第5章 复数 章末梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

章末梳理 +,±²%ª³´ 复数 复数的运算 复数的加法法则（ａ ＋ ｂｉ）＋（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ ＋ ｃ）＋（ｂ ＋ ｄ）ｉ{复数加法的几何意义 复数的减法法则 （ａ ＋ ｂｉ）－（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ － ｃ）＋（ｂ － ｄ）ｉ 复数减法的几何意义 复平面上两点间的距离ｄ ＝ ｜ ｚ１ － ｚ２{ ｜ 复数的乘法法则：（ａ ＋ ｂｉ）（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａｃ － ｂｄ）＋（ａｄ ＋ ｂｃ）ｉ 复数的除法法则：ａ ＋ ｂｉｃ ＋ ｄｉ ＝ ａｃ ＋ ｂｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ ｂｃ － ａｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ｉ（ｃ ＋ ｄｉ≠０            ） 复数的三角形式 三角形式：ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ） 复数三角形的乘除法 ｚ１·ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２［ｃｏｓ（θ１ ＋ θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ ＋ θ２）］ ｚｎ ＝ ｒｎ［ｃｏｓ（ｎθ）＋ ｉｓｉｎ（ｎθ）］ ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２ ［ｃｏｓ（θ１ － θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ － θ２             ）］ 复数相等的充要条件：ａ ＋ ｂｉ ＝ ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ）当且仅当ａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ的模：｜ ｚ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ的共轭复数为ｚ ＝ ａ － ｂｉ 复数的分类：复数ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ） 实数（ｂ ＝ ０） 虚数（ｂ≠０）纯虚数（ａ ＝ ０）非纯虚数（ａ≠０{{                                ） µB¶‘%·¸1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%º/çG<UV １．当实数ａ为何值时，ｚ ＝ ａ２ － ２ａ ＋（ａ２ － ３ａ ＋ ２）ｉ． （１）为实数； （２）为纯虚数； （３）对应的点在第一象限内； （４）复数ｚ对应的点在直线ｘ － ｙ ＝ ０上． 【分析】　 根据题设条件构建方程（组）或不等式（组）求解即可． ［归纳提升］ 归纳提升： *:¦ý0 ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ （ａ，ｂ P Ｒ），ｚ P Ｒｂ ＝ ０；ｚ 0¡: ｂ０；ｚ 0¤¡:ａ ＝ ０ S ｂ  ０． !$& 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%çGY ２．已知ｘ，ｙ为共轭复数，且（ｘ ＋ ｙ）２ － ３ｘｙｉ ＝ ４ － ６ｉ，求ｘ，ｙ． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%çG<§”»¼Sy ３．已知ｚ∈Ｃ且｜ ｚ ｜ ＝ １，求｜ ｚ２ － ｚ ＋ １ ｜的最值． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67]%çGdÄÈ+,<‘IJ ４．四边形ＡＢＣＤ是复平面内的平行四边形，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点对应的复数分别为１ ＋ ３ｉ，２ｉ，２ ＋ ｉ，ｚ． （１）求复数ｚ； （２）ｚ是关于ｘ的方程２ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ ＝ ０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值． ［归纳提升］ ●67%çG<HTmj”’Á ５．已知复数ｚ１ ＝ １２ －槡 ３ ２ ｉ，ｚ２ ＝ ｃｏｓ ３０° － ｉｓｉｎ ３０°，ｚ２是ｚ２的共轭复数，且 １ ｚ ＝ ｚ１ ｚ２，求 复数ｚ的三角式与代数形式． ［归纳提升］ 归纳提升： *:-Z:žŸ ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ P Ｒ） ?z· …t¡…gnh%e *:?_*: ｚ TU -–—bc0·: ｘ， ｙ Â?TU-–—? zD]^z·:-j ð¶FCG¿:Iå 256gmn*: `a ． 归纳提升： １． ｚ  ０ ? ｚ 0¤¡: ｚ ＝ － ｚ． ２． *:á-Cü/ ŸáF ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ P Ｒ）， ô ｜ ｚ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２，phoR@ *:á-`a'Â) 7^¼ˆ‰-,Fá ｚ þ ｚ ＝ ｜ ｚ ｜ ２ ＝ ｜ ｚ ｜ ２，｜ ｚ１ þ ｚ２ ｜ ＝ ｜ ｚ１ ｜ þ ｜ ｚ２ ｜， ｚ１ ｚ２ ＝ ｜ ｚ１ ｜ ｜ ｚ２ ｜ （ｚ２  ０） x ． 归纳提升： *:ºRZ:žŸ? S*: ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ P Ｒ） r*wÆf-Î Ｚ（ａ，ｂ） ª#¤ÁÙ% %LÂ@¿?*:± B:žˆ“-¦§? …(O*:r€"t 2t9:x™´- ;² ． 归纳提升： *: ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ） 60*:-§jž Ÿ?îTÎBáá6 `t j š ›t A @ ‹tï[e?³N% –—QŒB§jž Ÿ?îX θ0°j．F *:-§jžŸùú FIt‚IkÑ*: -§jžŸ?6á: šF¨‚©°jšï ¨:© ． 请同学们认真完成考案（四） !$' ５． 槡－ ３ ＋ ｉ　 原式＝ ２ ｃｏｓ ７π３ － ３π( )２ ＋ ｉｓｉｎ ７π３ － ３π( )[ ]２ ＝ ２ ｃｏｓ ５π６ ＋ ｉｓｉｎ ５π( )６ 槡＝ － ３ ＋ ｉ． 章末梳理 考点整合　 提技能 例１：（１）ｚ∈Ｒａ２ － ３ａ ＋ ２ ＝ ０，解得ａ ＝ １或ａ ＝ ２． （２）ｚ为纯虚数， ａ ２ － ２ａ ＝ ０， ａ２ － ３ａ ＋ ２≠０{ ，即ａ ＝ ０或ａ ＝ ２，ａ≠１且ａ≠２{ ，故ａ ＝ ０． （３）ｚ对应的点在第一象限， 则ａ ２ － ２ａ ＞ ０， ａ２ － ３ａ ＋ ２ ＞ ０{ ，所以ａ ＜ ０，或ａ ＞ ２，ａ ＜ １，或ａ ＞ ２{ ， 所以ａ ＜ ０或ａ ＞ ２．所以ａ的取值范围是（－ ∞，０）∪（２， ＋ ∞）． （４）依题设（ａ２ － ２ａ）－（ａ２ － ３ａ ＋ ２）＝ ０，所以ａ ＝ ２． 例２：设ｘ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则ｙ ＝ ａ － ｂｉ． 又（ｘ ＋ ｙ）２ － ３ｘｙｉ ＝ ４ － ６ｉ，∴ ４ａ２ － ３（ａ２ ＋ ｂ２）ｉ ＝ ４ － ６ｉ， ∴ ４ａ２ ＝４， ａ２ ＋ ｂ２ ＝２{ ， ∴ ａ ＝１， ｂ{ ＝１ 或ａ ＝１，ｂ{ ＝ －１或ａ ＝ －１，ｂ{ ＝１ 或ａ ＝ －１，ｂ ＝ －１{ ， ∴ ｘ ＝ １ ＋ ｉ， ｙ{ ＝ １ － ｉ 或ｘ ＝ １ － ｉ，ｙ{ ＝ １ ＋ ｉ 或ｘ ＝ － １ ＋ ｉ， ｙ{ ＝ － １ － ｉ 或ｘ ＝ － １ － ｉ，ｙ ＝ － １ ＋ ｉ{ ． 例３：因为｜ ｚ ｜ ＝ １，所以ｚ·珋ｚ ＝ １， 所以ｚ２ － ｚ ＋ １ ＝ ｚ２ － ｚ ＋ ｚ珋ｚ ＝ ｚ（ｚ ＋珋ｚ － １）， 所以｜ ｚ２ － ｚ ＋ １ ｜ ＝ ｜ ｚ（ｚ ＋珋ｚ － １）｜ ＝ ｜ ｚ ｜·｜ ｚ ＋珋ｚ － １ ｜ ＝ ｜ ｚ ＋珋ｚ － １ ｜ ． 设ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），那么｜ ｚ ＋珋ｚ － １ ｜ ＝ ｜２ｘ － １ ｜， 又因为｜ ｚ ｜ ＝ １，所以ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １． 所以－ １≤ｘ≤１，所以－ ３≤２ｘ － １≤１，则０≤ ｜２ｘ － １ ｜≤３． 所以｜ ｚ２ － ｚ ＋ １ ｜的最小值为０，最大值为３． 例４：（１）复平面内Ａ，Ｂ，Ｃ对应的点坐标分别为（１，３），（０， ２），（２，１）， 设Ｄ的坐标为（ｘ，ｙ），由于→ＡＤ ＝→ＢＣ， ∴ （ｘ － １，ｙ － ３）＝（２，－ １）， ∴ ｘ － １ ＝ ２，ｙ － ３ ＝ － １，解得ｘ ＝ ３，ｙ ＝ ２，故Ｄ（３，２）， 则点Ｄ对应的复数ｚ ＝ ３ ＋ ２ｉ． （２）∵ ３ ＋ ２ｉ是关于ｘ的方程２ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ ＝ ０的一个根， ∴ ３ － ２ｉ是关于ｘ的方程２ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ ＝ ０的另一个根， 则３ ＋ ２ｉ ＋ ３ － ２ｉ ＝ ｐ２ ，（３ ＋ ２ｉ）·（３ － ２ｉ）＝ ｑ ２ ， 即ｐ ＝ １２，ｑ ＝ ２６． 例５：ｚ１ ＝ １２ －槡 ３ ２ ｉ ＝ ｃｏｓ（－ ６０°）＋ ｉｓｉｎ（－ ６０°），ｚ２ ＝ ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°， ∴ １ｚ ＝ ｚ１ ｚ２ ＝ ［ｃｏｓ（－ ６０°）＋ ｉｓｉｎ（－ ６０°）］·（ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°） ＝ ｃｏｓ（－ ３０°）＋ ｉｓｉｎ（－ ３０°）， ∴ ｚ ＝ １ｃｏｓ（－ ３０°）＋ ｉｓｉｎ（－ ３０°）＝ ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０° ＝槡３２ ＋ １ ２ ｉ， 即复数ｚ的三角形式为ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°，代数形式为槡３２ ＋ １ ２ ｉ． 第六章　 立体几何初步 § １　 基本立体图形 １． １　 构成空间几何体的基本元素 １． ２　 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 必备知识　 探新知 知识点１　 （２）①无限延展　 ②４５°　 两倍 知识点２　 （１）面　 棱　 顶点　 （２）①平行　 ②平行　 侧面 侧棱　 对角线　 高　 （３）①三角形 关键能力　 攻重难 例１：（３）（４）　 （１）错误，棱柱的底面不一定是平行四 边形； （２）错误，棱柱的底面可以是三角形； （３）正确，由棱柱的定义易知； （４）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱， 所以说法正确的序号是（３）（４）． 对点训练１：Ｂ　 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四 边形，不一定都是矩形，故Ａ不正确；而平行四边形的对边相等， 故侧棱都相等，所以Ｂ正确；对选项Ｃ，侧棱都平行，但底面多边 形的边（也是棱）不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底 面垂直也可以不与底面垂直，故Ｄ不正确． 例２：（１）０　 （２）①②③　 （１）①错误．棱 锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都 是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围 成的多面体称为棱锥．而“其余各面都是三角 形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶 点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示 的几何体不是棱锥，理由是△ＡＤＥ和△ＢＣＦ 无公共顶点． ②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三 角形． ③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所 以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＢＤ ＝ ＢＣ ＝ ＣＤ，满足底面△ＢＣＤ为等边三角形，三个侧面△ＡＢＤ， △ＡＢＣ，△ＡＣＤ都是等腰三角形，但ＡＣ长度不一定，三个侧面不 一定全等． （２）①正确，棱台的侧面都是梯形                                                                       ． —４３３—