高二数学期末模拟卷03（新高考通用，数列+导数+计数原理+概率统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 4．某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年末体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年末体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 5．关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 6．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 7．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 10．已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 11．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为 . 13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ． 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 16．（15分） 记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 17．（15分） 已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 18．（17分） 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 19．（17分） 如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等比数列的公比为，则，而， 所以. 故选：B 2．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【详解】根据导函数图象知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，函数在上单调递减，所以，A正确； 对于B，函数在上单调递减，所以，B错误； 对于C，函数只知单调性、函数值情况不明确，不能确定零点个数，C错误； 对于D，函数有两个极值点，D错误. 故选：A． 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 【答案】D 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 所以先排乙有种方法，再排甲有种方法，其余人全排列，有种方法， 所以人的名次排列有种方法. 故选：D. 4．某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年末体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年末体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【详解】由于（*）， 又， 则可得，代入（*）式可得： ，解得或（舍）. 故选：D. 5．关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由二项式展开式中项系数为，展开式的项系数为， 所以展开式中含的项的系数，解得. 故选：D. 6．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 7．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在处的切线斜率为，则切线方程为， 函数在处的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由题意有①且②，故，， 从而，整理得， 所以，即. 代入式②，得，即. 故选：B 8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，所以乙、丙地位对称， 即，所以经过次传球后，球恰在乙手中的概率为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】AD 【详解】对于A，由经验回归方程的斜率为负，可知样本负相关，即A正确； 对于B，易知， 代入方程计算可得，即B错误； 对于C，由残差图可知，处理以后的残差比处理前的残差更集中，可知，即C错误； 对于D，处理以后的残差的绝对值更小，所以处理后的决定系数变大，即D正确. 故选：AD 10．已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由展开式所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，由， 则，故B正确； 对于C，由于第1350项系数为，显然负值不可能是最大系数，故C错误； 对于D，令，则， 令， 上两式作差可得，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【详解】设，. 则. 所以在上单调递增. 对A：由，故A错误； 对B：由，故B正确； 对C：由，故C正确； 对D：当时，，所以，故D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为 . 【答案】 【详解】依题意同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：， 设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件. 则,, 所以.故答案为：. 13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ． 【答案】 【详解】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种， 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种， 所以共有种； 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种， 所以共有种； 综上，共有种分配方法.故答案为： 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【详解】（1）由表可知：（2分）                             所以= , （4分） 因为与的相关系数接近1,（5分） 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.（6分） （2）由题可知： =（8分）                ，（9分） 所以（10分） （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，（11分） 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；（12分） 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.（13分） 16．（15分） 记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【详解】（1）由题意得，当时，有，（1分） 即（2分） 因为，所以对任意都成立（3分） 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而．（4分） （2）由，可得，（5分） 则（7分） （8分） （9分） 当时，符合上式，（10分） 故．（11分） 所以 （12分） （13分） （15分） 17．（15分） 已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 【详解】（1），则，，（1分） 显然是增函数，（2分） 又，（3分） 所以，（4分） ，（5分） 切线方程为，即；（6分） （2）由已知，有极小值，则有解，（7分） 由，得， 设的解为， 时，，递减，时，，递增，（8分） 因此为的极小值， 由得，（9分） 极小值，（10分） 记， 易知函数是减函数，，（11分） 当时，，当时，，（12分） 所以当时，，（13分） 当时，，当时，，（14分） 而的极小值不小于0，所以的取值范围是.（15分） 18．（17分） 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 【详解】（1）甲同学的投篮命中率为，（1分） 乙同学的投篮命中率为．（2分） 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为．（4分） （2）①甲投了3次，则乙投了2次． 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况． 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为．（6分） 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为，（8分） 故所求概率为．（9分） ②乙投了4次，则甲投了4次． 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮． 在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率，（10分） 记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率，（12分） 记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率．（13分） 投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况． 第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为．（14分） 第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为．（16分） 所求概率为．（17分） 19．（17分） 如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 【详解】（1）由，得.（1分） 由题意可得所求面积.（2分） 令，则是常数）（3分） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为.（4分） （2）令，可得（是常数），（5分） 所以，（6分） 要证，只需证，（7分） 令， 当时，，（8分） 所以在上单调递减，所以当时，，（9分） 所以，即.（10分） （3）由（2）得，当时，. 因为，所以.（12分） 即. 所以. . . .（14分） 累加可得 ，（15分） 即， 所以.（17分） ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期末模拟卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D D D C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由表可知：（2分）                             所以= , （4分） 因为与的相关系数接近1,（5分） 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.（6分） （2）由题可知： =（8分）                ，（9分） 所以（10分） （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，（11分） 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；（12分） 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意得，当时，有，（1分） 即（2分） 因为，所以对任意都成立（3分） 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而．（4分） （2）由，可得，（5分） 则（7分） （8分） （9分） 当时，符合上式，（10分） 故．（11分） 所以 （12分） （13分） （15分） 17．（15分） 【详解】（1），则，，（1分） 显然是增函数，（2分） 又，（3分） 所以，（4分） ，（5分） 切线方程为，即；（6分） （2）由已知，有极小值，则有解，（7分） 由，得， 设的解为， 时，，递减，时，，递增，（8分） 因此为的极小值， 由得，（9分） 极小值，（10分） 记， 易知函数是减函数，，（11分） 当时，，当时，，（12分） 所以当时，，（13分） 当时，，当时，，（14分） 而的极小值不小于0，所以的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）甲同学的投篮命中率为，（1分） 乙同学的投篮命中率为．（2分） 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为．（4分） （2）①甲投了3次，则乙投了2次． 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况． 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为．（6分） 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为，（8分） 故所求概率为．（9分） ②乙投了4次，则甲投了4次． 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮． 在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率，（10分） 记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率，（12分） 记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率．（13分） 投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况． 第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为．（14分） 第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为．（16分） 所求概率为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由，得.（1分） 由题意可得所求面积.（2分） 令，则是常数）（3分） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为.（4分） （2）令，可得（是常数），（5分） 所以，（6分） 要证，只需证，（7分） 令， 当时，，（8分） 所以在上单调递减，所以当时，，（9分） 所以，即.（10分） （3）由（2）得，当时，. 因为，所以.（12分） 即. 所以. . . .（14分） 累加可得 ，（15分） 即， 所以.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 4．某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年末体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 100 合计 200 若根据列表得，则这200名教师中，去年末体检的人数为（   ）（附：，） A．20 B．30 C．40 D．50 5．关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 6．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（   ） A． B． C． D． 7．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 10．已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 11．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为 . 13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ． 14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 16．（15分） 记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 17．（15分） 已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围. 18．（17分） 甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 19．（17分） 如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$