第03讲 一元二次方程与二次函数的图象、性质（4个知识点5大题型）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第03讲 一元二次方程与二次函数的图象、性质 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：根的判别式 我们知道，对于一元二次方程（），用配方法可以将其变形为．① 因为，所以，．于是 （1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根； （3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程（）的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程（），有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ<0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）有两个实数根 ， 则有； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果（）的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知 ，即，所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换 问题 函数与的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系． 先画出函数，的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数，的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到． 知识点4：二次函数图像的平移变换 函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法： 由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－ 所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质： （1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=． （2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=． 题型一：根的判别式 【例1】（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1-1】（2025·四川广安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式1-2】（2025·河北唐山·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式1-3】（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型二：根与系数的关系（韦达定理） 【例2】（2025·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南焦作·期末）在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． (1)求这两个方程相同的根． (2)求原方程两根之和． 题型三：二次函数图像的伸缩变换 【例3】（2025·河南漯河·三模）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 【变式3-1】（2025·辽宁盘锦·一模）已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． (1)若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (2)点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． (3)二次函数的图象过，两点①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 【变式3-2】（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，）． (1)求证：该二次函数图像与轴有两个公共点； (2)若、是该函数图象上的两个点，若，求的取值范围； (3)当时，随的增大而增大，结合函数图象，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（2025·江西吉安·一模）在平面直角坐标系中，点A，B的横坐标分别为a，，二次函数的图象经过点A，B，且a，m满足（d为常数）． (1)若一次函数的图象经过A，B两点． ①当，时， ； ②若y随x的增大而减小，求d的取值范围． (2)点A，B的位置随着a的变化而变化，设点A，B运动的路线与y轴分别相交于点C，D，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由． 题型四：二次函数图像的平移变换 【例4】（2025·安徽·三模）设抛物线经过点，其中，，为实数 （1）抛物线的对称轴是 ； （2）若，将抛物线向右平移个单位，，是平移后的抛物线上的两点，若当时，，则的取值范围是 ． 【变式4-1】（2025九年级下·西藏·专题练习）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 【变式4-3】（2025·浙江湖州·二模）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 题型五：二次函数图像的综合应用 【例5】（2025·青海西宁·二模）如图，抛物线的图象经过，和x轴交于，和y轴交于C． (1)求该抛物线的表达式； (2)求经过A、C两点的直线表达式； (3)求以A、B、C为顶点的三角形面积． 【变式5-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式： (2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； (3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 一、单选题 1．（2025·山东济宁·三模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．（2025·山东济宁·二模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．（2025·安徽合肥·二模）已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 4．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·西藏日喀则·一模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数均成立 ④若点，在抛物线上，则有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·湖北·二模）抛物线的过点，对称轴是直线，且顶点在第二象限．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东湛江·二模）如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③ 8．（2025·陕西咸阳·二模）二次函数 的图象的对称轴是轴，点在二次函数 的图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数中，①；②；③；④，其图象中不存在“同号点”的是 ． 二、填空题 11．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ． 12．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 13．（2025·广东·一模）将二次函数向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的新的二次函数解析式为 ． 14．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 15．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 16．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 17．（2025·湖南永州·二模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 18．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 19．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是 ． 20．（2025九年级下·江苏徐州·专题练习）将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ． 三、解答题 21．（2025·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容． 已知关于的一元二次方程． 其中一次项系数被墨迹污染了． (1)若这个方程的一个根为，请求出一次项系数； (2)玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 23．（2025·江苏·一模）抛物线的与轴交于两点（点在点的左边），顶点为． (1)顶点坐标为_________； (2)如图，若点的坐标是，连接． ①把线段沿一定的方向平移，平移后，点的对应点为，点的对应点为，若点，点均在抛物线上，求点的坐标； ②将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，且抛物线经过点．请问在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，点、不重合． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求的长度； (3)该抛物线与轴的交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 25．（2025·江苏南通·一模）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 26．（2025·吉林四平·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值； (3)将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围； (4)以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 27．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 28．（2025·山东泰安·二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若①求的值； ②若抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，求的长； (2)当时，函数最大值与最小值的差为3，求出的值； (3)若，平面内有两个点、，抛物线与线段有且只有一个公共点，求出的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程与二次函数的图象、性质 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点1：根的判别式 我们知道，对于一元二次方程（），用配方法可以将其变形为．① 因为，所以，．于是 （1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根； （3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程（）的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程（），有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ<0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）有两个实数根 ，则有； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果（）的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知 ，即，所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换 问题 函数与的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系． 先画出函数，的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数，的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到． 知识点4：二次函数图像的平移变换 函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法： 由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－ 所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质： （1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=． （2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=． 题型一：根的判别式 【例1】（2025·安徽宣城·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且解得：且故选：C． 【变式1-1】（2025·四川广安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根∴且解得且故选：B． 【变式1-2】（2025·河北唐山·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】的一元二次方程有两个实数根且解得：且故选：B． 【变式1-3】（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】∵∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 题型二：根与系数的关系（韦达定理） 【例2】（2025·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 【解析】（1）展开得又由题知故； （2）当，设该方程的三个实数根为，和∴展开得，∴解得，； （3）由（1）可知，由（2）可知，∴可推导一般性规律为∴的值为． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南焦作·期末）在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 【解析】（1），即解得：和，即解得：和故一元二次方程和是“倍根方程”，且或． （2），即解得：和∵根倍数为3∴倍根方程的两个根分别为：和或和当两个根为和时∴方程为当两个根为和时∴方程为，即； （3）设一元二次方程两个根分别为∴∴一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或； 当倍根方程的两个根分别为：时∴方程为∴∴方程为：当倍根方程的两个根分别为：时∴方程为∴∴方程为：综上：一元二次方程的倍根方程为或. 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【解析】（1）∵，∴； （2）、、，． 设，∴，即解得∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且∴由根与系数的关系，可得，，∴由题意得，可设新方程为∵新的三次方程，其三个根分别为、、又∵∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、∴，，∴，，∴，∴新方程为． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． (1)求这两个方程相同的根． (2)求原方程两根之和． 【解析】（1）原方程为，小马解的方程为令化简得，即这两个方程相同的根是1． （2）由（1）可知新方程的两个根为3，1原方程为两根之和为． 题型三：二次函数图像的伸缩变换 【例3】（2025·河南漯河·三模）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． (1)求抛物线的表达式． (2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 【解析】（1）设抛物线的表达式为，把代入得∴∴∴抛物线的表达式为． （2）抛物线向右平移个单位长度后，解析式为∴新的抛物线的对称轴为∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大∴，解得． （3）当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为则，解得：； 当时，把代入得则∴∴，解得或（舍去）∴或． 【变式3-1】（2025·辽宁盘锦·一模）已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． (1)若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (2)点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． (3)二次函数的图象过，两点①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 【解析】（1）函数的“关联函数”的解析式为把代入可得可得解得； 把代入可得解得综上，或； （2） 如图，当时 根据反比例函数的性质可得点关于轴对称点横坐标为； 如图，当时 同理可得点横坐标为； 综上所述，故答案为：； （3）①二次函数的图象过，两点二次函数的解析式为当时，当时中，随的增大而增大当时，解得当时，，故不成立； 当时，在时取最小值可得解得（舍去）当时，在时取最小值即解得（不成立，舍去）综上所述，； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 如图，当时， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象有两段，故不成立； 如图，当时， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 如图，，即时 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部存在两段图象，故不成立； 如图，，即时 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部存在点纵坐标y随x的增大而减小，故成立； 如图，当时 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，故不成立； 当时， 即时 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，故不成立； 当时， 此时，以为对角线的矩形中不存在图象，在矩形内部存在点纵坐标y随x的增大而增大，故成立； 当时， 此时，以为对角线的矩形中，在矩形内部的存在的图象有两段，故不成立； 综上所述，或或． 【变式3-2】（2025·江苏淮安·一模）已知二次函数（为常数，）． (1)求证：该二次函数图像与轴有两个公共点； (2)若、是该函数图象上的两个点，若，求的取值范围； (3)当时，随的增大而增大，结合函数图象，则的取值范围是 ． 【解析】（1）∵∴该二次函数图象与轴有两个公共点； （2）当时，，当时，∵∴解得又∵∴的取值范围为且； （3）∵二次函数∴抛物线的对称轴为直线当时，抛物线开口向上∵当时，随的增大而增大∴解得； 当时，抛物线开口向下∵当时，随的增大而增大∴解得； ∴∵∴的取值范围是故答案为：． 【变式3-3】（2025·江西吉安·一模）在平面直角坐标系中，点A，B的横坐标分别为a，，二次函数的图象经过点A，B，且a，m满足（d为常数）． (1)若一次函数的图象经过A，B两点． ①当，时， ； ②若y随x的增大而减小，求d的取值范围． (2)点A，B的位置随着a的变化而变化，设点A，B运动的路线与y轴分别相交于点C，D，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由． 【解析】（1）①当时，点的横坐标分别是∴当时，解得∴二次函数解析式为∴把代入二次函数可得∴点的坐标是把代入二次函数可得∴点的坐标是∵一次函数的图象经过点和解得：； ②∵当时，当时，则由得∵随着的增大而减小即解得：； （2）线段的长度不变． 经过A，B两点，把代入得∵点在轴上，即把代入得∴线段的长度不变且． 题型四：二次函数图像的平移变换 【例4】（2025·安徽·三模）设抛物线经过点，其中，，为实数 （1）抛物线的对称轴是 ； （2）若，将抛物线向右平移个单位，，是平移后的抛物线上的两点，若当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 【解析】（1）∵抛物线经过点∴ ∴∴对称轴为直线． 故答案为：直线． （2）∵将抛物线向右平移个单位∴抛物线的对称轴为直线∵，是平移后的抛物线上的两点，∵ ∴ ∴在直线的左侧当时，抛物线开口向上∴ 解得： 故答案为：． 【变式4-1】（2025九年级下·西藏·专题练习）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【解析】（1）把，代入抛物线得： 解得：∴抛物线的解析式为； （2）过点Q作轴于点D，如图： 当时，∴设直线的解析式为：把代入得： 解得： ∴直线的解析式为：∵∴∴在中，∴∴设，则∴∵∴当时，有最大值为4，此时； （3）设直线的表达式为：把，代入得： 解得： ∴直线的表达式为：将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位则当时，，则∴联立上式和直线的表达式得：解得： 或（舍去）∴点当点M在下方时∵∴则直线的表达式为：当点M在上方时同理可得：直线的表达式为：， 分别联立和新抛物线的表达式得：或 解得：或故，． 【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 【解析】（1）∵抛物线经过点∴∴将点代入得，解得∴该抛物线的解析式为∵∴顶点的坐标为； （2）存在，理由如下： ∵将抛物线上下平移 ∴，抛物线对称轴∴设平移后解析式为过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形过点作轴于点则∴∵∴∵∴∴，∴点坐标为把代入得，解得∴将抛物线向上平移个单位； 同理可得点坐标为把代入得，解得∴将抛物线向下平移个单位； 综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形． 【变式4-3】（2025·浙江湖州·二模）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【解析】（1）∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得∴此二次函数的表达式为． （2）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即∵图象恰好经过原点∴，解得或∵∴n的值为2． （3）∵点在二次函数的图象上∴∴∵∴∴∵当时，当时，∴m的取值范围是． 题型五：二次函数图像的综合应用 【例5】（2025·青海西宁·二模）如图，抛物线的图象经过，和x轴交于，和y轴交于C． (1)求该抛物线的表达式； (2)求经过A、C两点的直线表达式； (3)求以A、B、C为顶点的三角形面积． 【解析】（1）将代入中得解得抛物线的表达式为； （2）在中，当时，设经过两点的直线表达式为将代入得解得 经过两点的直线表达式为； （3）设直线和轴交点为在中，当时，∵∴∵到轴距离为3，到轴距离为5∴以为顶点的三角形面积为15． 【变式5-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得：则，则抛物线的解析式为：则； （2）当时，解得，点当时，点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值则，则（舍去）∴的值为； （3）存在点，理由如下： ∵，∴①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点 在和中，，设直线的解析式为由点、的坐标得，直线的解析式为联立上式和抛物线的表达式得：则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点则，，四边形是正方形令中，，则解得或，，在点抛物线上，即点满足条件故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 【变式5-2】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式： (2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； (3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将，分别代入得 解这个方程组，得 所以二次函数的表达式为． （2）设由，，可得直线的表达式为则∴ 当时，故点D的坐标为时，的最大值为4． （3）存在，理由如下： 如图，连接，交于点M， 设点若四边形为菱形则，∴∴，即解得∵点D在第一象限故当点D的坐标是时，四边形为菱形． 【变式5-3】（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． 【解析】（1）把代入函数解析式可得解得抛物线的函数解析式为； （2）当时，解得轴四边形为平行四边形根据勾股定理可得平行四边形为菱形； （3）设直线的解析式为把代入可得解得直线的解析式为如图，过点作的平行线交直线于点 设点，则点当，即时， 的面积最大为． 一、单选题 1．（2025·山东济宁·三模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【解析】∵方程，，关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根∴且∴且故选：A． 2．（2025·山东济宁·二模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【解析】关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根解得：且． 故选：A． 3．（2025·安徽合肥·二模）已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【答案】C 【解析】 即∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4．（2025·广东清远·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：∵对称轴为∴∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 5．（2025·西藏日喀则·一模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数均成立 ④若点，在抛物线上，则有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】抛物线与轴相交于点，对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，． ，故①错误． 在抛物线上． 又． ，故②错误． 对称轴是直线，且抛物线开口向上当时，取最小值为． 对应任意的，当时，函数值． ，故③正确． 抛物线开口向上抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又，故④错误． 综上，正确的有1个． 故选：A． 6．（2025·湖北·二模）抛物线的过点，对称轴是直线，且顶点在第二象限．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵对称轴为，根据公式，得：，即． 将点代入抛物线方程得：根据题意，令顶点坐标为，其中∵顶点在第二象限，故，即：联立，消去得：，则，故B错误； 结合，得，故A正确； ∵∴即，故选项C错误． 联立，消去得：，则，∵，则； ∵对称轴为，与x轴一个交点为点，则与x轴另一个交点为点令，则令，则故，故D错误． 故选：A． 7．（2025·广东湛江·二模）如图所示，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点．正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【解析】 由图象可知，抛物线的对称轴为所以，得到，故①正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为所以又因为所以，故②正确； 因为所以，故③错误； 当时，将图象向上平移2个单位后，此点为所以抛物线与直线有4个交点，故④正确； 综上，①②④正确． 故选：C． 8．（2025·陕西咸阳·二模）二次函数 的图象的对称轴是轴，点在二次函数 的图象上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二次函数 的图象的对称轴是轴点在二次函数 的图象上 的最小值是． 故选：A． 9．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，则有∴由可知：对称轴为直线，当时，则有解得：∴连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以∴当P、B、C三点共线时，取得最小值设直线的解析式为，则有解得：∴直线的解析式为∴当时，则有∴，即∵∴； 故选A． 10．（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数中，①；②；③；④，其图象中不存在“同号点”的是 ． 【答案】③ 【解析】由题意可知，只要函数的图象经过第一和第三象限，都是满足条件的． ①函数的图象经过第一和第三象限，故满足条件，不符合题意； ②函数的图象经过第一和第三象限，故满足条件，不符合题意； ③函数的图象经过第二和第四象限，故不满足条件，符合题意； ④对于，当时，，即函数中，存在一个点在第一象限，故满足条件，不符合题意； 故答案为：③． 二、填空题 11．（2025·西藏拉萨·一模）将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ． 【答案】 【解析】将二次函的图象向左平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为故答案为： ． 12．（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ． 【答案】 【解析】∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度∴平移后的抛物线的表达式为故答案为：． 13．（2025·广东·一模）将二次函数向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的新的二次函数解析式为 ． 【答案】 【解析】平移后的解析式为：． 故答案为：． 14．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【解析】抛物线L的解析式为抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为抛物线L过两点，抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M设抛物线M的顶点，是以为斜边的直角三角形整理得解得，点C的坐标为或 故答案为：或． 15．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、∵抛物线从：平移得到抛物线∴设抛物线解析式为把代入得，解得或（舍去）∴抛物线解析式为如图 ∵直线过点∴当直线与只有一个交点时，k值最大联立与直线的表达式可得：整理得∴，∴解得：∵唯一交点横坐标∴，解得∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点∴k的最大值是． 故答案为：． 16．（2025·河北唐山·三模）经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】抛物线的对称轴为直线抛物线经过，两点抛物线的解析式为抛物线与轴有交点，故答案为：． 17．（2025·湖南永州·二模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【解析】过B作轴于E，过A作轴于D 在等腰直角三角形中，，则∵A、B两点的横坐标分别为1和∴，∵点A、B在抛物线上∴，∵∴∵∴∴∴，∴∴整理解得：或（舍去）∴b的值为2故答案为：2． 18．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 【答案】 【解析】如图，根据点，，画出二次函数大致图像根据抛物线的对称性得对称轴为∴点距离对称轴个单位点距离对称轴个单位∵∴． 故答案为：． 19．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是 ． 【答案】①②③④⑤ 【解析】抛物线开口向下抛物线的对称轴为直线抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以①正确； 抛物线经过点，所以③正确； ，所以②正确； 点到直线的距离比点到直线的距离大；所以④正确； 抛物线的对称轴为直线 当时，函数值最大即，所以⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 20．（2025九年级下·江苏徐州·专题练习）将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】把二次函数整理成顶点坐标式可得：抛物线的顶点坐标是翻折后可得图象，如下图所示 由图象可知，当时，图象与有两个交点当时，图象与有两个交点． 综上所述，的取值范围为 或． 故答案为：或． 三、解答题 21．（2025·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 【解析】根据材料提示得，，； 故答案为：，，，，，-r． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容． 已知关于的一元二次方程． 其中一次项系数被墨迹污染了． (1)若这个方程的一个根为，请求出一次项系数； (2)玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 【解析】（1）设一次项系数为b，则方程为把代入方程得，，解得：所以一次项系数为． （2）∵方程∴． ∴不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 23．（2025·江苏·一模）抛物线的与轴交于两点（点在点的左边），顶点为． (1)顶点坐标为_________； (2)如图，若点的坐标是，连接． ①把线段沿一定的方向平移，平移后，点的对应点为，点的对应点为，若点，点均在抛物线上，求点的坐标； ②将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，且抛物线经过点．请问在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵∴顶点的坐标为故答案为：； （2）①把代入得，解得，∴设所在直线解析式为把，代入得解得∴直线的解析式为∴平移后所在直线解析式为设点坐标为，则点坐标为点，点均在抛物线上解得∴点的坐标为； ②设过点平行于的直线解析式为把代入得，∴∴过点平行于的直线解析式为设沿射线方向平移得到抛物线的解析式为把点代入，得解得（不合题意，舍去）或∴抛物线的解析式为①如图，若与轴交点在点的下方，设交点为 ∴点的坐标为∴直线的解析式为，解得或∴点坐标为或 ②如图，若与轴的交点在点的上方，设交点为 过点作，垂足分别为点和点由题意得，过点作轴，过点作，垂足分别为点，点则，且相似比设，则． 解得∴点坐标为设直线的解析式为，把和代入得解得∴直线的解析式为，解得或∴点坐标为或； 综上所述，点坐标为或或或． 24．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，点、不重合． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求的长度； (3)该抛物线与轴的交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【解析】（1）将代入抛物线得：，即∴抛物线函数表达式为：∴顶点坐标为； （2）由（1）知抛物线的对称轴∵点横坐标为，点的横坐标为，且点在抛物线上，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴解得：； （3）将代入，则根据题意：，抛物线图象开口向上，对称轴为当时，则在点和点之间的部分（包括两点）的最高点为点，最低点为点 ∵最高点和最低点的纵坐标之差为，即解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为点，最低点为点 ∵最高点和最低点的纵坐标之差为∴，即解得：（舍去）或（舍去）； 当时，则在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为点，最低点为 ∵最高点和最低点的纵坐标之差为∴，即解得：； 当时，则在点和点之间的部分（包括两点）的最高点为点，最低点为 ∵最高点和最低点的纵坐标之差为，即解得：或（舍去）； 综上，的值为或； （4）∵，点的横坐标为，且点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴轴，轴，点M在直线上令解得：或即或时，点重合当时，即由（2）知当点在抛物线上时，如图，若，则点在点的下方，点在点的右侧 此时，抛物线在内部没有图象； 如图，若，则点在点的上方，点在点的右侧 此时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 如图，若 此时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 若，如图 此时，抛物线在内部没有图象当时若，则，即点在点的上方，点在点的左侧，如图 此时，抛物线在内部点的纵坐标随的增大而减小，不符合题意； 若，则即点在点的下方，点在点的左侧，如图 此时，抛物线在内部没有图象综上，的取值范围为：． 25．（2025·江苏南通·一模）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)若存在实数，使得，且，求的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【解析】（1）若，顶点坐标； （2）把代入得： 把代入得：． ∵∴． ∵∴． ∴； （3）∵二次函数的对称轴为当时，的值增大，的值先减小再增大∴点抛物线对称轴的左侧点抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即，的最大值是 ∴． 解得：（舍去）． 若，即，的最大值是∴． 综上，的值是． 26．（2025·吉林四平·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值； (3)将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围； (4)以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【解析】（1）∵， ∴即∵抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ∴∴∴； （2）如图： ∵点P 在该抛物线上，横坐标为m∴∵的面积被x轴平分∴是的中线∵点A的坐标为． ∴整理得∴故； （3）∵设点 A 的坐标为，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B∴直线的解析式为依题意，∴顶点坐标为则关于对称轴对称的点为∵将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，且图象G与直线只有一个公共点时当经过点，得解得； 当经过点，得解得当点P在直线的下方则解得当经过点，得整理得解得或当直线在点的上方，点Q的下方（或经过点Q）时则； ∵∴综上：故图象G与直线只有一个公共点时，则或或或； （4）∵以为对角线作矩形，轴∴当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时则整理得解得或当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意； 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内部y随x的增大而增大，不符合题意； 综上：抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时， m的取值范围为或或． 27．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【解析】（1）∵∴∵的面积为8∴，解得∴将，代入得： ，解得抛物线的函数表达式为； （2）设直线为，将代入得：，解得直线为，，D是中点过点P作轴交于点Q，如图： 设，则，时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）由得抛物线的对称轴为直线根据题意，设∴，，若是等腰三角形，分三种情况： 当时，则，解得，不合题意，舍去； 当时，则，解得，此时； 当时，则，解得或此时或综上，满足条件的点P的坐标为或或． 28．（2025·山东泰安·二模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)若①求的值； ②若抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，求的长； (2)当时，函数最大值与最小值的差为3，求出的值； (3)若，平面内有两个点、，抛物线与线段有且只有一个公共点，求出的取值范围． 【解析】（1）①； ②抛物线与轴交于点      抛物线关系式为： 当时， 解得：     ； （2）当时对称轴为直线，     当时函数有最大值为当时函数有最小值为由题意得 ； 当时对称轴为直线当时函数有最小值为当时函数有最大值为由题意得 ； 综上：； （3）当时，抛物线为∵、∴直线为：； ①当有两个相等实根时，抛物线与线段有一个公共点； ②当有两个不相等实根时，由题意得 解得； 因此，当或时抛物线与线段有一个公共点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$