湖北省武汉市2025届高三下学期五月模拟训练数学试卷

武汉市2025届高三年级五月模拟训练试题 数学试卷 武汉市教育科学研究院命制 2025.5.21 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．若复数，则（ ） A．1 B．5 C． D． 3．已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 4．已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A．48 B．72 C．96 D．192 6．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A． B. C． D． 7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D． 8．定义在上的函数满足，，，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．下列说法正确的是（ ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10．已知是坐标原点，对任意，函数的图象上总存在不同两点，使得，则下列选项中满足条件的有（ ） A． B． C． D． 11．设正整数，其中，记为上述表示中为1的个数．例如：，所以．已知集合，下列说法正确的是（ ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的的取值个数为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数是 ． 13． ． 14．已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点.若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为，的平分线交于点，求的值． 16．（本小题满分15分） 如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，，，分别在线段和上，且，． （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 建立如图所示的坐标系．矩形中，，.分别是矩形四条边的中点，直线，上的动点满足，，直线与的交点为． （1）证明点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； （2）当时，过点的直线（与轴不重合）与（1）中的椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点．设直线与轴交于点，求面积的最大值． 18． （本小题满分17分） 有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的操作． （1）求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率； （2）求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）； （3）求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？ 19．（本小题满分17分） 已知函数. （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$武汉市2025届高三年级五月模拟训练试题参考答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 0 A A B C B BD ACD ACD 12.0 13.-1 14.42 3 A 15.解：（I)由bcos2 asinB=0及正弦定理得sinBco -sin Asin B=0, 2 又sinB≠0，所以cos4-2sin4cos4=0, 2 2 2 因为40小所 π A 所以cos2≠0，sin= 221 所以Aπ A= …6分 26 3 2因为B=2B,5e35 2 3。 95 所以SBc=)SCE= 1 π95 所以bc=9, 2 4 3,则SMc=2 besin 3 4 又由余弦定理得b2+c2-a2=bc,可得b2+c2=18,所以b=c=3, 由角平线定理得C3C43 …3分 FE AE 2 16.D证明：记AB=a,AD=万，AA=c,则a==3,=4,(a,=(么，c)=(a,c）=60, 方法：由题意，A花=a+c,4=b+3c,4G=a+i+c, 4 所以AC=AE+AF,所以AC,AE,AF共面且A为公共点，所以A,E,C,F四点共面…6分 方法二：由题意，A正=a+c,FC=FD+DG=a+4C, 4 所以AE=FC,所以四边形AECF为平行四边形，A,E,C,F四点共面…6分 (2)解：如图，取AF中点M,连DM,EM,EF, 在△4DF中，DF=3=AD,所以DM⊥AF, D 因为正=a+,所以武-月+日+os60=13. 从而AE=3, M D EF=F-正=-a+b+&,同理E际=5=a, 因此在等腰△AEF中，EM⊥AF, 所以∠EMD即为平面AECF与平面AADD的夹角或其补角， 由MD=+AD=-F+D=6-3c,ME=M+A花=-AF+AD=a-i-c 28 2 28 设平面AECF与平面AADD的夹角为O, 3 MD.ME 则cos0=os(MD,ME 4 MD ME 35 5 2 2 所以平面AECF与平面AADD夹角的余弦值为二…15分（其他方法酌情给分） 5 17.解：(1)依题意，E(0,-√5)，F(2,0),由OR=2OF得R(2,0), 当元≠0时，直线ER的方程为y= x-/3 2 0 又G0,V3),C(2,5),由Cs=CF得S(2,5+3), 所以，直线GS的方程为y= x+5 ② 2 由0得+V5= ,由②得y-5=-5 -x 21 两武相乘得0+0-= 2 整理得+上 =1 …6分 43 1 ②当元=2时，点R,0), 设M(:,),N(x2,y2),设直线1的方程为：x=y+1 x=y+1 由 3x2+4y2=12'消去x得：(62+42+60-9=0. -6t -9 则△>0，%+4=3+4'43+4 依题意，Q4,),直线M0的方程为：y-片=上-2(-4)， x-4 令y=0,得点K的横坐标为：x=少伍二)+4=少=3到+4少-4少=+4-当 片-2 -2 y-'2 0+),则20%+为)+4”- 3 y2)5 %-2 y-y2 2 因此直线M0过定点KC,0, 所以SAMR= ，当且仅当y=V5时等号成立， 4 所以AKMR的面积最大值为3V固 …5分 18.(1)经过1次换球后，甲口袋中2白1黑，乙口袋中2黑1白，记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白球” 为事件A,则 1.11 PM)=3X39 …4分 (2)解法一：n次换球后，记“甲口袋中恰有3个白球”的概率为4。，“甲口袋中恰有2白1黑”的概率为b。, “甲口袋中恰有1白2黑”的概率为c。,“甲口袋中恰有3个黑球”的概率为d, 由题意可知，a=0,b=1,G=0,4,=0, a+b+c+d=1 d.=gb- 4 4 8 8 b=a+g0+gc…所以b+c,=a+号h ++d=1g6+c 4 4 -b-+gc+d C 1 d=gc- 则，+C- 91 9 10 9 所以m次换球后，甲口袋中3个球颜色仍相同的凝率为口，+d, 1+9 10109 …10分 解法二：在解法一的基础上，调整对事件划分的分类，次换球后，记“甲口袋中3个球颜色相同”的概率为P, 则n=0,A=)0-2小 …10分 (3)n次换球后，记“甲口袋中3个球编号分别为1,2,3”的概率为g。· 所以4子引=引 当0为数时4号号得号 当为展时么号母-子（Θ5贵 所以当m=2时，9，取得最大值，最大值为 7 …17分 19.解：()冷f(x)=xe-a=0,即a=xe,设g(x)=xe 因为g(x)=(x+1)e,所以当x∈(-o,-)时，g(x)<0,g(x)单调递减： 当x∈(-1，+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 当x<0时.8)<0，g)=8-)=号，80)=0 所以当子<a<0时，f)在(-，0)上有两个零点： 当a=合成0≥0时，f不有度零点 当a<时，f儿)无零点.4分 (2)(i)由(1)知，当a≥0时，f(x)有唯一零点x,则x,e-=n且x,>0, 两边取自然对数，得x。-1+lnx。=lnn, ① 所以xal-1+hxl=ln(n+1), ② ①@两式相减，得x1-x,+lnx4-nx,=ln”+>0, 所以xnl+lnx+i>xn+lnxn: 因为函数y=x+lnr在(0，+o∞)上单调递增， 所以>龙，所以数列{化}单调递增。…8分 (ii)先证明：x>0时，x-1≥lnr 设h)=r-1-,则()= 所以当xe(0,)时，h(x)<0,h(x)单调递减： 当x∈(L,+∞)时，h(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)≥h()=0,当且仅当x=1时，等号成立. 由③式知，hn=x,+lnxn-1≥2lnx, 所以0<x5<瓜+)币，所以> mm0. 2 2 所2>2-同+-可+…+5--=2- ③式中，令x=,得立-1≥ln=lnx,-lnn, 当且仅当xn=n,即n=1时等号成立， 所以0=x+lhx。-nn-1≤xn+-2, 当且仅当n=1时等号成立. 当n≥2时，在③式中，令x=”-1,得上<1n-ln(n-), n n 所以n≥2时，立=1+2<1+”，+，2 台x22k c空[a2-h+(m-a(a-明-"+l严 2 当n=1时，】 二成立 2 所以2-小2头”+1. 2 得证…………17分