专题01 二次根式（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版）

专题01 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 利用二次根式的性质化简 题型三 复合二次根式的化简 题型四 二次根式的混合运算 题型五 分母有理化 题型六 已知字母的值，化简求值 题型七 已知条件式，化简求值 题型八 比较二次根式的大小 题型九 二次根式的实际应用 题型十 与二次根式有关的新定义问题 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 题型一 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知，是的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求的面积． 【答案】(1)6 (2)6或7.5 【分析】本题考查了二次根式的性质，解一元一次不等式组，勾股定理，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数非负求出，则，即可求出，那么即可求解算术平方根； （2）当5为斜边长，3为直角边长时，由勾股定理求另一直角边，即可求解面积；当3和5都是直角边长时，直接求解面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 所以其算术平方根为； （2）解：当5为斜边长，3为直角边长时，另一直角边为， ∴面积为； 当3和5都是直角边长时，面积为， ∴的面积为6或7.5． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的答案不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解； （2）根据绝对值的非负性和二次根式的性质将化简即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）小明的答案不正确，理由如下： ， ， ， ， ， 小明的答案不正确． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）50 【分析】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，二次根式有意义的条件，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方 （1）根据配方法进行配方即可求得答案； （2）根据配方法进行配方，得到即可求解； （3）根据，得到，设，得到面积关于x的表达式，再对表达式进行配方，即可求得最大值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：1； （2） ∵， ∴， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ∴ ， 设，则, ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积最大值为50． 题型二 利用二次根式的性质化简 4．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解： ； （7）解：． 5．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)b． 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质． （1）由数轴可得：，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，； （2）解：由（1）可得，，，， ∴． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可． 【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长， ∴，即， ∴原式． 题型三 复合二次根式的化简 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 8．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 9．（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 题型四 二次根式的混合运算 10．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用二次根式的乘法和性质进行计算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再计算加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行平方差公式的计算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 13．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型五 分母有理化 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化． （1）根据平方差公式进行分母有理化可以解答本题； （2）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化的方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解： ； （3）解：∵， ∴ 16．（24-25八年级下·浙江·期中）阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ， (2)观察下面的变形规律并解决问题： ①，，，……若为正整数，请你猜想： ， ②计算： 【答案】(1)， (2)① ；② 2025 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式规律探究，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解； （2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答； ②根据①中总结的一般规律，先将第一个括号化简，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据互为有理化因式的定义可知，与互为有理化因式； ， 故答案为：；． （2）解：① ； ② ． 题型六 已知字母的值，化简求值 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 18．（22-23九年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 20．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得； （2）先根据无理数的估算分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 题型七 已知条件式，化简求值 21．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 23．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， （1）将和的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可； （2）先将转化为，然后和的值代入计算即可； 掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴ ． 题型八 比较二次根式的大小 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)18， 10 (2)①直角三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：18，10； （2）①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 27．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 28．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 题型九 二次根式的实际应用 29．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 30．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度． 【答案】 【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，得到是的垂直平分线；设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；过作交于点，先证明是等腰直角三角形，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；最后利用即可得出答案． 【详解】解：等腰中，，， ，， 点恰好落在的中点处， ， ， 由折叠的性质可得，，， 是的垂直平分线， ，， ； 设，则， 在中，，即， 解得：， ； 如图，过作交于点，则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ； ． 折痕的长度为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理、二次根式的计算，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 31．（24-25八年级上·山西晋中·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 【答案】电流I的值为4A 【分析】本题考查代入求值，以及二次根式的运算，解题的关键是根据已知量代入公式求解．先把公式变形为，然后代入已知量求出结果，即可解题． 【详解】解：， ， 将，，代入，得， 因为，所以． 答：电流I的值为4A． 32．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 33．（2024八年级上·湖南·专题练习）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 题型十 与二次根式有关的新定义问题 34．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于12的共轭二次根式， ， ． 35．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 36．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）14 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵10是“完美数” ∴； 故答案为：； （2） 要使S为“完美数”， 则，即． （3）∵， ∴ ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的值最大，为. （5）， ∴， ，，， ，，， ． 37．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 38．（24-25九年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【详解】（1）解： ； ． 的有理化因式是；后分母有理化的结果为． （2）， ． ， ． （3） ． 39．（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 40．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，有最小值，为8 (3)当时，有最小值，为4 (4)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式，分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）将原式变形为，可利用公式计算的形式，计算即可； （4）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为 2 ； （2）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为8 ． （3）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （4）解：设， ∵与同高，与同高， ， 由题知， ， ， ， ， ， ∴四边形面积的最小值为 25 ， 故答案为：25 ． 41．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (2)4，3 (3)的最小值为，的最大值为 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用完全平方公式变形求值，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，则矩形的宽为米，那么得到，再运用“均值不等式”求解； （2）将变形为，再运用“均值不等式”求解； （3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可． 【详解】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴最小值为3， 故答案为：4，3； （3）解：， 当时，， ∵， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最大值为； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最小值为； 当时，，可知， 综上：的最小值为，的最大值为． 42．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】第一步：见解析；第二步：见解析；（1）见解析；（2）的费马距离为 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． $$专题01 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 利用二次根式的性质化简 题型三 复合二次根式的化简 题型四 二次根式的混合运算 题型五 分母有理化 题型六 已知字母的值，化简求值 题型七 已知条件式，化简求值 题型八 比较二次根式的大小 题型九 二次根式的实际应用 题型十 与二次根式有关的新定义问题 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 题型一 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知，是的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求的面积． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，则四边形的面积S，S的最大值是 ．（提示：） 题型二 利用二次根式的性质化简 4．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 5．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 题型三 复合二次根式的化简 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 8．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 9．（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 题型四 二次根式的混合运算 10．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 13．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 题型五 分母有理化 14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 15．（24-25八年级下·浙江金华·期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，， ，即， ， ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 16．（24-25八年级下·浙江·期中）阅读材料：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ， (2)观察下面的变形规律并解决问题： ①，，，……若为正整数，请你猜想： ， ②计算： 题型六 已知字母的值，化简求值 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 18．（22-23九年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中：． 19．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 20．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 题型七 已知条件式，化简求值 21．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 22．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 23．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 题型八 比较二次根式的大小 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 27．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 28．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 题型九 二次根式的实际应用 29．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 30．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度． 31．（24-25八年级上·山西晋中·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 32．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 33．（2024八年级上·湖南·专题练习）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 题型十 与二次根式有关的新定义问题 34．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 35．（2025八年级下·浙江·专题练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下： ，例如，求的值． 36．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 37．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 38．（24-25九年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 39．（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 40．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 41．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 42．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． $$