高一数学期末模拟卷03（新高考通用，平面向量+复数+立体几何初步+概率统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期末模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 2．设，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 【答案】D 【详解】，，且， ，解得，故D正确. 故选：D． 3．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故选：C. 4．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．14海里 B．16海里 C．18海里 D．12海里 【答案】A 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：A. 5．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：A 6．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 【答案】D 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B错； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：D. 7．如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 8．中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 在中，，故或， 当时，，故，不合要求，舍去， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 由正弦定理得， 故因为，所以， 故， 因为，所以， 故， 因为，所以，，， 故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A选项，，A正确； B选项，， 故，B正确； C选项，， 故，C正确； D选项，，，D错误. 故选：ABC 10．在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得平面平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 过与平面平行的直线都在过与平面平行的平面内， 易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图所示1的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点， 由于不在平面内，∴平面与直线平行， ∴平面与线段没有公共点，故B错误； ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图2所示， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.（其中13题第一空2分，第二空3分） 12．已知向量，向量，则在上的投影向量是 （注：本题答案用坐标表示） 【答案】 【详解】由向量，可得且， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13．在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 9 【详解】由题意知修正前，则， 修正后，故修正后的9个数据的平均数为； 修正前， 即得， 故修正后的方差为 ， 故答案为：9； 14．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 【详解】（1）在，（1分） 由已知，得，（2分） 而，（3分） 则，（4分） 又，（5分） 所以．（6分） （2）由，得，（8分） 即，（9分） 又，则，整理得，（10分） 因此，解得，（12分） 所以的周长为．（13分） 16．（15分） 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【详解】（1）由图可知：，所以（2分） 评分在内的频率为，内的频率为，（4分） 则第70百分位数位，，（7分） 所以第70百分位数为88.33.（8分） （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为，（9分） 则应选取评分在的学生人数为：（人）.（11分） （3）由图可知，认可程度平均分为： ，（14分） 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改.（15分） 17．（15分） 在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 【详解】（1）在中，由， 得，（1分） 则，（2分） 而E为中点，则，又，（3分） 因此，（5分） 又点共线，于是，（6分） 所以.（7分） （2）由，得，（8分） 由（1）得，（9分） ，（10分） 由，，，得，（11分） 所以（13分） .（15分） 18．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【详解】（1）由题意知，，， 则，（1分） 故，（2分） 又，且，平面，故平面，（3分） 而平面，故平面平面．（4分） （2）由可得，由（1）知平面， 所以，（5分） 又，（7分） 所以．（8分） （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故，（9分） 因为，，平面，所以平面，（10分） 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面，（11分） 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角，（12分） 又平面，故，所以．（13分） 由题意知直角三角形中，，（14分） 故，（15分） 又，则，所以，（16分） 故二面角的余弦值为．（17分） 19．（17分） 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 【详解】（1）当，且时，得，（1分） 由余弦定理，得，所以，（2分） 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得，（4分） 比如， 在中，由正弦定理得，解得，（5分） 所以，解得.（6分） （2）由，则， 在中，由正弦定理得，解得①，（7分） 在中，， 由正弦定理得，，得②，（9分） 由①②+，即.（10分） 由正弦定理，可得.（11分） （3）由题意有，，则 ，（13分） 所以， 因为，（当且仅当a=c时，等号成立），解得，（14分） 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即，（15分） 而时，单调递减，，，（16分） 所以的值域为.（17分） ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学期末模拟卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C A A D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）在，（1分） 由已知，得，（2分） 而，（3分） 则，（4分） 又，（5分） 所以．（6分） （2）由，得，（8分） 即，（9分） 又，则，整理得，（10分） 因此，解得，（12分） 所以的周长为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由图可知：，所以（2分） 评分在内的频率为，内的频率为，（4分） 则第70百分位数位，，（7分） 所以第70百分位数为88.33.（8分） （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为，（9分） 则应选取评分在的学生人数为：（人）.（11分） （3）由图可知，认可程度平均分为： ，（14分） 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）在中，由， 得，（1分） 则，（2分） 而E为中点，则，又，（3分） 因此，（5分） 又点共线，于是，（6分） 所以.（7分） （2）由，得，（8分） 由（1）得，（9分） ，（10分） 由，，，得，（11分） 所以（13分） .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意知，，， 则，（1分） 故，（2分） 又，且，平面，故平面，（3分） 而平面，故平面平面．（4分） （2）由可得，由（1）知平面， 所以，（5分） 又，（7分） 所以．（8分） （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故，（9分） 因为，，平面，所以平面，（10分） 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面，（11分） 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角，（12分） 又平面，故，所以．（13分） 由题意知直角三角形中，，（14分） 故，（15分） 又，则，所以，（16分） 故二面角的余弦值为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当，且时，得，（1分） 由余弦定理，得，所以，（2分） 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得，（4分） 比如， 在中，由正弦定理得，解得，（5分） 所以，解得.（6分） （2）由，则， 在中，由正弦定理得，解得①，（7分） 在中，， 由正弦定理得，，得②，（9分） 由①②+，即.（10分） 由正弦定理，可得.（11分） （3）由题意有，，则 ，（13分） 所以， 因为，（当且仅当a=c时，等号成立），解得，（14分） 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即，（15分） 而时，单调递减，，，（16分） 所以的值域为.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 2．设，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 3．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 4．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．14海里 B．16海里 C．18海里 D．12海里 5．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A．12 B． C． D． 6．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 7．如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 8．中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得平面平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,其中第13题第一空2分，第二空3分． 12．已知向量，向量，则在上的投影向量是 （注：本题答案用坐标表示） 13．在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 14．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 16．（15分） 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 17．（15分） 在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 18．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 19．（17分） 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． ( 1 / 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分，其中第13题第一空2分，第二空3分） 12．____________________ 13．_______ _________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 2．设，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 3．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 4．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．14海里 B．16海里 C．18海里 D．12海里 5．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（   ） A．12 B． C． D． 6．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（    ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件不是对立事件 C． D． 7．如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 8．中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得平面平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,其中第13题第一空2分，第二空3分． 12．已知向量，向量，则在上的投影向量是 （注：本题答案用坐标表示） 13．在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 14．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 16．（15分） 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 17．（15分） 在中，，E为中点，与交于点. (1)设，求实数的值； (2)若，，，设是上一点，且，求的值. 18．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 19．（17分） 在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$