5.4 “问题解决策略：转化” 教案 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

“问题解决策略：转化” 教案 一、教学目标 1. 知识与技能 1. 理解 “转化” 策略在数学问题解决中的意义，能运用轴对称变换解决最短路径问题。 2. 掌握将不规则图形面积转化为规则图形面积的方法，体会转化思想在几何中的应用。 3. 通过 “将军饮马” 等实例，感受转化策略在实际问题中的通用性。 2. 过程与方法 2. 经历从实际问题抽象为数学模型的过程，培养数学建模能力。 2. 通过小组讨论、动手操作等活动，体会 “化繁为简”“化陌生为熟悉” 的转化思路。 3. 情感态度与价值观 3. 激发对数学问题的探究兴趣，感受数学与生活的联系。 3. 培养合作交流意识和创新思维，体验转化策略的巧妙性与实用性。 二、教学重难点 重点 难点 1. 利用轴对称转化最短路径问题（“将军饮马” 模型） 2. 不规则图形面积的转化方法 1. 最短路径问题中对称轴的构造与逻辑推理 2. 复杂问题中转化策略的灵活应用 三、教学方法 讲授法、探究法、小组讨论法、多媒体辅助教学法 四、教学过程 （一）新课导入（5 分钟） 1. 情境引入 3. 提问：如何计算平行四边形的面积？（学生回答：底 × 高） 3. 计算：12.5×0.5。引导学生观察：将 12.5×0.5 转化为 125×5÷100，体现 “转化” 思想。 3. 总结：转化是解决数学问题的重要策略，引出课题。 2. 设计意图：通过简单计算唤醒学生对 “转化” 的认知，自然切入主题，降低学习难度。 （二）新课探究：最短路径问题（15 分钟） 1. 问题呈现 3. 实际问题：如图 ，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短? 3. 数学抽象：如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题? 2. 类比迁移 3. 回顾 “将军饮马” 问题：直线 l 两侧有 A、B，直接连接 AB 与 l 交点即为最短点（依据：两点之间线段最短）。 3. 对比分析：原问题中 A、B 在同侧，需转化为两侧问题。 3. 转化策略 3. 操作演示：作点 B 关于 l 的对称点 B'，连接 AB'交 l 于点 C。 3. 逻辑推理： 1. 由轴对称性质，BC = B'C，故 AC + BC = AC + B'C。 2. 根据 “两点之间线段最短”，AB'最短，因此点 C 为所求。 4. 总结模型：同侧点最短路径问题，通过轴对称转化为异侧点，利用线段公理解决。 5. 设计意图：通过 “实际问题→数学模型→类比转化→推理验证” 的流程，让学生经历完整的探究过程，理解转化的逻辑依据。 （三）课堂练习：转化策略的应用（12 分钟） 1. 图形面积转化 3. 练习 1：正方形内画半圆，求阴影面积（如图）。 11. 引导分析：阴影部分由 4 个 “半圆 - 三角形” 组成，转化为 2S圆- S正方形。 11. 解答：S阴影 =4(S半圆-S三角形)= 2S圆-4S三角形= 2S圆-S正方形= π-1 练习 2：双正方形组合中求阴影面积（扇形 BAC）。 11. 直接转化：阴影面积即扇形面积，计算得 S扇形BAC= π×22= π 2. 策略性问题转化 3. 练习 3：两堆棋子取子策略。 12. （1）数量相等时：后取，对称策略（对方取 n 枚，己方在另一堆取 n 枚）。 12. （2）数量不等时：先取多的一堆使剩余数量相等，再用对称策略。 3. 最短周长问题 3. 练习 4：在∠AOB 内找 M、N，使△PMN 周长最小。 13. 转化方法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P'、P''，连接 P'P''交 OA、OB 于 M、N。 4. 设计意图：通过多类型练习，巩固转化策略在几何、策略游戏中的应用，培养学生灵活迁移的能力。 （四）课堂小结（3 分钟） 1. 知识梳理 3. 转化策略：化陌生为熟悉、化复杂为简单、化不规则为规则。 3. 典型应用： 15. 最短路径：轴对称转化（同侧→异侧）。 15. 面积计算：分割、补全、对称等转化为规则图形。 15. 策略问题：利用 “对称”“平衡” 思想构造等价模型。 2. 学生分享：请学生举例说明生活或数学中遇到的转化问题，强化应用意识。 3. 设计意图：通过总结提炼，帮助学生构建转化策略的知识框架，提升数学思想方法的认知层次。 （五）课后作业（布置） 1. 基础题：课本对应练习题，巩固最短路径和面积转化的基本方法。 2. 拓展题：设计一个生活中的最短路径问题，并用转化策略解决（图文结合）。 3. 设计意图：分层作业满足不同学生需求，拓展题培养实践创新能力。 五、板书设计 问题解决策略：转化 1.  核心思想：化繁为简、化陌生为熟悉 2.  最短路径问题 - 模型：同侧点→异侧点（轴对称转化） - 步骤：作对称点→连线段→求交点 3.  面积转化问题 - 方法：分割法、补全法、对称法 - 示例：阴影面积 = 规则图形面积差 4. 策略应用：对称策略（取子问题、周长最小问题） 六、教学反思 1. 成功点：通过 “将军饮马” 模型直观展示转化过程，学生对最短路径问题理解较深入；练习设计涵盖多维度，体现转化策略的广泛性。 2. 改进点：部分学生在复杂图形面积转化中缺乏构图技巧，可增加动态演示或剪纸操作帮助理解；策略性问题的逻辑推理可进一步引导学生自主归纳。 3. 预设难点：最短路径问题的证明过程可能存在理解障碍，需通过分步提问（如 “为何选对称点？”“如何说明最短？”）引导学生逐步推导。 学科网（北京）股份有限公司 $$