第2部分 专题6 二次函数综合（PPT课件）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

专题分类复习 第二部分 专题六　二次函数综合 类型1　二次函数与线段有关的问题 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 类型2　二次函数与面积有关的问题 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 类型3　二次函数与三角形存在性有关的问题 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 类型4　二次函数与特殊四边形有关的问题 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 类型5　二次函数与角有关的问题 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 制 作 者：《中考复习指南》 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 一、线段的数量关系 1．线段长度的表示 (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，如点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则AB＝eq \r(x1－x22＋y1－y22). 2．求解线段数量关系问题 (1)两条线段在同一条直线上 ①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解； ②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；或先以两条线段为斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行转化． (2)两条线段不在同一条直线上 ①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条线段的长，再利用线段数量关系列方程求解； ②若两条线段的长无法直接表示，则可通过找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将其转化为可直接表示的两条线段的数量关系，再求解． 二、利用二次函数性质求线段最值 1．竖直线的最值问题：设出点的坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解． 2．斜线段的最值问题：看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： 方法一：可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； 方法二：利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； 方法三：若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段． 3．求线段比值最值问题：找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解． 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1,0)，B两点，与y轴交于点C(0，－3)，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点P的横坐标为2时，D为线段AP上一点，若△OBD的面积为，请求出D点坐标； (3)如图2，点P在y轴的右侧，直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，请问的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 解：(1)拋物线y＝x2＋bx＋c过A(－1,0)，C(0，－3)两点， ∴解得 ∴y＝x2－2x－3. (2)∵点P的横坐标为2， 当x＝2时，y＝22－2×2－3＝－3， ∴P(2，－3)，∵A(－1,0)， 设直线AP的解析式为y＝kx＋d， ∴解得 ∴直线AP的解析式为y＝－x－1. 由题意可设D(t，－t－1)，且－1＜t≤2. 当y＝0时，x2－2x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴B(3,0)，∴OB＝3， ∵S△OBD＝OB×|yD|＝， 即×3×(t＋1)＝， 解得t＝，∴D. (3)过点P作PF⊥y轴于点F，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QE⊥y轴于点E，过点Q作QK⊥x轴于点K， 设P(m，m2－2m－3)，Q(n，n2－2n－3)， ∴PF＝|m|，PN＝|m2－2m－3|，QE＝|n|，QK＝|n2－2n－3|， ∵PN⊥x轴，∴∠PNA＝∠MOA＝90°， ∴OM∥PN，∴△APN∽△AMO， ∴＝，∴＝，∴OM＝3－m， 同理可得△BQK∽△BMO， ∴＝，∴＝， ∴OM＝3n＋3， ∴3－m＝3n＋3，∴m＝－3n， ∵PF⊥y轴，QE⊥y轴， ∴∠QEH＝∠PFH＝90°， ∵∠QHE＝∠PHF，∴△QHE∽△PHF， ∴＝＝＝＝＝3. 2．(2024·湖北)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N.设L的顶点横坐标为n，NC的长为d. ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域(不含边界)记为W.当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1,0)， ∴0＝－1－b＋3，解得b＝2. (2)∵b＝2，∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. 令y＝0，解得x＝－1或x＝3，令x＝0得y＝3，∴A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)，设M(m，－m2＋2m＋3)，作MH⊥x轴于点H，如图， ∵∠MAB＝∠ACO，∴tan∠MAB＝ tan∠ACO，即＝，∴＝， 解得m＝或m＝－1(舍去)， ∴点M的横坐标为. (3)①∵将二次函数沿水平方向平移， ∴顶点的纵坐标不变为4， ∴图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4，∴N(0，－n2＋4)， ∴d＝CN＝|－n2＋4－3|＝|－n2＋1|， ∴d＝ ②－1≤n≤1－或≤n<. 方法一　利用割补 将图形割(补)成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴(例如以下4,5两图中，连接BD解法不简便)． 方法二　铅垂法 (1)求A，B两点水平距离，即水平宽； (2)过点C作x轴的垂线与AB交于点D，可得点D的横坐标同点C； (3)求直线AB的解析式，并将点D的横坐标代入解析式，得点D的纵坐标； (4)根据C，D的坐标求得铅垂高； (5)S＝水平宽×铅垂高． 方法三　其他面积方法 如图1，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比． 　　 3．(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2,0)，C(0，－2)． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 解：(1)将A(－2,0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. (2)设P(m，n)，∵点P在第二象限，∴m<0，n>0.依题意，得＝2， 即＝2，∴＝2. 由已知，得CO＝2，∴n＝2CO＝4.由m2＋m－2＝4，解得m1＝－3，m2＝2(舍去)， ∴点P的坐标为(－3,4)． 4.(2024·凉山)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2,0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)把B(3，m)代入y＝x＋2得m＝3＋2＝5， ∴B(3,5)，把A(－2,0)，B(3,5)代入y＝－x2＋bx＋c得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8. (2)设P(t，－t2＋2t＋8)，则E(t，t＋2)，D(t,0)， ∵PE＝2DE，∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2)， 解得t＝1或t＝－2(此时P不在直线AB上方，舍去)，∴点P的坐标为(1,9)． (3)抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，点M的坐标为或或或. 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若△ABC为等腰三角形，则有三种可能情况：(1)AB＝BC；(2)BC＝CA；(3)CA＝AB.但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有两个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1．知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： (1)勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； (2)两点间距离公式． 2．解题思路： (1)利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； (2)根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程(多为分式或根式方程)； (3)解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A＝90°；②∠B＝90°；③∠C＝90°.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考查重点，需要用到勾股定理． 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1．知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角．另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2．解题思路： (1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； (2)计算出相应的边长等信息； (3)根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 5．(2024·达州)如图1，抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3,0)和点B(1,0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. (2)由y＝x2＋2x－3，当x＝0时，y＝－3， 则C(0，－3)． ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 则D(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1. 设直线AC的解析式为y＝k1x＋b1， 代入A(－3,0)，C(0，－3)， 得解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x－3， 当x＝－1时，y＝－2，则M(－1，－2)， ∴MC＝＝，MD＝－2－(－4)＝2，CD＝＝， ∴MD2＝MC2＋CD2， ∴△MCD是等腰直角三角形， ∴S△PMC＝2S△DMC＝2××CD2＝2. 连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠BME＝45°，BM＝2， 又∠DMC＝45°，∴BM⊥AC， ∴S△BMC＝×MC×BM＝××2＝2， ∴点P与点B重合时符合题意，∴P(1,0)． 如图所示，过点B作BP∥AC交抛物线于点P， 设直线BP的解析式为y＝－x＋m，将B(1,0)代入得，0＝－1＋m，解得m＝1， ∴直线BP的解析式为y＝－x＋1. 联立解得 ∴P(－4,5)． 综上所述，P(1,0)或P(－4,5)． (3)∵A(－3,0)，C(0，－3)， ∴AC2＝32＋32＝18. ∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N(－1，n)，其中n>－4， ∴AN2＝(－3＋1)2＋n2＝4＋n2，CN2＝12＋(n＋3)2＝n2＋6n＋10. ①当AN＝AC时，4＋n2＝18， 解得n＝或n＝－； ②当AN＝CN时，4＋n2＝n2＋6n＋10，解得n＝－1； ③当AC＝CN时，18＝n2＋6n＋10，解得n＝－3或n＝－－3(舍去)． 综上所述，点N的坐标为(－1，)或(－1，－)或(－1，－1)或(－1，－3)． 6．(2024·黄石模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，－4)． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标； (3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标． 解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)∵抛物线对称轴为直线x＝1，A(－1,0)，∴B(3,0)， 设直线BD的解析式为y＝kx＋e， ∵B(3,0)，D(1，－4)，∴解得∴直线BD的解析式为y＝2x－6， 过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1， 设直线CP1的解析式为y＝2x＋d，将C(0，－3)代入，得－3＝2×0＋d，解得d＝－3， ∴直线CP1的解析式为y＝2x－3，结合抛物线y＝x2－2x－3，可得x2－2x－3＝2x－3， 解得x1＝0(舍)，x2＝4，故P1(4,5)． 过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G， ∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形， 设CP1与x轴交于点E，则2x－3＝0， 解得x＝，∴E， 在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F， ∵四边形OBGC是正方形， ∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°， ∴∠OCB－∠BCE＝∠GCB－∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF(ASA)， ∴FG＝OE＝，∴BF＝BG－FG＝3－＝，∴F， 设直线CF的解析式为y＝k1x＋e1， ∵C(0，－3)，F，∴解得∴直线CF的解析式为y＝x－3，结合抛物线y＝x2－2x－3，可得x2－2x－3＝x－3，解得x1＝0(舍)，x2＝，∴P2， 综上所述，符合条件的P点坐标为P1(4,5)，P2. (3)设直线AC的解析式为y＝m1x＋n1，直线BC的解析式为y＝m2x＋n2， ∵A(－1,0)，C(0，－3)，∴解得 ∴直线AC的解析式为y＝－3x－3. ∵B(3,0)，C(0，－3)，∴解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3， 设M(t，t－3)． ①当△Q1M1N1是以N1Q1为斜边的等腰直角三角形时，此时∠N1M1Q1＝90°，M1N1＝M1Q1，如图2， ∵M1Q1∥x轴，∴Q1， ∴|t－3|＝，解得t＝－9或， ∴M1，Q1； M2(－9，－12)，Q2(3，－12)． ②当△Q3M3N3是以M3Q3为斜边的等腰直角三角形时，此时∠M3N3Q3＝90°，M3N3＝N3Q3，如图3， ∵N3(t,0)，∴Q3(－1,0)， ∴|t－3|＝|t－(－1)|，解得t＝1， ∴M3(1，－2)，Q3(－1,0)． ③当△Q4M4N4是以M4N4为斜边的等腰直角三角形时，此时∠M4Q4N4＝90°，M4Q4＝N4Q4，如图4， ∴Q4，∴|t－3|＝2，解得t＝－3或， ∴M4(－3，－6)，Q4(0，－3)；M5，Q5. 综上所述，点M及其对应点Q的坐标为 M1，Q1；M2(－9，－12)，Q2(3，－12)；M3(1，－2)，Q3(－1,0)；M4(－3，－6)，Q4(0，－3)；M5，Q5. 一、平行四边形的存在性问题 1．要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类． 2．三定一动，有三种情况，可借助平移、全等、中点公式等知识确定坐标． 3．两定两动：以定线段作边或对角线，确定分类；常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解． 常见设问：已知A，B，求另外两点C，D与A，B两点构成平行四边形． 分类讨论：当AB为边时，找与AB平行且相等的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标； 当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解． 4．三动点或四动点：往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可． 二、菱形的存在性问题(常为含60°角的菱形) 通常有两大类： 1．已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形． 2．已知两个定点探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形． 3．计算：建立类似平行四边形的存在性问题来解． 三、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题 此类问题的特点往往是2定点2动点，通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标．分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论． 四、正方形的存在性问题 正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标． 7．(2024·十堰模拟)如图1，抛物线L1：y＝x2＋bx－1经过点A(－1，k)，B(5，k)，其顶点为点C，对称轴l交x轴于点D. (1)求b，k的值及点C的坐标； (2)若n≤x≤6时，函数y＝x2＋bx－1的最大值为5，最小值为－3，求n的取值范围； (3)将L1对称轴右侧部分向上平移3个单位长度得到L′1，如图2；L是函数y＝2(x－2)2(x>2)的图象，P是L上的点，其横坐标为m，作PF∥x轴，交L′1于点F. ①若m＝3，求点F的坐标； ②若四边形PODF为平行四边形，直接写出m的值． 解：(1)∵抛物线L1经过点A(－1，k)，B(5，k)， ∴对称轴l为直线x＝2，∴－＝2，∴b＝－2， ∴L1的解析式为y＝x2－2x－1. 将x＝－1代入y＝x2－2x－1， 得＋2－1＝，即k＝. ∵y＝x2－2x－1＝(x－2)2－3， ∴点C的坐标为(2，－3)． (2)令y＝x2－2x－1＝5， 解得x1＝－2，x2＝6， ∴当x＝－2时，y＝5；当x＝6时，y＝5.又当x＝2时，y＝－3， ∴要使y＝x2＋bx－1的最大值为5，最小值为－3， 则－2≤n≤2. (3)①若m＝3，则y＝2(x－2)2＝2. ∵PF∥x轴，∴点F的纵坐标为2. 由题意，知L′1：y＝(x－2)2(x>2)，令2＝(x－2)2，解得x1＝4，x2＝0(舍去)． ∴F(4,2)． ②若四边形PODF为平行四边形，则PF＝OD＝2. ∵点P的横坐标为m，则点F的横坐标为m＋2. 由PF∥x轴，得2(m－2)2＝(m＋2－2)2. 解得m＝4或m＝(舍去)，∴m＝4. 8．(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3,0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称， ∴解得 ∴y＝－x2＋2x＋3. (2)∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵－1≤x≤t时，0≤y≤2t－1， ①当t≤1时，则：当x＝t时，函数有最大值，即2t－1＝－t2＋2t＋3， 解得t＝－2或t＝2，均不符合题意，舍去； ②当t>1时，则当x＝1时，函数有最大值，即2t－1＝－12＋2＋3＝4，解得t＝. 综上，t＝. (3)存在． 当y＝－x2＋2x＋3＝0时，解得x1＝3，x2＝－1，当x＝0时，y＝3，∴A(3,0)，B(0,3)， 设直线AB的解析式为y＝kx＋3，把A(3,0)代入，得k＝－1，∴y＝－x＋3， 设C(m，－m2＋2m＋3)(0<m<3)， 则D(m，－m＋3)， ∴CD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m，BD＝＝m， BC2＝m2＋(－m2＋2m)2， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当BD为边时，则BD＝CD，即－m2＋3m＝m， 解得m＝0(舍去)或m＝3－， 此时菱形的边长为m＝3－2； ②当BD为对角线时，则BC＝CD， 即m2＋(－m2＋2m)2＝(－m2＋3m)2， 解得m＝2或m＝0(舍去)，此时菱形的边长为－22＋3×2＝2. 综上，存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为3－2或2. 与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等； ②等腰三角形的等边对等角； ③相似三角形对应角相等； ④全等三角形对应角相等； ⑤三角形的外角定理等． 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通． 一、相等角的存在性问题 1．利用平行线、等腰三角形构造相等角． 2．利用相似三角形构造相等角． 二、二倍角或半角的存在性问题 1．二倍角的构造方法 如图，已知∠α，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造2α，在BC边上找一点D，使得BD＝AD，则∠ADC＝2α. 　 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数(一般用正切)计算就可以了． 2．半角的构造方法 如图1，已知∠α，构造半角可以用下面两种方法： 方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图2，延长CB至D，使得BD＝BA，则∠D＝α，若AC，BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算． 方法二：如图3，直接作∠α的角平分线BE，若AC，BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值． 9．(2024·广安)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(－1,0)，点B坐标为(3,0)． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD＋PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(－1,0)，点B坐标为(3,0)，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋x＋2. (2)当x＝0时，y＝－x2＋x＋2＝2， ∴C(0,2)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋2，∴3k＋2＝0， 解得k＝－，∴直线BC的解析式为y＝－x＋2， 设P，∴D， ∴2PD＋PE＝2＋x＝－x2＋5x； 当x＝－＝时，有最大值；此时P. (3)如图，以CB为对角线作正方形CTBK， ∴∠BCK＝∠BCT＝45°， ∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M， 如图，过T作x轴的平行线交y轴于点Q，过B作BG⊥TQ于点G，则OB＝GQ＝3， ∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB， ∴∠QCT＋∠CTQ＝90°＝∠CTQ＋∠BTG， ∴∠QCT＝∠BTG， ∵CT＝BT，∴△CQT≌△TGB(AAS)， ∴QT＝GB，CQ＝TG. 设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3－m， ∴QO＝3－m－2＝1－m，∴T(m，m－1)， 由TC＝TB可得m2＋(m－3)2＝(m－3)2＋(m－1)2，解得m＝，∴T， 设直线CT的解析式为y＝nx＋2， ∴n＋2＝－，解得n＝－5， ∴直线CT的解析式为y＝－5x＋2， 联立 解得或∴M， ∵T，C(0,2)，B(3,0)，正方形CTBK，∴K， 同理可得，直线CK的解析式为y＝x＋2， 联立 解得或∴M， 综上，点M的坐标为或. 10．(2024·黄石模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于两点A(－3,0)，B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点P(x0，y0)，其中y0<0，若∠CAO＋∠ABP＝90°，求x0的值； (3)若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE＋2BD的最小值． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)＝a(x2－x－12)，又C(0,4)， ∴－12a＝4，则a＝－，故抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4　①. (2)在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝， ∵∠CAO＋∠ABP＝90°， 则tan∠ABP＝，故设直线BP的解析式为y＝(x－4)　②， 联立①②得－x2＋x＋4＝(x－4)，解得x＝－＝x0(不合题意的值已舍去)． (3)如图，连接BD，BC，CE，作∠EAG＝∠BCD， 设AG＝2BC＝2×4＝8， ∵AE＝2CD，∴△BCD∽△GAE且相似比为1∶2， 则EG＝2BD，故当C，E，G共线时，CE＋2BD＝CE＋EG＝CG为最小， 在△ABC中，设AC边上的高为h， 则S△ABC＝×AC·h＝×AB×CO， 即5h＝4×7，解得h＝， 则sin∠ACB＝＝＝＝sin∠EAG， 则tan∠EAG＝7，过点G作GN⊥x轴于点N， 则NG＝AG·sin∠EAG＝，即点G的纵坐标为－， 同理可得，点G的横坐标为－， 即点G， 由点C，G的坐标得， CG＝＝， 即CE＋2BD的最小值为. $$