第1部分 第4章 微专题2 全等三角形的常见模型（PPT课件）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

教材系统复习 第一部分 第四章　三角形 微专题二　全等三角形的常见模型 模型1　平移型 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 模型2　轴对称型 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 模型3　旋转型 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 模型4　一线三等角型 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 模型5　手拉手模型 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 模型6　对角互补模型 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 制 作 者：《中考复习指南》 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 模型归纳：沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF)．解题关键是加(减)共线部分，得对应边相等；利用平行线性质找对应角相等． [例1] 如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE.求证：∠C＝∠E. 证明：∵B是AD的中点，∴AB＝BD， ∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△BDE中， ∴△ABC≌△BDE(SAS)，∴∠C＝∠E. 1．已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF.若__________，则AB＝CD. 请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由． 解：选择①CE∥DF，∵AE∥BF，CE∥DF， ∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA，∵AE＝BF， ∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴AC＝BD， ∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD. 选择②CE＝DF，无法证明△AEC≌△BFD，无法得出AB＝CD. 选择③∠E＝∠F，∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD， ∵AE＝BF，∠E＝∠F， ∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴AC＝BD， ∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD. 模型归纳：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角或对顶角相等． [例2] (2024·乐山)已知：如图，AB平分∠CAD，AC＝AD.求证：∠C＝∠D. 思维导引：AB是公共边，由AB平分∠CAD可得∠CAB＝ ∠BAD，再结合AC＝AD即可得证． 证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB＝∠DAB， 在△CAB和△DAB中， ∴△CAB≌△DAB(SAS)，∴∠C＝∠D. 2．(2024·岳阳开学考试)如图，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，求证：AE＝AF. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF， ∴在Rt△ADE与Rt△ADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF. 模型归纳：如图所示，此模型可看成是将三角形绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中． 1．共顶点旋转型 2．不共顶点旋转型 [例3] (1)(2024·连云港节选)如图，AB与CD相交于点E，EC＝ED，AC∥BD.求证：△AEC≌△BED. (2)(2024·广州模拟)如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝DF.求证：∠B＝∠C． 证明：(1)∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D. 在△AEC和△BED中， ∴△AEC≌△BED(AAS)． (2)∵AB∥CD，∴∠A＝∠D， ∵AE＝DF， ∴AE＋EF＝DF＋EF，即AF＝DE， ∵AB＝CD， ∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴∠B＝∠C． 3．(2024·云南改编)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求证：BC＝DE. 证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋ ∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS)，∴BC＝DE. 4．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若BE＝10 m，BF＝3 m，求FC的长度． (1)证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)． (2)解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF， ∴BF＋CF＝CE＋CF，∴BF＝EC，∵BE＝10 m，BF＝3 m，∴FC＝10－3－3＝4 m. 模型归纳：已知∠1＝∠2＝∠3. 1．两个三角形在直线同侧，如图1，若AP＝BD，则有结论：△APC≌△BDP. 图1　 　图2 2．两个三角形在直线异侧，如图2，若AP＝BD，则有结论：△APC≌△BDP. 3．特殊情况：三垂直型，已知A，B，C三点共线，如图3，若AB＝CE或AD＝CB或BD＝EB，则有结论：△ABD≌△CEB；如图4，若AF＝CE或AD＝CB或DF＝EB，则有结论：△AFD≌△CEB. 图3　　 图4 [例4] 如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.求证：CE＝AB. 证明：∵DC⊥AC于点C， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＋∠A＝90°，∴∠A＝∠DCE， ∵DE⊥BC于点E， ∴∠E＝90°，∴∠B＝∠E. 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED(AAS)，∴AB＝CE. 5．(2024·宜宾)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°， 又BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE. 6．如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C． (1)求证：∠EAD＝∠EDA； (2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积． (1)证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝ ∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED， 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD(AAS)， ∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA． (2)解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED， ∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4， 如图，过点A作AF⊥ED于F， ∴EF＝ED＝2， ∴AF＝＝＝2， ∴S△AED＝ED·AF＝×4×2＝4. 模型归纳： 双等腰：AB＝AC，AD＝AE. 共顶点：线段AB，AC，AD，AE交于点A． 顶角相等：∠BAC＝∠DAE. 旋转得全等：连接CE，BD，△ADE绕点A旋转得△ABD≌△ACE. [例5] (2024·杭州二模改编)综合与实践 如图1是实验室中的一种机械装置，BC在地面上，所在等腰直角三角形ABC是固定支架，机械臂AD可以绕点A旋转，同时机械臂DM可以绕点D旋转，已知∠BAC＝90°，AD＝6，DM＝2.如图2，把机械臂AD顺时针旋转90°，点D旋转到点E处，连接DE. 　 (1)连接CD，探究BE与CD的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)当∠AEC＝135°，CE＝7时，求BE的长． 解：(1)连接CD， 由旋转可知，AE＝AD，∠DAE＝90°， ∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAD， ∴△BAE≌△CAD(SAS)， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD.∵∠BAC＝90°， ∴∠ABE＋∠CBE＋∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠CBE＋∠ACB＝90°，∴BE⊥CD. (2)∵AD＝6，∠DAE＝90°，AE＝AD， ∴ED＝6，∠AED＝45°.∵∠AEC＝135°， ∴∠CED＝90°.∵ED＝6，CE＝7， ∴CD＝＝11，∴BE＝CD＝11. 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，AE⊥BD于E，∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，求BE的长． 方法一 解：在BD上截取BN＝CD，连接AN. ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠ABN＝∠ACD. 在△ABN和△ACD中， ∴△ABN≌△ACD(SAS)，∴AN＝AD. ∵AE⊥BD，∴∠AEN＝∠AED＝90°. 在Rt△ANE和Rt△ADE中， ∴Rt△ANE≌Rt△ADE(HL)，∴NE＝DE，∴BE＝BN＋NE＝CD＋DE＝2＋3＝5. 方法二 解：过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F. 则∠AFC＝90°.∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠AED＝90°. ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠ACF， ∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴BE＝CF，AE＝AF. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，∴DF＝DE＝3， ∴CF＝CD＋DF＝5，∴BE＝CF＝5. 图形特点：有一组对角互补，且有一组邻边相等．常见四边形对角互补模型：90°的对角互补模型，120°的对角互补模型． 常用辅助线作法： 1．通过旋转构造全等三角形：将△COD绕点C旋转，使CD与CE重合，得到△CFE； 2．过顶点作垂线：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为M，N. [例6] (2024·广州改编)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°.求证：BE＋CF＝BC． 证明：如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，AB＝BC． ∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°， ∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∴∠EDA＝∠FDC． 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF， ∴BE＋CF＝BE＋AE＝AB＝BC． 8．如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD. 证明：∵∠ACF＋∠AED＝180°， ∠ACF＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝∠AED， ∵BC＝DE，∠ACB＝∠AED，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴AB＝AD. $$