精品解析：四川省资阳中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

高2024级高一下学期五月月考数学试题 一、单选题 1. （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】解： 故选：B 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再由求解即可. 【详解】，则在上的投影向量的模为. 故选：C 3. 已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台体积公式直接计算即可. 【详解】由题，正四棱台上下底面面积分别为， 故由棱台体积公式得. 故选：D. 4. 在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形有两个解可得，代入值求解即可. 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 5. 已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算表示，然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量，，所以． 又，所以与共线． 故选：B． 6. 已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理可把用表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案. 【详解】根据题意，得 ， 三点共线，，即. 故选：D. 7. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A B. C. EI与BG共面 D. AF与BG异面 【答案】C 【解析】 【分析】画出该正方体的直观图，根据直线共面，异面直线和直线夹角进行判断，得到答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， A选项，，为等边三角形，AF与CH所成的角为，A错误； B选项，CH与BD异面，B错误； C选项，直线EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确； D选项，，直线AF与BG共面，D错误. 故选：C. 8. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求. 【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心， 设，则，又，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得，解得， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以函数的最小正周期为， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 两个非零向量、，若，则与垂直 C. 若点G为的重心，则 D. 若，，分别表示、的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理及向量的运算即可判断ABC，然后结合图形，结合向量运算及三角形面积公式即可判断D． 详解】对于A，若，则，不一定平行，故A错误； 对于B，因为向量，为非零向量，且， 即，即，又，均为非零向量，故与垂直，故B正确； 对于C，若点G为的重心，延长AG与BC交于M，则M为BC的中点，如图所示： 所以，所以，故C正确； 对于D，如图所示取AC中点为D，则， 由，可知， 所以O，B，D三点共线，且，故，故D正解． 故选：BCD 11. 已知的内角的对边分列为的平分线交于，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式、正弦定理以及三角函数的性质，基本不等式等知识.来分别分析每个选项. 【详解】对于选项A，因为是的平分线，，所以. 根据三角形面积公式，可得. 即，已知，代入可得： ，化简得. 两边同时除以bc，得到，所以选项A正确. 对于选项B，在中，由正弦定理得； 在中，由正弦定理得. 因为，所以，所以选项B错误. 对于选项C，由A知道． 由三角形内角平分线定理，得，所以，， 可得． 在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，此时． 故的最大值为．所以选项C正确. 对于选项D，由可得， 根据基本不等式，则，解不等式可得（当且仅当时取等号）. 再根据余弦定理， 令（），则，函数在上单调递增， 所以，即. 所以的周长， 即的周长的取值范围是，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，由题意得， 由余弦定理得， 即，解得（舍去）， 所以岛与岛的距离为海里. 故答案为：. 13. 如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形ABC的面积为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则求出正三角形边长，进而求出其面积. 【详解】依题意，正的边长， 所以. 故答案为： 14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将替换成，再让两式相减可得，对条件进行平行后两式相加即可求的值. 【详解】因为①， 所以 由题意可化简②， ①-②可得，所以. 又③，④， ③+④可得，即. 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程，解方程求即可； （2）根据向量加法运算及模坐标表示列出方程，解方程求即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 由已知， 则， 解得：或. 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 17. 如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． （1）若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； （2）若，，，求四面体外接球的表面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积； （2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积． 【小问1详解】 若四面体各棱长均为， 则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体， 所以， ； 【小问2详解】 由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点， 所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球， 设此四面体所在长方体的棱长分别为，，， 则，解得， 设长方体外接球的半径为，则，则， 所以外接球的表面积为． 18. 锐角三角形中，角的对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可； （3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理：， 则， 所以，根据得： 【小问2详解】 由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 【小问3详解】 余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 19. 1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1）1； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，，， 则，， 因为与的夹角为，则，解得. 又，，所以； 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2024级高一下学期五月月考数学试题 一、单选题 1. （ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量，，则在上投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 7. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. EI与BG共面 D. AF与BG异面 8. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 有下列说法，其中正确的说法为（ ） A. 若，，则 B. 两个非零向量、，若，则与垂直 C. 若点G为的重心，则 D. 若，，分别表示、的面积，则 11. 已知的内角的对边分列为的平分线交于，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是 三、填空题 12. 已知海上岛在岛的北偏东方向距离岛5海里处，岛在岛的北偏西方向，岛与岛相距7海里，则岛与岛的距离为________海里. 13. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形ABC的面积为____________ 14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________. 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，求实数值； （2）若，求实数的值 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数零点为，求． 17. 如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点． （1）若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积； （2）若，，，求四面体外接球的表面积． 18. 锐角三角形中，角对边分别为且. （1）求； （2）求三角形周长的取值范围； （3）求三角形面积的最大值. 19. 1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$