第6章 立体几何（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

第6章立体几何章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·期中）设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 5．（24-25高一下·天津·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 6．（24-25高一下·天津·期中）已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 7．（24-25高一下·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·吉林通化·阶段练习）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，点是线段的中点，则（   ） A．直线与直线是异面直线 B．直线平面 C．直线直线 D．二面角的大小为 10．（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 11．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·云南·期中）某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为 . 13．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为 . 14．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 18．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高一下·浙江·期中）《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章立体几何章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积. 【详解】若轴，轴在直观图中的位置如图所示， 过作轴交轴于， 因为的边长为， 所以的高为， 因为，所以， 所以对应的高，底， 所以的面积. 故选：B. 2．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合底面直角三角形的外接圆的半径，以及直棱柱的结构特征，得到外接球的半径，满足，再由球的体积公式，即可求解. 【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津·期中）设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用线面平行的性质定理可判断③，利用面面垂直的性质定理可判断④. 【详解】对于①，由于，，所以或或且， 则有或或且，故①正确； 对于②，由于，只有一条线线垂直，不能确定或，故②错误； 对于③，由，则在内必存在直线，且 又由，则在内必存在直线，且，根据平行的传递性有， 由于，，则，又因为， 所以，又因为，所以，故③正确； 对于④， 由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 同理由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 因为，由图可知相交，且，所以有，故④正确； 故选：D. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，三点确定一个平面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的定义，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示： 根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以平面， 又，所以平面， 又平面，所以点在平面与平面的交线上面， 同理可得点在平面与平面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线定义可知C选项中为异面直线，故C选项错误； 由异面直线定义可知D选项中为异面直线，故D选项错误. 故选：A 5．（24-25高一下·天津·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【答案】D 【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再利用三棱柱体积公式和四棱锥体积公式即可得解． 【详解】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体的体积为 故选：D. 6．（24-25高一下·天津·期中）已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】通过折至面面垂直，再利用线线平行去转化异面直线所成角的平面角，再进行求解； 【详解】 取中点为，因为为中点，所以， 即为异面直线和所成角或其补角， 设到平面的距离为，则， 因为当平面平面时，取得最大值， 所以当平面平面时，以四点为顶点的三棱锥体积最大， 又因为正方形边长为，所以，，且， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，即， 故异面直线和所成角的正切值为， 故选：A. 7．（24-25高一下·浙江温州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 8．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值． 【详解】过点分别作交于点，交于点，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·吉林通化·阶段练习）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，点是线段的中点，则（   ） A．直线与直线是异面直线 B．直线平面 C．直线直线 D．二面角的大小为 【答案】ACD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故直线和相交，又平面，故直线与直线是异面直线，A正确；B选项，平面，故直线与平面不平行；C选项，作出辅助线，得到所以⊥平面，得到直线直线；D选项，由面面垂直得到线面垂直，得到故为二面角的平面角，其中，D正确. 【详解】A选项，连接 ，点为正方形的中心， 故三点共线，且为中点， 又点是线段的中点，则， 故直线和相交，又平面， 故直线与直线是异面直线，A正确； B选项，由于平面，故直线与平面不平行，B错误； C选项，取的中点，连接，则，⊥， 因为为等边三角形，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以直线直线，C正确； D选项，因为平面平面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故为二面角的平面角，其中， 故二面角的大小为，D正确 故选：ACD 10．（24-25高一下·广东广州·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】提出假设证明得出矛盾可判断A错误，根据异面直线性质可得B正确，作出异面直线的平面角可得C正确，由正方体棱长计算利用梯形面积公式计算可得D正确. 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知， 若直线与是平行直线，则可得，显然这与相交于点矛盾，故错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，如下图：    可得 为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为.故C正确. 对于D，连接，易知 ，，所以为等腰梯形， 因为棱长为2，可得， 即等腰梯形的高为，因此，即D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【分析】对于A，正三角形，其内切圆半径可根据边长通过特定关系求得；对于B，圆柱的侧面积、体积有相应的计算公式；对于C，组合体的表面积是正三棱柱表面积减去两个圆面积再加上圆柱侧面积，对于D，体积是正三棱柱体积减去圆柱体积.分别计算各选项中涉及的量，然后判断选项的正确性. 【详解】对于A，已知正三棱柱的侧面为边长为的正方形，则正三棱柱底面正三角形的边长. 设正三角形内切圆半径为，根据正三角形内切圆半径公式， 把代入，得，所以A选项错误.   对于B，由A可知圆柱底面半径，正三棱柱的高（即圆柱的高）. 根据圆柱侧面积公式（其中为底面半径，为高）. 把，代入公式，得，所以B选项正确.   对于C，先求正三棱柱两个底面正三角形的面积，把代入得. 正三棱柱三个侧面的面积，两个内切圆的面积，圆柱侧面积（已在B中求出）. 则该几何体的表面积，所以C选项错误.   对于D，正三棱柱的体积，把，代入得. 圆柱的体积，把，代入得. 该几何体的体积，所以D选项正确.   故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·云南·期中）某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为 . 【答案】 【分析】由已知可得圆台上、下底面的半径，结合几何体特征，可求得圆台的高，再利用圆台的体积公式即可求解. 【详解】 如图所示. ∵圆台的上、下底面面积分别为，，∴圆台的上底面半径    ，下底面半径， 过点作于点，∴，. ∵圆台母线长为4，∴. ∴圆台得高， ∴圆台的体积. 故答案为：. 13．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且.延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为 . 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，求出正方体的体积、台体体积，得到剩余部分的体积，即可求出答案. 【详解】连接，设正方体的棱长为，则正方体的体积， 由，得∥，又∥，所以∥. 而的延长线交于，所以为三棱台， ，,所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为 . 【答案】 【分析】取BC的中点E，的中点F，先利用面面平行判定定理证明平面平面，得出四边形为截正方体所得截面图形，易得四边形是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 又， 所求截面的面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一下·重庆万州·期中）如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可得计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积求解； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【详解】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可得出结论； （2）作出异面直线与所成角的平面角，即可求得其余弦值. 【详解】（1）证明：连接，如下图所示： 点是的中点，所以点是对角线的交点， 所以是的中点，是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1），连接，如上图： 则或其补角即为异面直线与所成的角 由于平面平面，，，又 得， 所以， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为． 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 【答案】(1)该正三棱柱的表面积为， (2)最小值为， 【分析】（1）根据表面积、体积公式计算可得； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解，再利用相似三角形的性质求出的长度. 【详解】（1）因为正三棱柱的高为，， 所以， ， 所以该正三棱柱的表面积为， 所以； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为， 此时因为，所以，所以，即，解得． 18．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)存在，且 【分析】（1）①连接交于点，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； ②分析可知，异面直线与所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理可求得结果； （2）由线面平行的性质可得出，由此得出，即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 在三棱柱中，，，所以，四边形为平行四边形， 因为，所以为的中点， 又因为为的中点，所以，且， 因为平面，平面，故平面； 在直三棱柱中，平面，平面，所以， 所以，， 同理可得，， 所以，，， 因为，所以，异面直线与所成角为或其补角， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）如下图所示： 因为，，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，因此. 所以，线段上存在一点，使得平面，且． 19．（24-25高一下·浙江·期中）《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. (1)在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； (2)若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积.    【答案】(1)作图见解析，2； (2)①；② 【分析】（1）首先根据题意画出阳马和鳖臑，，再计算其体积比即可. （2）①根据即可得到三棱锥的高；②根据计算得到三棱锥外接球的半径为，再求外接球表面积即可. 【详解】（1）如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥， 设，，，则，， 于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2. （2）①，， 等腰的面积， 设三棱锥的高为，由，得， 解得，所以三棱锥的高为. ②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为，则 所以三棱锥外接球的体积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$