第5章 复数章末题型汇总（15大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

第5章复数章末题型汇总 题型一 复数的概念 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）. 【详解】因为复数 的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数 的实部为，虚部为， 复数 的虚部是实数，（2）错误； 因为复数 在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 2．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【分析】根据复数的概念求解. 【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 3．（23-24高一下·吉林通化·期中）（多选）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·四川达州·期中）（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 5．（2024高一·全国·专题练习）（多选）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C. 【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误； 对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确； 对于C，的平方根为，C错误； 对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确. 故选：BD 题型二 复数的实部与虚部 1．（24-25高一下·天津·期中）已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 2．（23-24高一下·重庆·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接计算虚部即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知为虚数单位，复数，则的虚部是 . 【答案】4 【分析】根据复数的概念即可判断. 【详解】因为复数，根据复数的概念，可知其虚部为4. 故答案为：4. 4．（24-25高一下·广东·期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为 . 【答案】 【分析】设，利用复数相等可得，求解即可. 【详解】设，因为，所以， 可得，解得为，则的虚部为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式可求数a的取值范围. 【详解】由复数z的虚部大于0，得 ，解得 故答案为： 题型三 复数相等 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 2．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 3．（22-23高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 【答案】0 【分析】 利用复数相等列方程组求解. 【详解】因为，则， 故答案为：0. 4．（22-23高一下·贵州贵阳·期中）已知，，，则 . 【答案】 【分析】利用复数相等求出实数a，b，再利用复数模的定义计算作答. 【详解】依题意，化为：，而，则，解得， 所以. 故答案为： 5．（21-22高一下·新疆伊犁·期末）已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值． 【答案】 【分析】由复数相等可知实部与虚部分别相等，由此构造方程组求得结果. 【详解】因为， 所以，解得：. 题型四 复数的类型求参数 1．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 【答案】A 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由是纯虚数，得，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·四川·期中）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或3 D．1或 【答案】A 【分析】根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为是纯虚数且为实数， 所以，解得. 故选：A 3．（24-25高一下·河南洛阳·期中）若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念有，求解即可得. 【详解】由题设，可得. 故选：D 4．（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【答案】3 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 5．（23-24高一下·天津滨海新·期中）取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）对于复数（），当时，为实数，构造方程计算； （2）对于复数（），当时，为虚数，构造方程计算； （3）对于复数（），当且时，为纯虚数，构造方程计算. 【详解】（1）当复数为实数时，其虚部等于零，即. 可得或，即或. 所以，当或时，复数为实数. （2）当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且. 所以，当且时，复数为虚数. （3）当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即. 解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且. 综合以上两个条件，舍去，所以. 所以，当时，复数为纯虚数. 题型五 复数的坐标表示 1．（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由复平面内几何表示及其模长的计算可得. 【详解】由题意可得实部为，虚部为1，所以. 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用复数的旋转性质建立方程，求解参数后得到新复数，再求模即可. 【详解】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 3．（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 【答案】/ 【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数. 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数几何意义得，再利用复数的虚部概念即可得到答案. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以，则其虚部为. 故答案为： 5．（24-25高一下·全国·课后作业）若复数，分别对应复平面内的点，，则向量对应的复数是 ，其共轭复数为 . 【答案】 / / 【分析】根据复数的几何意义计算可得. 【详解】因为，分别对应复平面内的点，， 所以，，则， 所以对应的复数为，其共轭复数为. 故答案为：； 题型六 坐标轴上的复数 1．（20-21高二上·上海徐汇·期末）以下命题中，正确的是（    ） A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D 【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答. 【详解】A：，当时,不是纯虚数，故A错误； B：如果a＋bi＝c＋di，当且仅当a、b、c、d∈R时，a＝c，b＝d，故B错误； C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误； D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确. 故选：D. 2．（22-23高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 3．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）求实数的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于： (1)虚轴上； (2)第四象限. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由求m，代入验证，即可得结果. （2）由求出m的范围即可. 【详解】（1）由题设，，可得或， 当时，对应点在虚轴上； 当时，对应点在虚轴上； 综上，或. （2）由题设，可得. 5．（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件． (1)位于虚轴上； (2)位于第二象限； (3)位于直线上． 【答案】(1)或. (2). (3)或. 【分析】（1）根据实部为0可求实数m的值. （2）根据实部为负，虚部为正可求实数m的取值范围. （3）根据复数对应的点在直线上可求实数m的值. 【详解】（1）因为表示复数的点在虚轴上，故， 故或. （2）因为表示复数的点位于第二象限，故， 故. （3）因为表示复数的点位于位于直线上， 故即 故或. 题型七 共轭复数 1．（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：A. 2．（23-24高一下·吉林通化·期中）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的模长公式，复数的除法化简复数，求出复数，结合共轭复数以及复数的定义可得结果. 【详解】因为，则， 所以，故的共轭复数为，其虚部为. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）（多选）关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若复数，则 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，根据共轭复数的定义判断BD，根据复数的模及代数形式的乘法运算判断C. 【详解】对于A：令，则，，显然不满足，故A错误； 对于B：设，则，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：设，则，， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，则，故D正确. 故选：BCD 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D． 【答案】AC 【分析】由已知根据除法运算可得，根据复数模的运算可判断；根据共轭复数和虚部的概念可判断；由复数的四则运算可判断；由虚数不能比较大小可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以，所以的虚部为，故错误； ，故正确； 因为虚数不能比较大小，故错误. 故选：. 5．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）i是虚数单位，若复数z满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 题型八 复数的模 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对化简后，再利用模的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2．（24-25高一下·湖南湘潭·期中）已知复数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法运算、模长公式即可求解. 【详解】，得， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·广东湛江·期中）若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·湖北·期中）若复数满足，其中为虚数单位.则（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等式进行化简，通过复数的商的运算法则计算求得的表达式，进而可求. 【详解】由，可得， 所以， 则. 故选：C. 5．（24-25高一下·山东淄博·期中）复数的模是 . 【答案】 【分析】由复数的除法运算及模长的计算方法求解即可. 【详解】， 所以 故， 故答案为：. 题型九 复数与向量 1．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知，是复数，则以下结论正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则向量和重合 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据复数的定义判断；B选项，根据复数的模判断；C选项，根据复数的几何意义判断；D选项，根据共轭复数的定义判断. 【详解】A中，只能说明，故A错； B中，，说明，即，故B正确； C中，，说明，但与方向不一定相同，故C错； D中，，则，故，D正确． 故选：BD． 2．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设 ，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知O为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为．若与共线，则a的值为 . 【答案】 【分析】先得到，对应的坐标，然后根据与共线求解. 【详解】因为对应的复数为，对应的复数为， 所以，． 因为与共线， 所以存在实数k使，即， 所以，解得，即a的值为， 故答案为： 4．（22-23高一下·北京丰台·期末）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则 . 【答案】 【分析】求出两向量的坐标，然后由，可得，可求出的值. 【详解】因为向量对应的复数是，向量对应的复数是， 所以，， 因为，所以，得， 故答案为： 5．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若三点共线，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可； （2）根据求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 由于复数是纯虚数，则，解得； （2）由（1）可得，，则点，，点 所以，　　　　 因三点共线，所以，所以， 所以 题型十 复数与几何图形 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点距离的最大值，数形结合即可求解． 【详解】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 2．（24-25高一下·山西·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 【答案】ACD 【分析】由题意可得，可求得的虚部和，可判断ABC；利用模的几何意义可判断D. 【详解】由题意得的虚部为，故AC正确，B错误； 由复数满足， 所以点的集合是以原点为圆心，分别以1和5为半径的两个圆所夹的圆环，故D正确． 故选：ACD. 3．（24-25高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若.则的模为7 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义运算判断BD． 【详解】对于A，设，由，则，故A错误； 对于B，由点的坐标为，则，， 所以复数对应的点为，对应的点在第三象限，故B正确； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，设，由，则， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD. 4．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）复数满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 5．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数，复数满足在复平面内对应的点的集合为图形，则图形的面积为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在复平面内对应的点的集合是以点为圆心，5为半径的圆，图形的面积为. 故答案为： 题型十一 复数的四则运算 1．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义及其运算，模长的求法依次判断各项的正误. 【详解】A：若，，则，故，对； B：若，则，故，错； C：若，，，则，， 所以，， 所以，对； D：同C分析，， ， 所以，对. 故选：ACD 3．（24-25高一下·辽宁丹东·阶段练习）（多选）已知复数，满足，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 【答案】AC 【分析】由条件求出，即可判断AB，计算即可判断C，计算即可判断D. 【详解】由题意得，解得，故A正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B错误； 因为，所以的虚部为，故C正确； 因为，所以的共轭复数为，故D错误. 故选：AC. 4．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值. （2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答. 【详解】（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数， ， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 5．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值； （2）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （3）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且，解得； （2）因为，， 所以，又是实数， ，即，则， 所以； （3）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 题型十二 复数运算的相关辨析 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题分别求出，比较大小即可. 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 2．（24-25高一下·广西·期中）（多选）已知，是复数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数相等的定义，以及复数模的计算公式，可得判定A正确；根据特例法，可判定B、C、D均错误，即可得到答案. 【详解】对于A中，设复数， 若，即，可得，即且， 由，所以，所以A正确； 对于B中，若，此时， 但复数和不能比较大小，所以B错误； 对于C中，如，可得，此时，所以C错误； 对于D中，若，可得，此时满足， 但且，所以D错误. 故选：BCD. 3．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（多选）若是复数，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】BCD 【分析】根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD. 【详解】A：设，由， 得，故A正确； B：当时，满足，但，故B错误； C：当时，满足， 但，故C错误； D：当时，满足，但，故D错误． 故选：BCD． 4．（24-25高一下·广东·期中）（多选）设，，均为复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若复数，则 B．若，则的最大值为2 C．若，则 D．若，则为纯虚数 【答案】AB 【分析】利用待定系数法，设，，则，根据复数的乘法运算化简，即可根据复数模长公式求解A，根据复数的几何意义将问题转化为单位圆上的点与两点间的距离，即可判断B；举反例即可求解CD. 【详解】对于A，设（，），（）， 由，则， 所以 ， ， 所以，A正确； 对于B, 由，得复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而的几何意义为复数对应的点与两点间的距离， 所以当点运动到时，最大，取最大值，最大值为2，B正确； 对于C,若，，，但，，C错误； 对于D，若，满足，当不是纯虚数，故D错误. 故选：AB． 5．（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）已知两个复数，满足，且，则下面说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据复数的除法运算计算判断A，B，再应用模长计算判断C，D. 【详解】因为，且，则， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：CD. 题型十三 复数方程问题 1．（23-24高一下·广东惠州·期中）方程有一个根为，求实数 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理求解. 【详解】依题意，方程的两个根为，， 所以. 故答案为：5 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，其中是虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根的特征，结合韦达定理定理求解. 【详解】由是关于x的方程的一个根，得该方程的另一根为， 于是，解得， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据虚根成对原理可知也是方程的根，利用韦达定理计算出、，即可得解； （2）由（1）可得，利用复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】（1）因为是关于的方程的一个根， 所以这个方程的另一个根是， 由韦达定理可知：，解得，所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数四则运算即可求解； （2）先求出，然后由平方差公式即可求解. 【详解】（1） ， （2）解法一：因为复数是方程的一个根， 则复数是方程的另一个根， 由韦达定理得，解得.   则， ； 解法二：因为复数是方程的一个根， 所以有，整理得， 所以，解得.    则 . 5．（浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一下学期5月期中联考数学试题）已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数. (1)求复数z； (2)若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由复数除法运算先化简，再由纯虚数定义即可求解； （2）先由（1）求出复数，法一：由题意将复数代入方程即可求解参数；法二：由复数根与系数关系得到方程的另一根，再由韦达定理即可求参数. 【详解】（1）因为， 所以， 又由是纯虚数，可得，解得，所以． （2）法一：因为是方程的根， 所以，即， 可得解得． 法二：是方程的根， 所以另一根为 由韦达定理可得：． 题型十四 复数的因式分解 1．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【分析】解方程，求出或，从而判断四个选项的正误即可. 【详解】由， 得或， 即或， 解得或，显然A错误，C正确； 各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确， 故选：BCD． 2．（22-23高一下·江西吉安·期末）在复数范围内分解因式的结果为 ． 【答案】 【分析】利用提公因式法及公式法分解因式作答. 【详解】依题意， 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课后作业）在复数范围内因式分解： ． 【答案】或 【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解. 【详解】因为， 所以 ①， ②， 故答案为：或. 4．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【答案】 【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可. 【详解】令， ，所以， 即. 故答案为: . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【详解】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 题型十五 复数的三角形式与运算 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 3．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）（多选）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 4．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设中的欧拉公式可求. （2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集. 【详解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. （2）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. 【详解】（1），所以， 对应的点在第一象限，所以， 所以． （2），所以， 对应的点在第四象限，所以，所以． 1．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为， 所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根， 不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根： ， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 2．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②存在，. 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，. （2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、， （）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）（ⅰ）设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， （ⅰi）设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以. 3．（24-25高一下·浙江·期中）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可； （2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则. 由，整理得，则； （2）①令（，且），因为，所以. ， 因为，所以. 因为，当时，. ②当时 令（且，，）， 则 ， 要使的恒成立，所以，即， 所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)， 所以. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，. (1)若.求； (2)证明：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将两方程联立求得，再求其模长，即得； （2）设，，求得和，取平方作差后利用基本不等式，即可证明，同理证明，即可证明原命题； （3）将所求式进行配方，并理解为三个复数的模之和，依次运用（2）的结论进行转化化简，直至求得其最小值，并注意等号成立的条件. 【详解】（1），由，可得，即得 由，可得，即得， 所以，，故. （2）设， 则， 因为， 又因为， 所以 当且仅当时等号成立， 所以 用换，同理可得：， 故. （3）因为 ， 当且仅当时等号成立， 或时，原式的最小值为. 5．（24-25高一下·北京·期中），其中，．称为非零复数的三角形式． (1)已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和． (2)已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． (3)已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【分析】（1）根据题意，求出对应的点，再用两点间的距离公式求解即可； （2）根据两点间的距离公式推导出四边形的所有边与所有对角线的平方和 ，由此可求最大值； （3）同（2）可得边形的所有边与所有对角线的平方和 ，据此可求最大值. 【详解】（1）因为，其中. 当时，，对应点， 当时，，对应点， 当时，，对应点. 因为两点和的距离平方为，故 的距离为， 的距离为， 的距离为， 所以三条边的平方和：. （2）因为，所以复数对应的所有点都在单位圆上，所以 ， 所以两点和的距离平方为： ， 所有点对的平方和为： ， 因为 ， ， 所以 . 因为 ，所以， 所以 ， 即 ， 所以 ， 当四个点在单位圆上均匀分布（如正方形顶点），， 此时达到最大值：； （3）类似（2），所有点对的平方和为： . 利用向量和的性质： ， 所以 ， 当个点均匀分布（正边形），，此时达到最大值， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章复数章末题型汇总 题型一 复数的概念 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 3．（23-24高一下·吉林通化·期中）（多选）下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 4．（23-24高一下·四川达州·期中）（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 5．（2024高一·全国·专题练习）（多选）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 题型二 复数的实部与虚部 1．（24-25高一下·天津·期中）已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 2．（23-24高一下·重庆·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知为虚数单位，复数，则的虚部是 . 4．（24-25高一下·广东·期中）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为 . 5．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 题型三 复数相等 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 3．（22-23高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 4．（22-23高一下·贵州贵阳·期中）已知，，，则 . 5．（21-22高一下·新疆伊犁·期末）已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值． 题型四 复数的类型求参数 1．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D．0或3 2．（24-25高一下·四川·期中）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或3 D．1或 3．（24-25高一下·河南洛阳·期中）若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 4．（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 5．（23-24高一下·天津滨海新·期中）取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 题型五 复数的坐标表示 1．（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A．3 B． C． D．5 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 3．（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 . 4．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为 . 5．（24-25高一下·全国·课后作业）若复数，分别对应复平面内的点，，则向量对应的复数是 ，其共轭复数为 . 题型六 坐标轴上的复数 1．（20-21高二上·上海徐汇·期末）以下命题中，正确的是（    ） A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 2．（22-23高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 3．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）求实数的值或取值范围，使得复数在复平面上所对应的点分别位于： (1)虚轴上； (2)第四象限. 5．（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件． (1)位于虚轴上； (2)位于第二象限； (3)位于直线上． 题型七 共轭复数 1．（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知复数，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林通化·期中）已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）（多选）关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若复数，则 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D． 5．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）i是虚数单位，若复数z满足，则 . 题型八 复数的模 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知 ，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南湘潭·期中）已知复数，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高一下·广东湛江·期中）若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·期中）若复数满足，其中为虚数单位.则（    ） A．10 B．5 C． D． 5．（24-25高一下·山东淄博·期中）复数的模是 . 题型九 复数与向量 1．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知，是复数，则以下结论正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则向量和重合 D．若，则 2．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知O为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为．若与共线，则a的值为 . 4．（22-23高一下·北京丰台·期末）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则 . 5．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若三点共线，求实数的值. 题型十 复数与几何图形 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 3．（24-25高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若.则的模为7 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 4．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）复数满足，则的最大值为 . 5．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数，复数满足在复平面内对应的点的集合为图形，则图形的面积为 . 题型十一 复数的四则运算 1．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁丹东·阶段练习）（多选）已知复数，满足，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 4．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 5．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 题型十二 复数运算的相关辨析 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西·期中）（多选）已知，是复数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（多选）若是复数，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 4．（24-25高一下·广东·期中）（多选）设，，均为复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若复数，则 B．若，则的最大值为2 C．若，则 D．若，则为纯虚数 5．（24-25高一下·福建泉州·期中）（多选）已知两个复数，满足，且，则下面说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十三 复数方程问题 1．（23-24高一下·广东惠州·期中）方程有一个根为，求实数 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，其中是虚数单位，则 . 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 5．（浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一下学期5月期中联考数学试题）已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数. (1)求复数z； (2)若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值. 题型十四 复数的因式分解 1．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 2．（22-23高一下·江西吉安·期末）在复数范围内分解因式的结果为 ． 3．（22-23高一·全国·课后作业）在复数范围内因式分解： ． 4．（22-23高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型十五 复数的三角形式与运算 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 3．（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）（多选）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 4．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 1．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 2．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 3．（24-25高一下·浙江·期中）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，. (1)若.求； (2)证明：； (3)求的最小值. 5．（24-25高一下·北京·期中），其中，．称为非零复数的三角形式． (1)已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和． (2)已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． (3)已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$