形 题型十四 折叠问题 题型十五 菱形 题型十六 正方形 题型十七 梯形 题型十八 三角形、梯形的中位线 题型十九 平面向量及其加减运算 题型二十 概率初步 题型一 求一次函数自变量或函数值 1．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求点到坐标轴的距离 【分析】在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，说明此点的横纵坐标的相等，那么，且为正数，据此作答． 【详解】解：设， 点A为直线上的一点， ，     又点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等， ，且为正数， ， 解得：， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，列出方程． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求点到坐标轴的距离、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】解：把代入得，， ∵点到坐标轴的距离是， ∴点是直线上的等距离点， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键． 3．（22-23八年级下·上海静安·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求点到坐标轴的距离 【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可． 【详解】∵点B在直线上， ∴设， 点到x、y轴的距离中的最小值为， 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， A，B两点不是“坐标轴等距点”； 综上所述，点B的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”． 题型二 已知函数经过的象限求参数范围 4．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 5．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键．根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 一次函数图象平移问题 6．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)该一次函数的解析式为； 【知识点】一次函数图象平移问题、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． （1）根据题意得到，解得即可； （2）设一次函数的表达式为，再由图象过点，可求出，从而可求表达式． 【详解】（1）解：所求的点在这个一次函数的图象上且位于轴上方， ， 解得， 即所有点的横坐标的取值范围是； （2）解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 题型四 求一次函数解析式 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知直线的截距等于1，且经过点，那么这条直线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据“直线的截距等于1，”计算求出b值，然后代入点即可得解． 【详解】解：直线的截距等于1， ， 直线经过点， ，解得， 这条直线的表达式是， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数的图像经过点，且平行于直线，那么这个函数的解析式是 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数图像平行，待定系数法求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握一次函数图像平行时，值相等， 根据一次函数图像与直线平行，可设所求的函数解析式为，将点代入表达式，求出值，就求出了函数解析式． 【详解】解：一次函数的图像平行于直线， 该函数值为1， 设该直线解析式为，该函数图像经过点， ，解得：， 一次函数解析式为：． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键． 根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可求解． 【详解】解：设平移后的直线表达式是， ∵直线平移后经过点， ∴， 解得， ∴平移后的直线表达式是， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海青浦·期末）将直线平移，使其经过点，平移后的直线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据平移不改变的值，可设平移之后的直线的解析式为：，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设平移之后的直线的解析式为：， 将代入直线解析式得：， ∴平移后的直线的表达式是， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·上海青浦·期末）定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 12．（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【答案】(1) (2) (3)直线l的表达式为或 【知识点】等边三角形的性质、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、公式法解一元二次方程 【分析】（1）由，得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意易得M、N两点的坐标，直线向下平移m个单位后的解析式可求出，根据点M、N在直线上可求得向下平移的m值，即可求得m的取值范围； （3）设直线l解析式为，其中n为正数，设点P的坐标为，由勾股定理可分别求得的三边，根据等边三角形的性质建立方程即可求出n的值，从而求得直线l的表达式． 【详解】（1）解：，，， ； ； 设直线解析式为， 把两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线解析式为； （2）解：， ； 由于M、N两点在双曲线上， 当时，；当时，； 即； 直线向下平移m个单位后的解析式为， 点M、N在直线上， ， 解得：， 所以m的取值范围为； （3）解：设直线l解析式为，其中n为正数， 设点P的坐标为， 由勾股定理得：，； 为等边三角形， ， ， 由，整理得：， 把它代入中，整理得：， 解得：， 则， 所以直线l的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，反比例函数的图象，解一元二次方程等知识，有一定的综合性． 13．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三线合一、求直线围成的图形面积、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 【答案】5 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式．由图象得出交点纵坐标是5是解题的关键． 由图象可得交点P的纵坐标为5，代入一次函数，求得点P坐标，再把点P坐标代入反比例函数求解即可． 【详解】解：对于一次函数， 当时，则， 解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：5． 15．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2）． (1)求直线AB的表达式； (2)将直线AB向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的表达式． 【答案】(1)y＝x﹣2 (2)y＝x+7 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，即可得到B的坐标，然后把B的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线AB的解析式； （2）设平移后的直线表达式为：y＝x+b，记它与y轴的交点为D，根据CDAB可得，然后利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵点B（m，2）在的图象上， ∴， ∴m＝4． ∴点B（4，2）． 把点B（4，2）代入y＝kx﹣2， 得：4k﹣2＝2， ∴k＝1． ∴直线AB的表达式为：y＝x﹣2． （2）设平移后的直线表达式为：y＝x+b． 记它与y轴的交点为D， 当x＝0时,y＝b， ∴点D（0，b）． 对于y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2， ∴点A（0，﹣2）． ∴AD＝b+2． 连接BD． ∵CDAB． ∴． 即：． ∴b＝7． ∴平移后的直线表达式为：y＝x+7． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，是关键． 16．（21-22八年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．点C为函数的图像上一点，过点C作轴，交反比例函数的图像于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点C的坐标； (3)如果，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)C（4，6） (3)D（10，1）． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、解分式方程（化为一元一次）、公式法解一元二次方程 【分析】（1）由一次函数的解析式求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）求得A的坐标，然后根据中点公式即可求得点C的坐标； （3）根据等腰三角形的性质，则CD的中点的纵坐标为点B的纵坐标，据此列分式方程求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y＝x+4的图象与反比例函数(x＞0)的图像交于点B（a，5）， ∴5=a+4， ∴a=2， ∴点B（2，5）， ∴m=2×5=10， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵一次函数y＝x+4的图像与y轴交于点A， 令 则 ∴A（0，4）， ∵点B（2，5），BC=AB， ∴C（4，6）； （3）设，则， 如图，过B作于H， ∵B（2，5），BC=BD， 轴， ∴CD的中点的坐标为（c，5）， ∴ 整理得： 解得c1=2，c2=10， 经检验：它们都是原方程的根，但是不符合题意，舍去， ∴D（10，1）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，分式方程的解法，求出反比例函数的解析式是解题的关键． 17．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析；当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半 (4)两；见解析 (5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据矩形的周长公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （3）根据反比例函数图象和一次函数图象的画法画出函数图象，得出结果即可； （4）根据图象得出答案即可； （5）根据函数图象得出答案即可． 【详解】（1）解：先长方形的周长为：， 只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是：，定义域为； （2）解：新长方形的面积为： 只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是，它的定义域是； （3）解：列表： … 2 3 4 6 … … 5 4 3 1 … … 6 4 3 2 … 描点，连线，如图所示： 观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半． （4）解：这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽； （5）解：存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，反比例函数解析，画一次函数和反比例函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是数形结合． 题型六 一次函数的应用 18．（23-24八年级下·上海静安·期末）如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题在新定义下考查了两个函数图象交点，根据等值点定义得等值点在直线图象上，联立方程组，，求解方程组可求出点B，C的坐标，再根据等腰梯形的定义可得点D的坐标． 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线图象上， ∴联立方程组， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴； 如图， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴点的坐标为，或 故答案为：或． 19．（23-24八年级下·上海青浦·期末）在实验中学的“科技艺术节”的等备过程中，要求每个班的学生数与制作的“国风团扇”数量之间满足一次函数关系，设班级人数为（人），团扇数为（把），部分数据如表所示： 班级人数（人） …… 44 48 55 …… 团扇数（把） …… 48 56 70 …… (1)求关于的函数关系式；（不需要写出函数定义域） (2)八年级某班有50名学生，由于实际每天比原计划每天多制作3把，因此提前1天完成，问原计划每天制作几把？ 【答案】(1) (2)原计划每天制作把 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，设原计划每天制作把，则实际每天制作把，根据“因此提前1天完成”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入函数解析式得：， 解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，， 设原计划每天制作把，则实际每天制作把， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴原计划每天制作把． 20．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【答案】(1)这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元 (2)这个企业4、5月份的利润增长率为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由待定系数法求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业月份的利润增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业月份的利润增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将代入得：， 解得：， ∴这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数的函数关系式为， 当时，， 答：这个一次函数的解析式为月份的利润为98万元； （2）设这个企业月的利润增长率为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：这个企业月份的利润增长率为． 21．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是16厘米 (3)刚好停止流水时是10:25 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法； （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从8:00到9:10共70分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键. 【详解】（1）解：设函数解析式是， 把、代入， 得， ， ； （2）解：从8:00到9:10共70分钟， ， ， 答：甲容器中水面的高度是16厘米． （3）解：当时， ， 解得：， 答：刚好停止流水时是10:25． 22．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 23．（23-24八年级下·上海静安·期末）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 24．（23-24八年级下·上海闵行·期末）某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．    (1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域） (2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算） 【答案】(1)， (2)甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，利用待定系数法求直线的解析式，以及求函数值，读懂题目信息，理解函数图象是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出；根据乙每送一件货物22元，可设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出； （2）根据甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，得出甲、乙两人一个月送货量分别是件和件．再把代入，代入，计算即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入，得 ， 解得：； ∴关于的函数解析式为； ∵乙每送一件货物22元， ∴设关于的函数解析式为， 将代入，得 ， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：甲、乙两人一个月送货量分别是件和件． 把代入，得； 把代入，得； 答：甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元． 25．（23-24八年级下·上海宝山·期末）暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 【答案】(1)50 (2) (3)活动一，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、方案选择(一元一次方程的应用)、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设平常价格为m元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分别计算出三种活动所需费用，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设平常价格为m元， 根据题意得 解得 故答案为：50． （2）根据题意得， 故答案为：． （3）活动一：800元 活动二：（元） 活动三：（元） ∵ ∴活动一所需费用最少． 26．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以写出与的函数关系式； （2）根据购买种树苗的数量不少于种树苗的数量的2倍，可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的购买方案和此时的费用． 【详解】（1）解：由题意可得， 即与的函数关系式为； （2）∵购买种树苗的数量不超过种树苗的数量的2倍， ， 解得，， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 答：购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元． 题型七 一次函数与几何综合 27．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3)或 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键． （1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可； （2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解； （3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴把点代入一次函数，得： ∴ ∴一次函数的解析式为：， 把点代入，得：， 解得， ∴， 把代入，得， （2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图， ∵，故为等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点G的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵是梯形， ∴当时，如图， ∵，点在轴上， ∴； 当时，如图， 对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为或 28．（23-24八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】题目主要考查一次函数的图象及面积问题，分类讨论及勾股定理解三角形，理解题意，根据题意分情况分析是解题关键． （1）直接根据一次函数的性质求解即可； （2）根据题意得出，然后设，结合图形得，即可求解； （3）设点，根据勾股定理确定，分两种情况分析：当时，当时，分别利用一次函数的性质及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴当时，；当时，， ∴； （2）∵直线，当时，；当时，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）设点， ， ， 解得：， ∴， 当时，如图所示： ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴， 解得：, ， ∴或； 当时，过点A作轴，过点D作，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D纵坐标为：， ∴； 综上可得：或或． 29．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． (1)如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． (2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)正确，直线过定点 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【详解】（1）解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； （2）解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 题型八 分式方程 30．（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程，设 ，根据题意，化简方程，即可求解． 【详解】解：设 ，原方程可化为 即 故选：B． 31．（23-24八年级下·上海虹口·期末）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了分式方程、平方的非负性、二次根式的性质等知识，分别解方程和利用二次根式的性质进行计算后，即可得到答案． 【详解】解：A． 去分母得，， 当时，， 则是增根，原分式方程无解， 故选项不符合题意； B．， 则， ∴原方程没有实数根， 故选项不符合题意； C． 则， 解得， 故选项有实数解，符合题意； D．, ∵， ∴， 即原方程没有实数解， 故选项不符合题意． 故选：C． 32．（23-24八年级下·上海闵行·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键． 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，计算即可． 【详解】解：∵ 设 则 去分母，得 故选：A． 33．（23-24八年级下·上海·期末）解方程： ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 即， 解得：或， 经检验，当时，， 当时，， ∴是原方程的解． 34．（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验． 按照解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是原分式方程的解． 题型九 无理方程 35．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】分别解无理方程和分式方程，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴， ∴， ∴原方程没有实数根，不符合题意； B、， ∵， ∴且， ∴原方程没有实数根，不符合题意； C、， ∴， 当时，， ∴原方程没有实数根，不符合题意； D、， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴方程有实数根，符合同意； 故选D． 【点睛】本题考查解分式方程和无理方程．熟练掌握解分式方程和无理方程的步骤，正确的计算是解题的关键． 36．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、无理方程 【分析】先将原方程变换为，再根据算术平方根的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键． 37．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如果关于的无理方程有实数根，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将代入方程即可求出值． 【详解】解：， 两边同时平方可得： 实数根是方程的解，代入方程， 可解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理方程的解法，熟练掌握解无理方程的方法两边平方法及换元法，本题用了平方法，是解答本题的关键． 38．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查解无理方程，熟练掌握解无理方程的方法是解题的关键． 先变形为，再两边平方化成整式方程求解，然后检验把增根舍去，即可求解． 【详解】解： 或 ，， 经检验，是原方程的根，是增根，舍去， ∴原方程的解为：． 39．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】无理方程 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 题型十 二元二次方程组的解法 40．（23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】， 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法；其基本思想是用代入法消元；由第一个方程变形得，再代入第二个方程中，求得x的值，即可求得y的值，从而求解． 【详解】解：： 由①得：； 把③代入②中， 整理得：， 解得：， 把上述值代入③中，得：， 故方程组的解为：，． 41．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 【答案】或 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查解二元二次方程组，解题关键是将二次方程组转化 成一次方程组求解是解题的关键． 将第二个方程化简为，得到或，再由由①③组成方程组和由①④组成方程组，求解即可． 【详解】解： 由②得： ∴或 由①③组成方程组为：， 解得：； 由①④组成方程组为：， 解得：， ∴原方程组解为：或． 42．（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】或 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 题型十一 列方程（组）解应用题 43．（21-22八年级下·上海徐汇·期末）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．某电器商行销售的某款激光电视去年销售总额为800万元，由于技术革新和成本降低，今年这款激光电视每台销售价比去年降低4000元，若要保持销售总额不变，今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 【答案】今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元，利用数量＝总价÷单价，结合今年这款激光电视的销售量要比去年多100台，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年这款激光电视每台的售价是（x+4000）元， 依题意得： ， 整理得x2＋4000x－320000000＝0， 解得：x1＝16000，x2＝﹣20000， 经检验，x1＝16000，x2＝﹣20000均为原方程的解，x2＝﹣20000不符合题意，舍去． ∴x＝16000． 答：今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 44．（20-21八年级下·上海宝山·期末）甲，乙两名摩托车选手在匀速状态下进行赛道训练，已知两名选手先后从起点A地驶往相距60千米的终点B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分钟．甲比乙早出发1分钟，最后乙先到达终点B地．设甲的行驶时间为x（分钟），甲、乙的行驶路程、（千米）与x之间的函数图像如图所示． （1）根据图像，回答问题： 当乙到达终点B地时，________千米； （2）求甲、乙两名摩托车选手的速度； （3）求关于x的函数解析式． 【答案】（1）52；（2）甲的速度是5千米/分钟，乙的速度是4千米/分钟；（3）（1≤x≤12） 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由图象可直接得出答案； （2）设乙摩托车选手的速度为v千米/分钟，根据路程、速度与时间的关系，即可解答； （3）利用待定系数法即可求解． 【详解】解：（1）观察图象知当乙到达终点B地时，y甲=52千米， 故答案为：52； （2）设乙的速度是x千米/分钟， 由题意，， 解得：x1=-13，x2=4， 经检验，x1=-13，x2=4是原方程的解， x1=-13，不合题意，舍去， ∴乙的速度是4千米/分钟，甲的速度是5千米/分钟； （3）乙的行驶时间为60÷5=12（分钟）， 设y乙关于x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得， ， 解得：， ∴y乙关于x的函数解析式为（1≤x≤12）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用路程、速度与时间的关系得出方程是解题关键． 45．（22-23八年级下·上海·期末）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 【答案】(1) (2)20 【知识点】配方法的应用、利用不等式求自变量或函数值的范围、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求每次购买量的范围； （2）设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，可求出购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，利用配方法可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴每次购买量在大于或等于10吨，小于或等于40吨的范围内； （2）一年的总运费与总存储费用之和为 ∵， ∴，即， 即：时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 解得：时， ∴每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．最小为万元． 【点睛】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于基础题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型． 46．（21-22八年级下·上海·期末）有一段河道需要进行清淤疏通，现有甲乙两家清淤公司可供选择，如果甲公司单独做4天，乙公司再单独做6天，那么恰好能完成全部清淤任务的一半；如果甲公司先做4天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，那么乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所需时间多2天，求甲乙两公司单独完成清淤任务各需多少天． 【答案】甲公司单独完成清淤任务需要16天，乙公司单独完成清淤任务需要24天． 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题 【分析】设甲公司单独完成清淤任务需要天，乙公司单独完成清淤任务需要天，根据总工程量＝甲完成的部分＋乙完成的部分，即可得出关于、的方程组，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设甲公司单独完成清淤任务需要天，乙公司单独完成清淤任务需要天， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 经检验，为原方程组的解． 答：甲公司单独完成清淤任务需要16天，乙公司单独完成清淤任务需要24天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及解方程组，找准等量关系，列出分式方程组是解题的关键． 题型十二 平行四边形 47．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 48．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 【答案】 【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，画出平行四边形是解题的关键． 先利用平行四边形的性质画出图形，然后写出D点坐标即可． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形，那么点D的坐标为． 故答案为：． 49．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 50．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，，且，，点在边上，点关于直线的对称点为，的延长线交边于点，如果，那么线段的长为 ．    【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理； 连接交于O，证明四边形是平行四边形，求出，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】解：如图，连接交于O．   ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ，，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴在中，． 故答案为：． 题型十三 矩形 51．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定，利用特殊四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意； D．对角线垂直相等的平行四边形是正方形,故选项错误，不符合题意． 故选：C． 52．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形； B．如果，那么四边形是菱形； C．如果，，那么四边形是矩形； D．如果，，那么四边形是菱形． 【答案】D 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理． 根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、，，，那么四边形是矩形，正确，此选项不符合题意； B、，，那么四边形是菱形，正确，此选项不符合题意； C、，，，那么四边形是矩形，正确，此选项不符合题意； D、，，，无法判断四边形是菱形也可以是等腰梯形，错误，此选项符合题意． 故选：D． 53．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点E修一条笔直的小路（点F在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 如图，过点C作交的延长线于点H，得出四边形是矩形，，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可判断①错误；如图，根据题意得平分梯形的面积，得出 ，再结合点E是中点，得出，故点E作交于点G，则四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理算出，即可判断②错误； 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点H， 则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； 如图，根据题意得平分梯形的面积， ∴ ， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 故点E作交于点G， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，，故②错误； 故选：D． 54．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，求出是解题的关键． 由矩形的性质和等腰三角形的性质求出，在由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 55．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在等腰中，为边上的中线，过点A作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，如果，求点A到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是矩形、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求证 ； （2）过点A作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，为的中线， ， ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：过点A作于点F，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴A到的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理、勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积的计算．掌握相关结论进行几何推导是解题关键． 56．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形的对角线交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等． （1）由平行四边形的性质得，由平行四边形的判定方法得是平行四边形，由平行四边形的性质得； （2）由菱形的性质得，可得四边形是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，                         ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 57．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平行四边形中，点、、、分别在边、、、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，且时，请判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据全等证得，，对边相等，即可证得四边形是平行四边形； （2）证得四边形中一个角为直角，即可证得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，，且， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形，证明如下， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 平行四边形是矩形． 58．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，已知在等腰梯形中，，点E、F分别在底边上，连接、，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用平行线性质得到，结合等量代换得到，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行线性质得到，进而得到，证明，得到，进而得到，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ， ， 四边形为等腰梯形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行线性质和判定，平行四边形性质和判定，全等三角形性质和判定，矩形判定，等腰梯形性质，熟练掌矩形的判定定理是解题的关键． 题型十四 折叠问题 59．（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C正确，不符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D不正确，符合题意， 故选：D 60．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知中，，，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，若是直角三角形，那么边 ． 【答案】或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】由平行四边形的性质可得，，，， 由折叠的性质可得：，，分两种情况：当时，延长交于；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠的性质可得：，， 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点是的中点， 在中，， ∴， ∴； 如图，当时， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 61．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，与相交于点O，，，，将沿直线翻折后，点B落在点E处，联结、，那么四边形的周长 ．    【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】过点作于点，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，最后根据四边形的周长公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， 则四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键． 62．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 63（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形折叠问题，勾股定理，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 先由勾股定理，求得，再根据折叠的性质得，，，设，则，在中由勾股定理，得，解之即可求得x值，从而求解． 【详解】解：如图，设点B恰好落在对角线上的点为， 四边形是矩形， ∴， 由勾股定理，得， 由折叠可得：，，， ∴， 设，则， 在中由勾股定理，得 解得：， ∴， 故答案为：5． 64．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型十五 菱形 65．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 根据菱形的性质可得是等边三角形，求得，再利用勾股定理即可求出菱形的高，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点A作交于点E，如图， ∵菱形的边长是8，一个内角是， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴菱形的面积是． 故选：D． 66．（23-24八年级下·上海·期末）已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理； 先求出菱形的边长，再根据题意设，，利用勾股定理求出x，进而得到，的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长是40， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵，即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为:， 故答案为：． 67．（23-24八年级下·上海·期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】由的面积为S可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵的面积为S， ∴， ∴边上的高为， 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或上重合， 如图：过A作，垂足为D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 68．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知：如图，四边形中，，垂足分别为E、F，． (1)求证：四边形为菱形； (2)联结交于点O，联结，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】该题主要考查了菱形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明四边形是菱形； （2）根据四边形是菱形，得出，再根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可证明； 【详解】（1）， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 69．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）证明，则，又由得到四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 70．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用中点和平行四边形的性质证明，所以四边形是平行四边形，由平分、，可证，故，则结果证； （2）由（1）知，结合，可得，在中，则四边形是平行四边形，连接，证明，则结果得证． 【详解】（1）解：分别是的中点， ， 又∵在中，，且， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）由（1）知， 又， ， ， 又在中即， 四边形是平行四边形， 连接，如图 是中点， 即为对角线的交点， 即， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，矩形的判定，熟悉相关性质、性质定理是解题关键． 71．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键． （1）先证出，再根据，得到，即可证明； （2）连接，得到是的中位线，从而证得，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形． （2）连接，如图， ∵E是边的中点，F是边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 72．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵，菱形的面积是30， ∴ ∴ ∴． 73．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、点．点C是x轴上一点，点Q是平面内一点，四边形是菱形． (1)求点C和点Q的坐标； (2)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是直线上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段没有交点），求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、坐标与图形、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意，画出示意图，由四边形是菱形，得到，设点，，可得，求出，即，在根据菱形对角线互相平分且垂直，即可求解； （2）根据题意画出示意图，求出直线的解析式，结合“凹多边形”的定义找到临界点即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形， ， 设点，， ，即， ，即 ，即， ， ，即； （2）解：， 将点代入直线：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 将点代入，则， 解得：， 直线的解析式为：， 如图，当点E在直线下方，直线上方时，四边形是凹四边形， 此时，令，则有， ， 如图，当点E在直线上方时，四边形是凹四边形， 此时，令，则有， ， 综上，四边形是凹四边形，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数解析式及“凸多边形”“凹多边形”的定义理解，正确画出示意图是解题的关键． 题型十六 正方形 74．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． (1)求的大小； (2)如果，求证：； (3)如果，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)． 【知识点】角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，证明，可证明，可求得是等腰直角三角形，据此即可求解； （2）在上截取点，使，连接，证明是等边三角形，再证明，据此即可证明； （3）由已知结合，证明是的角平分线，作于点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：在上截取点，使，连接， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的角平分线， 作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 75．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知边长为的正方形中，P是对角线上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作，交射线于点E，过点E作，垂足为点F． (1)求证：； (2)当点E落在线段上时（如图所示），设，的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)在点P的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，试求出的长，如果不能，试说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)能， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）过点P作于点G，于点H，证明即可得出结论； （2）（2）连接，证，则有，，然后得出关系式即可； （3）可分点E在线段上和点E在线段的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的的长． 【详解】（1）解：过点P作于点G，于点H， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）解：连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即y与x之间的函数关系式为； （3）解：①若点E在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴． 若为等腰三角形，则， ∴， ∴，与矛盾， ∴当点E在线段上时，不可能是等腰三角形； ②若点E在线段的延长线上， 若是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 76．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 77．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）连接，先证明，即有，，根据，可得，问题随之得证； （2）过E点作，交于点M，交于点N，证明，即可． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行的性质等知识，灵活运用菱形的性质，是解答本题的关键． 78．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B、C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)已知点P在线段上． ①若点P是的中点，求线段的长度； ②点D在直线上，点H在x轴上，当四边形是正方形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、正方形性质理解 【分析】该题主要考查了正方形的性质，一次函数交点求解，等知识点，解题的关键是数形结合． （1）联立解析式即可求解； （2）①求出点P坐标，点的坐标，即可求解； ②当四边形是正方形时，正确画出图象，根据正方形性质即可求解； 【详解】（1）解：联立函数解析式得， 解得． ∴点的坐标为． （2）①若点P是的中点， 则， 把代入得， 解得：， ∴点的坐标为， ． ②如图， 当四边形是正方形时，， 设， 则， 解得或3（舍去）， 即点P的坐标为． 题型十七 梯形 79．（23-24八年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（       ） A．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、等腰梯形的判定定理、判断能否构成平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、正方形、矩形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，原命题是真命题； B、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，原命题是假命题； C、一组对边平行，且对角线相等的四边形可能是矩形，原命题是假命题； D、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形可能是直角梯形，原命题是假命题； 故选：A． 80．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰梯形的性质定理 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 81．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【知识点】等腰梯形的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查梯形中求线段长，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键. 过作, 交延长线于，根据梯形为等腰梯形，可得，即可得到,根据等腰直角三角形性质即可求出长，然后根据从而得到答案. 【详解】过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 82．（23-24八年级下·上海·期末）已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为 ． 【答案】或 【知识点】(等腰)梯形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 83．（23-24八年级下·上海·期末）已知在等腰梯形中，，厘米，厘米，高厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 【答案】 【知识点】等腰梯形的性质定理、梯形中位线定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理； 过点D作于M，证明四边形是矩形，可得厘米，厘米，然后利用勾股定理求出和，再根据梯形的中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于M，则， ∵是等腰梯形的高，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴厘米，厘米， ∵厘米，厘米，， ∴厘米， ∵厘米，，厘米 ∴厘米， ∴厘米， ∴这个梯形的中位线长为：厘米， 故答案为：． 84．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、梯形中位线定理、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】该题主要考查了梯形中位线，梯形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形三边关系等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 根据题意算出另外一条底边长，延长使，连接，则，证明四边形是平行四边形，得出，再根据三边关系即可解答， 【详解】如图，是梯形，为梯形的中位线，则， ∴， 延长使，连接，则， ∵是梯形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 85．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、等腰梯形的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 86．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在直角梯形中，，．求．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，梯形的面积．正确作出辅助线，构造直角三角形利用勾股定理求出梯形下底长是解题的关键． 过点A作于E，先证明四边形是矩形，得，，再用勾股定理求出长，从而求得梯形下底长，然后用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作于E，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴， ∴． 87．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是梯形； (2)如果，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6或16 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的判定定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形； （2）分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ，与相交， 与不平行， 四边形是梯形； （2）解：为等腰三角形， 如图，当时， 为的中点， ， ，， ； 如图，当时，过点F作，垂足为H， 由（1）知四边形是平行四边形， ，即， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，点与点B重合，不符合题意， 综上，当为等腰三角形时，的长为6或16． 【点睛】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 题型十八 三角形、梯形的中位线 88．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质可得四边形是平行四边形，再由对角线、相互垂直，可证得四边形是矩形，然后证明四边形是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案． 【详解】解：如图， 、、、分别为各边的中点，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 对角线、相互垂直， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：． 故答案为：． 89．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等腰梯形的性质定理、斜边的中线等于斜边的一半、梯形中位线定理 【分析】本题主要考查了等腰梯形．熟练掌握等腰梯形性质，等腰直角三角形性质，三角形面积公式，是解决问题的关键． 根据等腰梯形性质得到，，过C作交延长线G，于点H，得到四边形是平行四边形，得到，，得到，，根据，得到，推出，得到，，即得． 【详解】如图，过C作交延长线G，作于点H， ∵等腰梯形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 90．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰梯形的性质定理、梯形中位线定理、用勾股定理解三角形 【分析】以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H，由梯形中位线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的特征及等腰三角形的性质，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H， ， 三点共线， 梯形的中位线长为6， ， ， ， ， ， 在梯形中，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握梯形的性质是解题的关键． 91．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是 （用含m、n的式子表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、梯形中位线定理 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，梯形中位线性质，勾股定理，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 过点D作交于E，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，然后由勾股定理，求得，从而求得，然后由梯形的中位线定理求解即可． 【详解】解：过点D作交于E，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴梯形的中位线长， 故答案为：． 92．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、等腰梯形的性质定理、梯形中位线定理 【分析】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质． 作，从而得到四边形为平行四边形，将两底的和转化为线段的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∵是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形的中位线为：， 故答案为：． 93．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知菱形的边长是4，，E、F是边的中点，G、H是线段的中点，那么 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形，则，由点E是的中点得到，由勾股定理得到，证明是的中位线，即可得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵G、H是线段的中点， ∴是的中线， ∴， 故答案为： 94．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么 ．    【答案】// 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、梯形中位线定理 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：在中，、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， 在梯形中，、分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为：． 95．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、等腰梯形的判定定理、与三角形中位线有关的证明、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 96．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、三线合一、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）连接，先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：点、分别是、边上的中点， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接、，如图， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边上的中点 ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 96．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，． (1)求证：； (2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； (3)写出x为何值时，？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明是关键． （1）取的中点记为，取的中点记为．根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域； （3）连接，根据三角形中位线的性质可得x为1时，． 【详解】（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接 ∵，点D是边的中点， ∴都是三角形中位线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ 即 ∵E是边上的一个动点（不与A、B重合）， ∴； （3）解：连接，当E与H重合时，， ∵此时， ∴当时，． 98．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】与三角形中位线有关的证明、等腰梯形的性质定理 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 题型十九 平面向量及其加减运算 99．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、向量的线性运算 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 题型二十 概率初步 100．（23-24八年级下·上海·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．关于的方程有实数解 B．一元二次方程有两个不相等的实数根 C．点（m为实数）落在直线上 D．直线与直线相交 【答案】C 【知识点】事件的分类、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了事件的分类，根据不可能事件，随机事件和必然事件的意义进行判断即可 【详解】解：A. 关于的方程没有实数解，故选项A是不可能事件，不符合题意； B. 一元二次方程的判别式，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，是必然事件，不符合题意； C. 当时，点（m为实数）落在直线上，是随机事件，故符合题意； D. 直线与直线相交，是必然事件，不符合题意； 故选：C 101．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下列事件中，属于确定事件的是（    ） A．直线与直线有公共点 B．当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D．有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一次函数图象平移问题、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了确定事件、不可能事件以及随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据事件发生可能性的大小判断即可． 【详解】解：A．因为两直线k值相同，所以直线与直线没有公共点，属于不可能事件，故本选项符合题意； B．当a取非负数时，关于x的方程有实数根，属于随机事件，故本选项不符合题意； C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上，此为随机事件，故本选项不符合题意； D．有两条边及其中一边的对角对应相等且为直角时，这两个三角形全等，此为不确定事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 102．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是 ． 【答案】 【知识点】无理数、根据概率公式计算概率 【分析】先找出3.14、、、这四个数中无理数的个数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 本题主要考查了无理数的概念和概率的计算．无限不循环小数叫做无理数，通常情况下开方开不尽的数是无理数．熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】3.14、、、这四个数中无理数有一个， ∴从3.14、、、这四个数中随机选取一个数，取出的数是无理数的概率是． 故答案为： 103．（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球． 【答案】8 【知识点】已知概率求数量、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．根据概率公式列方程计算． 【详解】解：设袋子中共有x个球，根据题意得： ， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：8． 104．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】(1) (2) (3)往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【详解】（1）解：摸出的球是白球的概率是； （2）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 105．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式可得答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和为偶数的情况数，然后根据概率公式可得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和能被3整除的情况数，然后根据概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵共有4个小球，所标的数字不超过4的有4个， ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有12种等可能的情况，其中所标的数字和为偶数的情况有4种， ∴所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有16种等可能的情况，其中所标数字和能被3整除的情况有5种， ∴所标数字和能被3整除的概率是． 106．（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件 (2)；41 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、由频率估计概率、分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，用频率估计概率，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务，列出方程，解方程即可； （2）根据频率估计概率即可，设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意列出不等式，求出至少还要生产的件数即可． 【详解】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据题意得： ， 解得：，， 经检验是原方程的解， 答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件； （2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在， ∴这批物理实验模型成品的报废率约为， 设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意得： ， 解得：， ∵y必须取整数， ∴至少还需生产41件产品才能完成订单的需求． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$