精品解析：山东省临沂市费县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

八年级学业质量阶段监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不等于0．根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 解得． 故选：D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、=，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴为直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴为直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∵ ∴， 解得，，，， ∴是锐角三角形，符合题意； D、∵，，，， ∴， ∴为直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8边是直角边时， 第三边斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 6. 如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 16 B. 6 C. 4 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A. 9尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇长度为尺， 由勾股定理，可得， 解得， ∴水深12尺． 故选：C． 9. 如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形，先根据坐标与图形性质得到，再根据平行四边形的性质得到，轴，再利用坐标与图形求解即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，轴， ∵四边形为平行四边形， ∴，轴， ∵， ∴，即， 故选：A． 10. 将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（ ） 第一行 第二行 2 第三行 …… A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第2个数是， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由n为正整数，也是正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：n为正整数，也是正整数， 则3n是一个完全平方数， 所以n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数． 12. 如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 【答案】12米 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，由三角形的中位线得，即可求解；掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：米． 13. 如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，矩形的顶点A、B在数轴上，点表示，，，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点所表示的数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示点数为． 故答案为：． 15. 某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论： ①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．N，O，J，P分别为正方形四边中点． 上面结论正确的是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理，正方形的判定和性质，方程组的应用，判定解答即可． 本题考查勾股定理，正方形的判定和性质，二元一次方程组的实际应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵对角线交于点I， ∴， 故①正确； 根据题意，得， 解得， 故②正确； 根据题意，得， ∴N，O，J，P分别为正方形四边的中点． 故④正确； ∵不一定是， 故不一定成立． 故③错误； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 17. 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化” 例如： 请类比以上化简的方法：把进行分母有理化 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，根据分母有理化进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为 （2）不能成功，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）过点作，垂足为，利用勾股定理进行求解即可； （2）延长到点，勾股定理求出的长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得． 在中，． 根据勾股定理，得， ． 答：风筝离地面的垂直高度为． 【小问2详解】 不能成功． 理由：如图，延长到点，使， 此时． 在中，． 根据勾股定理，得． ， 不能成功． 19. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 20. 在正方形中，点E是边所在直线上的任意一点，连接，把线段绕着点E顺时针旋转90°得线段（即，），连接． （1）如图1，当点E在线段上时，求线段与的数量关系，并说明理由； （2）若点E在的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的长度为________． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、垂直定义等知识，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明，再结合勾股定理即可得出结论； （2）同理（1）即可得出结论； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， 又∵在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴. ，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， 又∵在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴. ，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 如解图3-1，当在线段延长线上时，过点作延长线于点， 同理（1）得：，， ∴，、 ∴在中， 如解图3-1，当在线段反向延长线上时，过点作延长线于点， 同理（1）得：，， ∴，、 ∴在中， 综上所述：的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级学业质量阶段监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A B. C. D. ，， 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 6. 如图中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A. 16 B. 6 C. 4 D. 10 7. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，则为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A. 9尺 B. 10尺 C. 12尺 D. 13尺 9. 如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为（ ） A B. C. D. 10. 将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（ ） 第一行 第二行 2 第三行 …… A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 12. 如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 13. 如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 14. 如图，矩形的顶点A、B在数轴上，点表示，，，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点所表示的数为________． 15. 某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论： ①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．N，O，J，P分别为正方形四边的中点． 上面结论正确的是_______． 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1） （2） 17. 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化” 例如： 请类比以上化简的方法：把进行分母有理化 18. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 19. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 在正方形中，点E是边所在直线上的任意一点，连接，把线段绕着点E顺时针旋转90°得线段（即，），连接． （1）如图1，当点E在线段上时，求线段与的数量关系，并说明理由； （2）若点E在的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $