暑假作业02 认识概率（要点梳理+4大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 认识概率 要点一、确定事件与随机事件 （1）确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 例如：“抛出的篮球会下落”是必然事件，“明天太阳从西方升起”是不可能事件． （2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 例如：“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 要点二、可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算． 第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 要点三、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率（probability)，记为. 【注意】 1. 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； 2. 概率反映了随机事件发生的可能性的大小； 3. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 要点四、利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、确定事件与随机事件 1．掷一个质地均匀的骰子，骰子的六面上分别是1至6的点数，骰子朝上一面的点数是2，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不确定性事件 2．下列成语故事中，是确定事件的是（   ） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．大海捞针 D．守株待兔 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B．下雨天，每个人都打着雨伞 C．若，则 D．若实数，则 4．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上 B．明天天晴 C．若是实数， 则 D．任意画一个三角形，其内角和是 5．在下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3 题型二、可能性的大小 6．已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 7．一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 8．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（   ） A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域 C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域 9．将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 题型三、由频率估计概率 11．如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 12．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 13．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有 个． 14．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 15．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15． (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)计算盒子里白色的球有多少个？ 题型四、由频率估计概率的综合应用 16．不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 17．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 18．在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 19．下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 1．下列事件中，必然事件的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．打开电视，正在播放广告 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．个人中至少有人的出生月份相同 2．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 3．不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（   ） A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 4．体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为 ． 5．在一个不透明的袋子中有2个红球，3个白球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到 球的可能性最大． 6．在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有 个． 7．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是 ． 8．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______ (1)将表格补充完整； (2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）； (3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少． 9．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 10．为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）； (2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 1．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 2．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 3．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 认识概率 要点一、确定事件与随机事件 （1）确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 例如：“抛出的篮球会下落”是必然事件，“明天太阳从西方升起”是不可能事件． （2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 例如：“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 要点二、可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算． 第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 要点三、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率（probability)，记为. 【注意】 1. 概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； 2. 概率反映了随机事件发生的可能性的大小； 3. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 要点四、利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、确定事件与随机事件 1．掷一个质地均匀的骰子，骰子的六面上分别是1至6的点数，骰子朝上一面的点数是2，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不确定性事件 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念，即可求解． 【详解】解∶ 掷一个质地均匀的骰子，骰子的六面上分别是1至6的点数，骰子朝上一面的点数是2，这个事件是随机事件， 故选∶C． 2．下列成语故事中，是确定事件的是（   ） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．大海捞针 D．守株待兔 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，根据确定事件是一定条件下，一定会发生或一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：A、是不可能事件，是确定事件，符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是随机事件，不符合题意； 故选A． 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．掷一枚骰子，点数是6的一面朝上 B．下雨天，每个人都打着雨伞 C．若，则 D．若实数，则 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的性质，化简绝对值，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、掷一枚骰子，点数是6的一面朝上，原说法是随机事件，不符合题意； B、下雨天，不一定每个人都打着雨伞，原说法是随机事件，不符合题意； C、若，则，原说法是不可能事件，不符合题意； D、若实数，则，是必然事件，符合题意； 故选：D． 4．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上 B．明天天晴 C．若是实数， 则 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件和必然事件的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A选项不符合题意； B、明天天晴，是随机事件，故B选项不符合题意； C、若是实数， 则，是随机事件，故C选项不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故D选项符合题意； 故选：D． 5．在下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C．通常情况下，自来水在结冰 D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，根据相关概念判断即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故此选项不符合题意； B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意； C、通常情况下，自来水在结冰，是必然事件，故此选项不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故此选项符合题意， 故选：D． 题型二、可能性的大小 6．已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查感受可能性，根据摸到的黄球的可能性大，得到黄球的数量要多于白球的数量，进行判断即可． 【详解】解：∵要使摸到的黄球的可能性大， ∴黄球的数量要多于白球的数量， ∵袋子里白球和黄球共10个 ∴袋子里至少装6个黄球； 故选B． 7．一个袋子里有5个红球、3个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 【答案】D 【分析】本题考查了概率，可能性的大小，理解概率的意义是解题的关键， 【详解】解：从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是绿球，故该选项不符合题意； ．从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是黄球，故该选项不符合题意； ．从中任意摸出1个球，摸出的球不一定是红球，故该选项不符合题意； ．因为9个球中，红球的数量最多，则摸出的球是红球的可能性大，故该选项符合题意； 故选：D． 8．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（   ） A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域 C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域 【答案】C 【分析】此题考查了可能性大小，根据每个选项占的区域个数从而确定正确的选项即可． 【详解】解：∵一共被平均分成8个区域， 其中5有1个区域，10没有区域，奇数有4个区域，被3整除的数的区域有3和6，共2个， ∴发生可能性最大的事件是指针落在标有奇数的区域． 故选：C． 9．将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可得解，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， ∴的值可以是， 故选：A． 10．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和确定事件直接判断即可． 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 题型三、由频率估计概率 11．如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在某个数附近，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选B． 12．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（   ） A．一定是 B．一定不是 C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 13．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 14．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上得概率为，不符合题意； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； 故答案为：②③． 15．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15． (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)计算盒子里白色的球有多少个？ 【答案】(1)0.15 (2)9个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的运用，深刻理解“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解题的关键． （1）根据“大量反复试验下频率稳定值即概率”即可得出答案； （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15． ∴估计摸到白球的概率将会接近0.15， 故答案为：0.15； （2）盒子里的白球个数（个）， 答：盒子里白色的球有9个． 题型四、由频率估计概率的综合应用 16．不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 17．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下至少需要买棵树苗 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 18．在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【答案】(1)； (2) (3)个 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）（个）， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义． 19．下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，0.951 (2) (3) 【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可； （2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； （3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：，， 故答案为：，． （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 1．下列事件中，必然事件的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是偶数 B．打开电视，正在播放广告 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．个人中至少有人的出生月份相同 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，此选项不符合题意； 、打开电视，正在播放广告是随机事件，此选项不符合题意； 、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，此选项不符合题意； 、个人中至少有人的出生月份相同是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 2．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3．不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（   ） A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件以及事件发生可能性的大小，理解事件可能性大小是解题的关键； 根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项，即可求解； 【详解】解：∵不透明的袋子中有2个红球、个黄球， ∴每次摸球摸到红球概率为，每次摸球摸到黄球概率为； A、第6次摸取到的一定是黄球，错误，第6次摸取到的不一定是黄球，也有可能是红球； B、第6次摸取到的可能还是黄球，正确； C、第6次摸取到的一定是红球，错误，第6次摸取到的不一定是红球，也有可能是黄球； D、第6次摸取到红球的可能性更大，错误，第6次摸取到黄球的可能性更大； 故选：B； 4．体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， 现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为， 故答案为：． 5．在一个不透明的袋子中有2个红球，3个白球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，将球摇匀后，从袋子中任意摸出一个球，摸到 球的可能性最大． 【答案】黑 【分析】本题主要考查了可能性大小计算，即概率的计算方法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，再按照大小顺序从小到大排列起来即可． 【详解】解：根据题意，袋子中共10个球，其中有2个红球，3个白球和5个黑球，故将球摇匀，从中任取1球，每个球被摸到的可能性相同， ∴摸到红球的可能性为， 摸到白球的可能性为， 摸到黑球的可能性为， ∴摸到黑球的可能性最大． 故答案为：黑 6．在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有 个． 【答案】12 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在0.2513， ∴白球的个数为：个， ∴袋中黑球有：个． 故答案为：12． 7．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是 ． 【答案】②③① 【分析】本题主要考查可能性大小的比较，解题关键是理解：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，分别比较情况数的大小即可获得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数不大于4包括4种情况；③掷得的点数是奇数包括3种情况，故发生的可能性由大到小的顺序排为②③①． 故答案为：②③①． 8．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______ (1)将表格补充完整； (2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）； (3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少． 【答案】(1)见解析 (2)估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50； (3)311次 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用投中的次数除以投篮次数即可； （2）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （3）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：，； 补充表格如下， 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 0.51 0.50 （2）解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50； （3）解： (次)． 所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次． 9．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）估计表中的频率估计概率即可； （3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 10．为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）； (2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】(1)抽样调查 (2)756 (3)0.94 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，调查方式，求频数，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据抽样调查的概念可得答案； （2）根据频率频数总数计算即可； （3）利用频率估计概率求解即可． 【详解】（1）解：此调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）， 故答案为：756； （3）这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为0.94， 故答案为：0.94． 1．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 【答案】B 【分析】本题考查事件分类的判断，根据题意及事件的分类进行判定即可． 【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意； B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意； C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 2．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 3．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$