第1部分 第3章 第13节 二次函数的实际应用（PPT课件）-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学

教材系统复习 第一部分 第三章　函数 第13节　二次函数的实际应用 返回目录 中考复习指南·数学 教材梳理　基础落实 知识巩固　素养提升 随堂演练　学以致用 精练本　第13节 教材梳理　基础落实 要点　二次函数的实际应用 平面直角坐标系 待定系数法 二次函数的性质 返回目录 中考复习指南·数学 等量 最值 面积 最值 返回目录 中考复习指南·数学 要点1　实物抛物线 知识巩固　素养提升 返回目录 中考复习指南·数学 水平距离x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度y/m 2.25 2.812 5 3 2.812 5 2.25 1.312 5 0 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 要点2　二次函数在销售问题中的应用 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 要点3　二次函数在面积问题中的应用 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 随堂演练　学以致用 ①② 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 返回目录 中考复习指南·数学 制 作 者：《中考复习指南》 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 1．实物抛物线 求解步骤：(1)建立方便求解析式的__________________； (2)利用______________确定抛物线的解析式； (3)利用__________________解决实际问题． 常用类型：桥梁、隧道、体育运动等． 2．二次函数在销售问题中的应用 求解步骤：(1)读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找________关系； (2)确定二次函数的解析式； (3)确定二次函数的________或建立方程，解决实际问题． 3．二次函数在面积问题中的应用 求解步骤：(1)根据几何面积知识探求图形的面积关系式； (2)根据________关系式确定函数解析式； (3)利用二次函数的________或建立方程，解决实际问题． [例1] (九上教材P36T4改编)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管喷水头的设计 高度应为______m. [变式] (10分)某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单位：m)满足的关系式近似为y＝a(x－h)2＋k(a＜0)． 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是____________m； ②求出y与x满足的函数解析式y＝a(x－h)2＋k(a<0)； (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加0.63 m； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝a(x－1.2)2＋3.6. 若要使两种调试的水珠落地点相同(即水柱落地时与池中心的水平距离相等)，求出a的值． 思维导引：(1)①通过观察表格x＝0即可得c的值，即水管的长度．②由表格可知顶点，再找一点，即可求解．(2)调试①相当于二次函数的图象向上平移，即可求解水柱落地点，由调试②：y＝a(x－1.2)2＋3.6过水柱落地点，即可求解a. 解：(1)①2.25； ②分析题意可知h＝1，k＝3. 把(3,0)代入y＝a(x－1)2＋3中， 得a(3－1)2＋3＝0，解得a＝－0.75， ∴y＝－0.75(x－1)2＋3. (2)调试①：y＝－0.75(x－1)2＋3＋0.63＝－0.75(x－1)2＋3.63，由－0.75(x－1)2＋3.63＝0，解得x＝3.2(负值舍去)． 调试②：分析题意可知y＝a(x－1.2)2＋3.6过水柱落地点， ∴把(3.2,0)代入上式， 得0＝a(3.2－1.2)2＋3.6， 解得a＝－0.9. 答：a的值为－0.9. 答题规范：第一问的①是2分，第一问的②是4分，每计算正确一个字母系数得1分，最后写出完整的解析式得1分，共4分；第二问分步给分，第一步先确定调试①的解析式，第二步求出落地点的坐标，第三步分析过落地点，第四步将落地点的坐标代入调试②中的解析式，最后一定要答；每一步1分． [例2] (九上教材P52T8改编)(6分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？ 解：设每个房间的定价为x元，宾馆所得利润为y元， 由题意得180≤x≤680，且x为整数， 则y＝(x－20)×＝－＋70x－1 360＝－(x－350)2＋10 890. ∵－<0，二次函数开口向下，180≤x≤680，且x为整数， ∴当x＝350时，y最大＝10 890(元)． 答：当定价为350元时，宾馆利润最大，最大利润为10 890元． 答题规范：分步给分，第一步先确定对称轴，第二步写出二次函数的性质(开口方向，自变量取值范围，增减性)，第三步确定最值，最后一定要答． [变式1] (10分)近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元(0≤x≤20，且x为整数)，该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9 600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 思维导引：(1)根据房间变化确定y与x之间的函数关系式，利用销售问题中的利润公式确定W与x之间的函数关系式．(2)根据利润可以达到9 600元得到方程即可求解．(3)利用(1)中函数关系式再求最值． 解：(1)由题意得y＝20－x，W＝(500－100＋50x)(20－x)＝ －50x2＋600x＋8 000. (2)由题意得W＝－50x2＋600x＋8 000＝9 600， ∴x2－12x＋32＝0，解得x1＝4，x2＝8， ∵民宿尽最大可能让利游客，∴x＝4， ∴每个房间的定价为500＋4×50＝700(元)． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9 600元． (3)W＝－50x2＋600x＋8 000＝－50(x－6)2＋9 800，∵－50<0，二次函数开口向下，0≤x≤20，且x为整数，∴当x＝6时，W有最大值为9 800元，此时500＋50×6＝800(元)． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9 800元． 答题规范：第一问y与x之间的函数关系式是1分，W与x之间的函数关系式是2分；第二问分步给分，第一步先构造方程，第二步解方程，第三步检验是否符合题意及实际问题，最后一定要答； 第三问分步给分，第一步先确定对称轴，第二步写出二次函数的性质(开口方向，自变量取值范围，增减性)，第三步确定最值，最后一定要答． [变式2] 在变式1的条件不变的情况下： (1)民宿每天获得的利润不得低于8 000元，求民宿每天游客居住的房间数量y的最小值； (2)当地民政部门规定，若该民宿每天每个出租房间的定价不低于500且不超过700元时，该民宿每天每个出租房间国家就补贴a元(a>50)，通过出租房间记录发现，该民宿每天获得的利润随每个房间每天的定价的增大而增大，求a的取值范围． 解：(1)由题意设W＝8 000，即－50x2＋600x＋8 000＝8 000，解得x1＝0，x2＝12， ∵民宿每天获得的利润不得低于8 000元， ∴根据W＝－50x2＋600x＋8 000的图象与性质知0≤x≤12.由(1)得y＝－x＋20，k＝－1<0，此时y随x的增大而减小． 又0≤x≤12，∴当x＝12时，y有最小值8. (2)由题意得y＝20－x， W＝(500－100＋50x＋a)(20－x)＝－50x2＋(600－a)x＋8 000＋20a，∴对称轴为x＝.∵该民宿每天每个出租房间的定价不低于500且不超过700元， ∴600≤500＋50x≤700，即2≤x≤4. 又∵－50<0，二次函数开口向下，民宿每天获得的利润随每个房间每天的定价的增大而增大，对称轴为x＝，∴≥4，即a≤200.又∵a>50，∴50<a≤200. 二次函数在销售问题中的应用，常考查以下四个方面： (1)列函数解析式(包括分段函数)； (2)确定函数最值的两种方法：利用顶点求最值，利用增减性求最值； (3)考查二次函数与方程、不等式的联系； (4)利用对称轴左右增减性的不同求参数值等． [例3] (九上教材P49探究1)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长为 m. 由于l＞0，且30－l＞0，所以0＜l＜30. 场地的面积S＝l(30－l)， 即S＝－l2＋30l(0＜l＜30)． 因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225. 答：当l是15 m时，场地的面积S最大． [变式] 如图，用总长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园． (1)当墙长32 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积S最大，最大面积是多少？ (2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积S最大，最大面积是多少？ 思维导引：(1)利用面积公式列函数解析式再利用顶点求最值．(2)利用面积公式列函数解析式再利用增减性求最值． 解：(1)设垂直于墙的边长为x m， 则平行于墙的边长为(60－2x)m， ∴矩形菜园的面积 S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. ∵S＝－2x2＋60x＝－2(x2－30x) ＝－2(x－15)2＋450， ∵－2＜0，二次函数开口向下，14≤x＜30， ∴当x＝15 m时，S取最大值，此时S＝450 m2. (2)设垂直于墙的边长为x m， 由(1)知S＝－2x2＋60x＝－2(x2－30x)＝－2(x－15)2＋450. 由题意得0＜60－2x≤18，即21≤x＜30. ∵－2＜0，二次函数开口向下， 当21≤x＜30时，在对称轴右侧，此时S随x的增大而减小， ∴当x＝21时，S取得最大值，此时S＝－2×(21－15)2＋450＝378(m2)． 下列说法正确的是__________(填序号)． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度 为3.5 m； ②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m. 1．如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数解析式是y＝－eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq \f(7,2). (1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到 点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙 包，求符合条件的n的整数值． 2．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长．嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分． 解：(1)∵抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2，∴C1的最高点坐标为(3,2)，∵点A(6,1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上，∴1＝a(6－3)2＋2， ∴a＝－，∴抛物线C1：y＝－(x－3)2＋2， 当x＝0时，c＝1. (2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围是(5,1)～(7,1)，当经过(5,1)时，1＝－×25＋×5＋1＋1，解得n＝；当经过(7,1)时，1＝－×49＋×7＋1＋1，解得n＝，∴≤n≤.∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5. 3．(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 解：(1)由题意，得2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80. 由0<－2x＋80≤42，且x>0，∴19≤x<40. 由题意，得S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x. (2)由题意，令S＝－2x2＋80x＝750， 解得x＝15(舍去)或x＝25. 答：当x＝25时，围成的矩形实验田的面积S能达到750 m2. (3)S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800， 又∵－2<0，且19≤x<40，∴当x＝20时，S取最大值为800. 答：当x＝20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800 m2. 4．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数解析式p＝销量q(千克)与x的函数解析式为q＝x＋10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元． (1)m＝____________，n＝____________； (2)求第x天的销售额W元与x之间的函数解析式； (3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？ 解：(1)－2,60. (2)当1≤x<20时，W＝pq＝(－2x＋60)·(x＋10)＝－2x2＋40x＋600；当20≤x≤30时， W＝pq＝30(x＋10)＝30x＋300. ∴W＝ (3)在W＝－2x2＋40x＋600中， 令W＝1 000得－2x2＋40x＋600＝1 000， 整理得x2－20x＋200＝0，方程无实数解； 由30x＋300>1 000，得x>23，∵x为整数， ∴x可取24,25,26,27,28,29,30， ∴销售额超过1 000元的共有7天． 5．某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表所示. 时间：第x天 (1≤x≤60，x为整数) 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价(元/件) 0.5x＋35 50 日销售量(件) 124－2x 设该商品的日销售利润为w元． (1)直接写出w与x的函数解析式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 解：(1)w＝ (2)当1≤x≤30时， w＝－x2＋52x＋620＝－(x－26)2＋1 296. ∵－1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1 296； 当31≤x≤60时，w＝－40x＋2 480， ∵－40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为－40×31＋2 480＝1 240， ∵1 296＞1 240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是 1 296元． $$