专题06 随机变量及其分布(7大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 内蒙古专用）

专题06 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望、方差 题型05 二项分布 题型06 超几何分布 题型07 正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件概率、对立事件概率公式直接求解即可. 【详解】 故选：B. 2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意代入条件概率公式计算即可得出结果. 【详解】根据题意可得 利用条件概率公式可得. 故选：B 3．（22-23高三上·内蒙古阿拉善盟·期末）端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意，，，所以. 故选：B. 4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知事件满足，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】ABC 【分析】对于A，由事件的包含关系分析判断，对于B，由互斥事件与和事件的关系分析判断，对于C，由独立事件的定义分析判断，对于D，由已知条件求出，再根据独立事件的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为与互斥，， 所以，所以B正确， 对于C，因为与相互独立，所以与相互独立， 所以，所以C正确， 对于D，因为，， 所以， 因为， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：ABC ( 题型02 ) 全概率公式 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（    ） A．0.69 B．0.7 C．0.71 D．0.72 【答案】C 【分析】利用全概率公式结合题意直接求解即可. 【详解】用，分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用表示选到的方案是优秀方案． 由题意得，，，， 所以由全概率公式得 ． 故选：C 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（    ） A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875 【答案】A 【分析】利用全概率公式可得答案. 【详解】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为， 则一列车能正点到达该车站的概率为. 故选：A. 3．（23-24高二下·内蒙古包头·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二下·内蒙古阿拉善盟·期末）设表示事件发生的概率，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果. 【详解】因为， ， 则 故答案为：. ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 1．（23-24高二下·内蒙古阿拉善盟·期末）已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案. 【详解】解：由题意得： ． 故选:A 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知 6 位同学中有 3 位女生，3 位男生，现将这 6 位同学随机平均分成 ， 两组，进行比赛. (1)求组中女生的人数的分布列. (2)记事件: 女生不都在同一组，事件: 女生甲在组. 判断事件 是否相互独立，并证明你的结论. 【答案】(1)分布列见解析； (2)相互独立，证明见解析. 【分析】（1）依题意求出组中女生的人数，根据概率公式求出分布列； （2）根据独立事件概率乘法公式验证相互独立. 【详解】（1）组中女生的人数可能为0，1，2，3，故的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， 所以组中女生的人数 的分布列为 0 1 2 3 （2）事件相互独立，证明如下： 事件:女生不都在同一组，概率， 事件: 女生甲在组，概率， ， ， 所以事件相互独立. ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望、方差 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以. 故选：A 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【答案】 【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可. 【详解】由题意及方差定义知，所以. 故答案为： 3．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，其它选项小李均可一次性通过． (1)求小李第一次考试即通过的概率P1； (2)求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分求出小李没有抽到“移库”和抽到“移库”一项且通过的概率，相加即可； （2）根据题意可能为1，2，3，4，分别求其概率，即可得其分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）根据题意小李第一次考试即通过包括， ①小李没有抽到“移库”一项； ②抽到“移库”一项且通过， 所以； （2）根据题意小李参加考核的次数可能为1，2，3，4， 则， ， ， ， 分布列为 1 2 3 4 . 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）为加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高身体健康水平，某学校改进课程教学，增加学生体育锻炼时间，市体质监测中心抽取了该校高三A班和高三B班各10名学生进行体质测试，得到如下数据. 高三A班10名学生体质测试成绩（单位：分） 55 58 65 67 76 79 80 82 85 93 高三班10名学生体质测试成绩（单位：分） 56 57 59 72 78 83 85 87 91 92 其中体质测试成绩在60分以下为不合格，88分以上为优秀. (1)求班10名学生体质测试成绩的平均分，估计班学生体质测试成绩的优秀率； (2)市体质监测中心准备从这20名学生中随机选出体质测试成绩不合格的3名学生进行补考测试，记这3人中来自班的人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解平均分，再求解优秀率即可； （2）由题意的可能取值为，再列出分布列求解数学期望即可 【详解】（1）班10名学生体质测试成绩的平均分 抽取的班10名学生中，体质测试成绩优秀的学生有2名，优秀率为，所以估计班学生体质测试成绩的优秀率为. （2）由题可知，这20名学生中有5名学生体质测试成绩不及格，其中班有2名，班有3名，则的可能取值为， 则的分布列为 故. ( 题型0 5 ) 二项分布 1．（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（    ） A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 【答案】C 【分析】根据分布的概念可知，结合可求，再求期望即可. 【详解】因为X服从分布，所以，因为， 所以，，故． 故选：C 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】 或 【分析】分析抛一次骰子得1分以及得3分的概率，从而计算最终得分的概率，计算期望值；设得1分的次数为，计算得1分次数为次时总得分为分的概率，列不等式组计算概率最大时的值，从而求出的值. 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 【点睛】思路点睛：得分由扔骰子过程中出现1分的次数和出现3分的次数决定，所以求得分的概率先设出现1分的次数，再计算的概率，列不等式组求出概率最大的的值，再计算. 3．（23-24高二下·内蒙古·期末）设随机变量，若，则 ， . 【答案】 5 【分析】由二项分布概率公式性质有，求得，再根据二项分布的数学期望公式，求得，最后根据求值即可. 【详解】， 则，因为，所以， 故，. 故答案为：；. 4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷” 方式I：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画“△”，否则画“×” 方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”. 当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）. (1)若高二年级-共有900名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望； (2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据古典概型的概率公式计算每名学生按方式I回答问卷的概率，再根据题意分析可得方式I回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解. （2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解. 【详解】（1）先后抛掷两枚骰子，出现的点数情形共有：，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种， 其中两次的点数恰好有一次的点数能被3整除的情形有：，，，，，，，，，，，，，，，， 共16种，故其概率为. 由题意可得：该高二年级900名学生中按方式I回答问卷的人数， 所以的数学期望； （2）记事件为“按方式I回答问卷”，事件为“按方式II回答问卷”，事件为“在问卷中画△”. 由（1）知，，，， 则. 由全概率公式，得， 所以，所以. 故由调查问卷估计，该中学高二年级学生对新的奖励评审方案的满意度估计值是. ( 题型0 6 ) 超几何分布 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 2．（多选）（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ） A．服从二项分布 B． C． D．最有可能取得的为1 【答案】BCD 【分析】根据超几何分布的概率公式计算得分布列，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知的分布列为： 0 1 2 对于A, 服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误， 对于B，,故B正确， 对于C，，C正确， 对于D，由于为1时的概率最大，所以最有可能.D正确 故选：BCD 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为. (1)求的值； (2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）结合组合知识利用古典概型概率公式列方程求解即可； （2）由题意得到随机变量的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出的数学期望. 【详解】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个， 因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以， 所以，解得或（舍去）； （2）由题意可能的取值为0，1，2，3， 则，，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 4．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩列金牌榜第三､奖牌榜第二.某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了60人，具体的调查结果如下表: 班号 一班 二班 三班 四班 五班 六班 频数 6 10 13 11 9 11 满意人数 5 9 10 6 7 7 （1）在高三年级全体学生中随机抽取1名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （2）若从一班和二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1）（2）分布列见解析， 【分析】（1）由表中数据可计算得到持满意态度的频率，由此可得结果； （2）根据一班和二班持不满意态度的人数可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此得到的分布列；根据数学期望的计算公式计算可得期望. 【详解】（1）由表中数据知：在被抽取的人中，持满意态度的学生共人 持满意态度的频率为 据此估计，高三年级全体学生中随机抽取名学生，该生持满意态度的概率为 （2）一班和二班中持不满意态度的共人    的所有可能取值为 ， ， 的分布列为: . 【点睛】本题考查概率统计中的利用样本估计总体、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率. ( 题型0 7 ) 正态分布 1．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知：，且，，则（    ）　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态分布求解即可 【详解】由题意，，   所以 故选：C． 2．（多选）（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（    ） 参考数据：若则，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A，根据对称性可判断B，根据原则和曲线的对称性即可判断CD. 【详解】对于A，由，可知， 所以平均分为，故A对； 对于B，由于，根据正态分布的对称性可知， 成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等， 进而人数相等，故B对； 对于C，， 因为，故C错误； 对于D，， 因为， 所以超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若，，则 B．若随机变量，且，则 C．一组数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7 D．若样本数据，，…，的平均数为3，则，，⋯，的平均数为10 【答案】BD 【分析】根据二项分布期望、方差公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据百分位数的概念判断C，根据平均数定义计算D. 【详解】对A，由题意，解得，故A错误； 对B，由正态分布的对称性知，， 则，故B正确； 对C，由知，第60百分位数为由小到大排列的第5个数9，故C错误； 对D，由题意知，则 ，故D正确. 故选：BD 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【答案】4 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据对称性可得：，所以， 故答案为：4 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数都不相同”，“至少出现一个5点”，则概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个5点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案． 【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率， 即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个5点”的情况数目为， “两个点数都不相同”则只有一个5点，共种， 故． 故选：． 【点睛】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，其含义为在发生的情况下，发生的概率． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知的分布列为： 设则的值为 A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出η的期望，然后利用，求解即可． 【详解】由题意可知E（η）＝﹣101． ∵， 所以＝E（3η﹣2）＝3E（η）﹣23． 故选A． 【点睛】本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望． 3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知随机变量服从二项分布，且，，则p等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于和的方程组，解方程组得到要求的两个未知量． 详解：随机变量服从二项分布，且，， 则由 ， 可得 故选B. 点睛：本题主要考查二项分布的期望与方差的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式． 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过恰当的举例找到三个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的殶子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”， 表示事件“点数是偶数点”，表示事件“点数是奇数点”， ， 此时满足，但，故选项错误； ，但，故选项错误； 成立，但，故选项错误； 对于选项，对于随机事件，且， 则由得，又， 得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以选项正确. 故选： 5．（23-24高二下·内蒙古包头·期末）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设知，，从而得到，，，，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题知，则，，， 又相互独立，则，易知， 则， 对于选项A，因为， 当时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 当时，，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D错误， 故选：C. 6．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 【答案】B 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概率公式求解. 【详解】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件， 由题意可得：， 则， 所以. 故选：B. 7．（多选）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 【答案】ABD 【分析】对于A，分患病者在混检的4人中和患病者不在混检的4人中两种情况分析判断即可，对于B，分患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他两种情况求解，对于C，分患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他两种情况求解即可，对于D，设检测次数为随机变量，则可能取2，3，4，求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者， 若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者， 若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确； 对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他， 所以其概率为，所以B正确； 对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他， 其概率为，所以C错误； 对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为 2 3 4 所以，故D正确． 故选：ABD 8．（多选）（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性及两点分布的定义即可判断AB；根据期望和方差的公式及性质即可判断CD. 【详解】因为，所以，且， 又，所以A正确，B错误； ，故，故C正确； ， ，故D错误. 故选：AC. 9．（多选）（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15（单位：min），10次骑自行车所花时间的均值为，方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10，标准差为3 B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【答案】ACD 【分析】由均值与标准差公式求解即可判断A选项；由图象结合正态分布的性质即可判断B、C、D. 【详解】对于A，坐公交车所花时间的均值为，方差，标准差为3，故A正确； 由题意知，，, 对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有以上的可能性会超过10min，即8点之后到校会迟到，故B错误； 对于C、D，由题中的图可知，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具，所以小明早上7：42出发，有18min可用，则应选择骑自行车，故C正确；小明早上7：47出发，有13min可用，则应选择坐公交车，故D正确； 故选：ACD. 10．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得． 【详解】依题意，， 所以． 故答案为：． 11．（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）已知随机变量，且，则 . 【答案】 【分析】根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出概率. 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 所以. 故答案为： 12．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）设的分布列为 1 2 3 4 P a 又，则 ． 【答案】6 【分析】由分布列的性质求出，再求出，最后根据期望的性质计算可得； 【详解】解：由分布列可知，解得， 所以， 所以. 故答案为： 13．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某省的大学生中大约的人每天玩手机超过1小时，这些大学生的近视率为，而每天玩手机不超过1小时的大学生的近视率为. (1)若从该省任意抽一名大学生，求他近视的概率； (2)已知该大学生近视，求他每天玩手机超过1小时的概率； (3)从该省大学生中任意抽取二人，表示这二人近视的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析，数学期望0.8. 【分析】（1）用A表示事件该省大学生每天玩手机超过1小时，用B表示事件该省大学生近视，然后根据已知条件利用全概率公式求解即可； （2）根据条件概率公式直接求解； （3）由题意可得的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求得的分布列和数学期望. 【详解】（1）用A表示事件该省大学生每天玩手机超过1小时，用B表示事件该省大学生近视， 则， ； （2）由（1）可知，该省近视的大学生中玩手机超过1小时的概率为 所以该省近视的大学生中玩手机超过1小时的概率为； （3）设抽取人的二人中近视的人数为的所有可能取值为， 的分布列为 0 1 2 0.36 0.48 0.16 14．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 【答案】(1)； (2)分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 【分析】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，得到该市所有参赛者的成绩，设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，结合正态分布曲线的对称性质，分别求得的值，即可得到结论. 【详解】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得： 数据的平均数为， 数据的方差为. （2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布， 设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖， 成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖， 则，，，. 因为，所以. 因为， 所以， 因为，所以. 综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 15．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决定比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军，积分规则如下：每场比赛5局中以或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分， (1)求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率； (2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6， ①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和； ②记这轮比赛甲所得积分为求的概率分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)①事件与为对立事件，所以，；②分布列见解析，1.97856 【分析】（1）根据题意，利用组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）①由事件与为对立事件，即可求得的值； ②根据题意，得到的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率. （2）解：①事件与为对立事件，所以，， ②的可能取值为， 可得 ； ； ； . 所以的分布列为 0 1 2 3 0.1792 0.13824 0.20736 0.4752 所以期望为. 16．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）； (1)求的值以及这批产品的优质率； (2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)，优质率为25% (2)分布列见解析，1 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果； （2）由题意可得件中优质产品的件数服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 产品质量指标超过130的频率为， 所以这批产品的优质率为； （2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25， 以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为， 所以4件产品中优质产品的件数， 则，， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P . 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望、方差 题型05 二项分布 题型06 超几何分布 题型07 正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·内蒙古阿拉善盟·期末）端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知事件满足，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 ( 题型02 ) 全概率公式 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（    ） A．0.69 B．0.7 C．0.71 D．0.72 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（    ） A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875 3．（23-24高二下·内蒙古包头·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·内蒙古阿拉善盟·期末）设表示事件发生的概率，若，则 . ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 1．（23-24高二下·内蒙古阿拉善盟·期末）已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（   ） 3 4 5 6 7 A． B． C． D． 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知 6 位同学中有 3 位女生，3 位男生，现将这 6 位同学随机平均分成 ， 两组，进行比赛. (1)求组中女生的人数的分布列. (2)记事件: 女生不都在同一组，事件: 女生甲在组. 判断事件 是否相互独立，并证明你的结论. ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望、方差 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 3．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，其它选项小李均可一次性通过． (1)求小李第一次考试即通过的概率P1； (2)求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值． 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期末）为加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高身体健康水平，某学校改进课程教学，增加学生体育锻炼时间，市体质监测中心抽取了该校高三A班和高三B班各10名学生进行体质测试，得到如下数据. 高三A班10名学生体质测试成绩（单位：分） 55 58 65 67 76 79 80 82 85 93 高三班10名学生体质测试成绩（单位：分） 56 57 59 72 78 83 85 87 91 92 其中体质测试成绩在60分以下为不合格，88分以上为优秀. (1)求班10名学生体质测试成绩的平均分，估计班学生体质测试成绩的优秀率； (2)市体质监测中心准备从这20名学生中随机选出体质测试成绩不合格的3名学生进行补考测试，记这3人中来自班的人数为随机变量，求的分布列及数学期望. ( 题型0 5 ) 二项分布 1．（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（    ） A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5 2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 3．（23-24高二下·内蒙古·期末）设随机变量，若，则 ， . 4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷” 方式I：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画“△”，否则画“×” 方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”. 当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）. (1)若高二年级-共有900名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望； (2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度. ( 题型0 6 ) 超几何分布 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（多选）（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ） A．服从二项分布 B． C． D．最有可能取得的为1 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为. (1)求的值； (2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 4．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩列金牌榜第三､奖牌榜第二.某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了60人，具体的调查结果如下表: 班号 一班 二班 三班 四班 五班 六班 频数 6 10 13 11 9 11 满意人数 5 9 10 6 7 7 （1）在高三年级全体学生中随机抽取1名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （2）若从一班和二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. ( 题型0 7 ) 正态分布 1．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知：，且，，则（    ）　　 A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则（人数保留整数）（    ） 参考数据：若则，． A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若，，则 B．若随机变量，且，则 C．一组数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7 D．若样本数据，，…，的平均数为3，则，，⋯，的平均数为10 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数都不相同”，“至少出现一个5点”，则概率（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知的分布列为： 设则的值为 A． B． C． D．5 3．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知随机变量服从二项分布，且，，则p等于　　 A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·内蒙古包头·期末）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一道解答题共有两小问，第一问7分，第二问8分，高三（2）班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（   ） A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04 7．（多选）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 8．（多选）（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15（单位：min），10次骑自行车所花时间的均值为，方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10，标准差为3 B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 10．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期末）一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则 ． 11．（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）已知随机变量，且，则 . 12．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）设的分布列为 1 2 3 4 P a 又，则 ． 13．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某省的大学生中大约的人每天玩手机超过1小时，这些大学生的近视率为，而每天玩手机不超过1小时的大学生的近视率为. (1)若从该省任意抽一名大学生，求他近视的概率； (2)已知该大学生近视，求他每天玩手机超过1小时的概率； (3)从该省大学生中任意抽取二人，表示这二人近视的人数，求的分布列和数学期望. 14．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 15．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的9名队员来自高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人，本次决定比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行8场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军，积分规则如下：每场比赛5局中以或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分， (1)求比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率； (2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜概率均为0.6， ①若设最后一轮每局比赛甲获胜为事件，乙获胜为事件，则事件与是什么关系，并求和； ②记这轮比赛甲所得积分为求的概率分布列及数学期望. 16．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）； (1)求的值以及这批产品的优质率； (2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$