专题05 导数解答题（4大题型）（人教A版2019）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题05 导数解答题 题型概览 题型01导数与函数极值与最值（精选5题） 题型02导数中恒成立问题（精选8题） 题型03导数与函数的零点（精选6题） 题型04导数与不等式证明（精选5题） 优选提升题（精选10题） 导数与函数极值与最值题型01 一、解答题 1．（23-24高二下·广西北海·期末）已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行. （1）求； （2）求函数在区间上的最值. 2．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最小值． 3．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知在时取得极值，且． (1)试求常数的值； (2)试判断时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 4．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递减，求a的取值范围． 5．（23-24高二下·广西百色·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； (2)若，，，求的单调区间. 导数中恒成立问题题型02 一、解答题 1．（21-22高二下·广西河池·期末）已知函数，其中 (1)若函数在处取得极值，求实数a的值； (2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围. 2．（21-22高二下·广西北海·期末）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高二下·广西北海·期末）已知，函数. (1)当时，求的最小值； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 4．（23-24高二下·广西百色·期末）设，. (1)求函数，的单调区间和极值； (2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值. 5．（23-24高二下·广西南宁·期末）设函数. (1)当时， ①求函数的单调区间； ②对于成立，求实数的取值范围. (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围. 6．（21-22高二下·广西河池·期末）设为实数，函数，. (1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围. 7．（21-22高二下·广西桂林·期末）已知函数 (1)求证：在上有唯一的零点； (2)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 8．（21-22高二下·广西玉林·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 导数与函数的零点题型03 一、解答题 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)判断在上是否有零点，并说明理由． 2．（23-24高二下·广西联考·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 3．（21-22高二下·广西南宁·期末）已知函数． (1)求的导函数； (2)若在上有零点，求的取值范围． 4．（21-22高二下·广西桂林·期末）已知函数 （1）若在时有极值，求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围． 5．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知函数在处有极值0. (1)讨论函数的单调性； (2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围. 6．（21-22高二下·广西北海·期末）已知函数（…是自然对数的底数） . （1）求的单调区间； （2）求函数的零点的个数. 导数与不等式证明题型04 一、解答题 1．（22-23高二下·广西河池·期末）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求证：． 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)证明：． 3．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数，. (1)当时，若，证明：； (2)当时，，求的取值范围. 4．（22-23高二下·广西联考·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个相异零点，，求证：． 5．（21-22高二下·广西玉林·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：． 一、解答题 1．（23-24高二下·广西防城港·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数与函数的图象在处的切线斜率相同. (1)求实数的值； (2)证明：当时，； (3)设为正实数，讨论方程的解的个数. 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数，（）． (1)求函数的最小值； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 4．（22-23高二下·广西北海·期末）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 5．（22-23高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个相异零点，，求证：． 6．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)求函数零点的个数． 7．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数（，且）. (1)讨论的值，求函数的单调区间； (2)求证：当时，. 8．（21-22高二下·广西贵港·期末）已知函数． (1)若的最小值为，求的值； (2)证明：当时，有两个不同的零点，，且． 9．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知函数在处的切线方程为 (1)求实数，的值； (2)设函数，当时，的值域为区间的子集，求的最小值． 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知函数，，是自然对数的底数． (1)求函数的最小值； (2)若在上恒成立，求实数的值； (3)求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 导数解答题 题型概览 题型01导数与函数极值与最值（精选5题） 题型02导数中恒成立问题（精选8题） 题型03导数与函数的零点（精选6题） 题型04导数与不等式证明（精选5题） 优选提升题（精选10题） 导数与函数极值与最值题型01 一、解答题 1．（23-24高二下·广西北海·期末）已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行. （1）求； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）；（2）最小值为－2，最大值为1. 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点的概念及导数的几何意义列出方程组求解a、b即可得解；（2）利用导数判断函数在区间上的单调性从而求出最值. 【详解】（1）函数的导函数为， 由题意得，解得， ∴. （2）由（1）得， 当时，由，得或； 由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， ∴函数在处取得极大值，在处取极小值， ∴，，，， ∴函数在区间上的最小值为－2，最大值为1. 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的性质中的应用，属于中档题. 2．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最小值. 【详解】（1），，， 所以在处的切线方程为，即； （2），令，得， 1 3 0 单调递减 单调递增 所以在区间上的最小值为. 3．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知在时取得极值，且． (1)试求常数的值； (2)试判断时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)在处取得极大值；在处取得极小值；理由见解析 【分析】（1）由可构造方程组求得的值，代回验证可知满足题意； （2）根据单调性和极值定义可直接得到结果. 【详解】（1）由题意知：， 由得：； 当，时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极值，，. （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值；在处取得极小值. 4．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)有极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得极值； （2）由题意分析可得在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则， 且，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：， 若在上单调递减，等价于在上恒成立， 整理得，由二次函数可得，解得， 所以a的取值范围为. 5．（23-24高二下·广西百色·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值； (2)若，，，求的单调区间. 【答案】(1)极小值，极大值为. (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可求解，再利用导数判断函数的单调区间，从而可求得极值； （2）求出导函数，对进行分类讨论，即可求得单调区间. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， ， 则，解得：， 所以， 令，解得：或， 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，为， 当时，函数取得极大值，为； （2），， ，， 当时，，在单调递增， 当时，，，在上单调递增， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递增， ，，在上单调递减， ，，在上单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为. 导数中恒成立问题题型02 一、解答题 1．（21-22高二下·广西河池·期末）已知函数，其中 (1)若函数在处取得极值，求实数a的值； (2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】(1)求出函数的导数，由处导数值为0求出a，再检验作答. (2)将不等式作等价变形，再构造函数并借助导数求函数的最值即可作答. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为，求导得：，因函数在处取得极值， 则有，解得，此时，， 当时，，当时，，因此，函数在处取得极值，则， 所以实数a的值是2. （2）因，， 令，，求导得：， 当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，，于是得， 所以实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 2．（21-22高二下·广西北海·期末）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）求导可得，讨论的符号判断单调性；（2）根据题意可得在恒成立，构建新函数求导，利用导数可得，分析求解． 【详解】（1）函数的定义域为 ①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为 ②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为 综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为 （2）在恒成立，则在恒成立 即在恒成立 令 令，， ，，则在上恒成立 在上单调递增， 在单调递增， 在恒成立，则 的范围是. 3．（23-24高二下·广西北海·期末）已知，函数. (1)当时，求的最小值； (2)若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）由已知可得，进而可求的单调区间； （2）求导得，令进而求导，分类讨论可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 单调递减；单调递增； （2）， 设， ①若，由（1）知，不合题意； ②若， 设单调递减， ，令， 单调递增，， 单调递增，，不合题意； ③， 单调递减，单调递减，； 综上，. 4．（23-24高二下·广西百色·期末）设，. (1)求函数，的单调区间和极值； (2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值. 【答案】(1)增区间：与；减区间：与. 极小值为，极大值为， (2) 【分析】（1）求函数的导函数，解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间，解方程，由此确定函数的极值点； （2）令，由已知可得在区间上恒成立，证明当时，函数单调递增，再判断时，不满足要求，由此确定的范围. 【详解】（1）由题设，有，可得 令可得，所以， 所以函数在区间上单调递增； 令可得，解得，. 函数在区间上单调递增； 令可得，所以， 所以，函数在上的递增区间为：与；递减区间为：. 当时，函数取极大值，极大值为， 当时，函数取极小值，极小值为， （2）关于不等式在区间恒成立， 即：在区间上恒成立. 令， 则， 令 则， 由（1）知：在上的极大值为， 又， 从而在上的最大值为1，即在上恒成立. 于是在上恒成立， 所以在上单调递增； 从而， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增； 从而在上恒成立. 所以，当时在上恒成立. 当时，存在，使得， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以当时，，与已知矛盾， 综合上述，得：. 5．（23-24高二下·广西南宁·期末）设函数. (1)当时， ①求函数的单调区间； ②对于成立，求实数的取值范围. (2)当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1)①单调递增区为，单调递减区间为；② (2) 【分析】（1）①首先求函数的导数，利用导数求函数的单调性；②不等式等价于，构造函数，转化为，利用导数求函数的最小值即可； （2）首先利用公切线的几何意义，变形得到，构造函数，利用导数求函数的值域，转化为与函数图象有2个交点问题，根据函数的值域即可求解. 【详解】（1）①当时，， 当时，，当时，， 的单调递增区为，单调递减区间为； ②这里讨论的是任意大于或等于1的数， 由，得：， 整理得：， 令恒成立，可以得到， 可得， 令， 显然在上为增函数，则 （i）当时，得， 得在上递增， 恒成立，故满足题意； （ii）当时，令，得(舍). 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又， 极小值，不可能恒成立，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是； （2）设公切线切于点，切于， 则有， 即， 得，代入， 得 构造函数，. 当单调递减，当单调递增， 所以 又当时，，当时，， 即，得. 6．（21-22高二下·广西河池·期末）设为实数，函数，. (1)若函数与轴有三个不同交点，求实数的取值范围； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用导数求得函数的单调区间和极值，再利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围； （2）先求得在上的最小值，和在上的最小值，再依据题给条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围 【详解】（1）， 由，解得或；由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 若函数与轴有三个不同交点，则，解得， 所以若函数与轴有三个不同交点，实数的取值范围为； （2）对于，，都有，则， 由（1）知函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，又，， 故当时， 因为，且，则， 故函数在上单调递减，故， 由题意可得，故. 所以实数的取值范围为. 7．（21-22高二下·广西桂林·期末）已知函数 (1)求证：在上有唯一的零点； (2)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数说明函数的单调性，结合零点存在定理进行证明； （2）分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】（1）证明：由题意得：，当时，， 即函数在时单调递增， 又 ， 故在上有唯一的零点； （2）由题意，不等式对于任意恒成立， 即， 即对于任意恒成立，， 令，则， 故单调递增，且, 故令，则， 当时，，递减，当时，，递增， 故， 故，即实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数的零点个数唯一问题以及利用导数解决不等式恒成立问题，解答是要将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,解决的方法是参变分离，构造函数，利用导数求解. 8．（21-22高二下·广西玉林·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值；极小值 (2) 【分析】（1）利用导数来求得的极大值和极小值. （2）由不等式分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 令，可得或2． 所以在区间递增； 在区间递减. 故当时．函数有极大值， 故当时，函数有极小值； （2）由，有， 可化为， 令，有， 令，有， 令，可得，可得函数的增区间为，减区间为， 有， 可知，有函数为减函数， 有， 故当时，若恒成立，则实数a的取值范围为． 【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解. 导数与函数的零点题型03 一、解答题 1．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)判断在上是否有零点，并说明理由． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极小值为，无极大值； (2)函数在上有零点，理由见解析 【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导确定单调区间和极值； （2）根据零点存在定理确定函数在上是否有零点. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，得，的增区间为， 令，得，的减区间为 的极小值为，无极大值. （2）在上有零点， 因为，， 所以， 由零点存在定理可知，函数在上有零点. 2．（23-24高二下·广西联考·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)在上的最大值为. (2)的取值范围为. 【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值； （2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，， 所以当时，函数取最大值，最大值为. 所以在上的最大值为. （2）因为， 所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 当时，函数取极大值，极大值为， 且当时，，当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以，且， 解得，. 所以的取值范围为. 3．（21-22高二下·广西南宁·期末）已知函数． (1)求的导函数； (2)若在上有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得； （2）由（1）及的取值范围可得恒成立，即可得到在上单调递增，即可求出函数的最值，依题意可得，即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：因为，所以 （2）解：由（1）知， 因为，所以， 所以， 从而在上单调递增， 所以，． 因为在上有零点，所以， 解得． 4．（21-22高二下·广西桂林·期末）已知函数 （1）若在时有极值，求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）根据在取得极值，得到解得的值；（2）利用（1）中得到函数的解析式，对其求导，进而找到其单调性和极值，结合图像，可得到的取值范围． 试题解析：（1） 由已知得 解得: 经验证，符合题意． （2）由（1）知 由 得 列表如下： + 0 — 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据表格，当时函数取得极大值，且极大值为，当时函数取得极小值，且极小值为，所以根据题意可知 所以 的取值范围是:． 考点：1．函数的极值；2．函数求导；3．函数的零点个数． 5．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知函数在处有极值0. (1)讨论函数的单调性； (2)记，若函数有三个零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)增区间，，减区间上单调递减 (2) 【分析】（1）求得，根据题意列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间； （2）根据题意得到，求得，由（1）中函数的单调性，求得函数极值，结合题意 列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为在处有极值0， 可得，即，解得或， 当时，， 此时函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去， 故，，所以， 可得， ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）解：由（1），可得， 则， 由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 要使函数有三个零点，则须满足， 解得， 故实数k的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 6．（21-22高二下·广西北海·期末）已知函数（…是自然对数的底数） . （1）求的单调区间； （2）求函数的零点的个数. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）时函数没有零点；或时函数有且只有一个零点；时，函数有两个零点. 【分析】（1）先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数的正负，求其单调区间； （2）由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，从而可得答案 【详解】（1）因为，所以， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，得；令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）显然0不是函数的零点，由，得. 令，则. 或时，，时，， 所以在和上都是减函数，在上是增函数， 时取极小值， 又当时，. 所以时，关于的方程无解， 或时关于的方程只有一个解， 时，关于的方程有两个不同解. 因此，时函数没有零点， 或时函数有且只有一个零点， 时，函数有两个零点. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数判断函数的零点，解题的关键是由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，考查数形结合的思想，属于中档题 导数与不等式证明题型04 一、解答题 1．（22-23高二下·广西河池·期末）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值； 分析要证，只需证， 令，利用导数求得即可. 【详解】（1）， ， 设 在上为单调递增函数， ，当时，， 当时，，在上单调递减；在上单调递增， 则； （2）证明：， 只需证，即， 令，则， 当时，令， 则在上单调递增， 即在上为增函数， 又因为， 所以存在，使得， 由， 得，即，即， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以， 即． 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点是公共点结合斜率可求出的值； （2）将问题转化为证，然后构造函数和，分别利用导数求出的最大值和的最小值，只需即可. 【详解】（1）解：由题意得， 由切线的斜率为，得， 则切线方程为， 当时，，所以，得． （2）证明：由（1）可知， 要证，即证． 设，则． 令，则， 所以在上递减， 因为， 所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以． 因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以， 即． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为求两个函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 3．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数，. (1)当时，若，证明：； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先不等式变形后，构造函数，利用导数证明，即可证明； （2）首先构造函数，分，和三种情况讨论函数的单调性，讨论不等式，并得到的取值范围. 【详解】（1）当时，需证，只需证， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以； （2）因为，所以， 设，可得， 又，则， 若，，由（1）知，当时，； 当时，， 所以恒成立，符合题意； 若，， 当时，，不合题意； 若，令， 则，因为，所以， 所以在上单调递增，因为，又， 所以存在，， 当时，，在上单调递减，，不合题意； 综上，，即的取值范围是. 【点睛】方法点睛：证明不等式的题目常常通过等价变形转化为证明在定义域（或给定区间）上恒成立，通过构造函数，求不等式号左边的最值，进而得结果. 4．（22-23高二下·广西联考·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个相异零点，，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）讨论，，结合导数研究在其定义域区间上的单调性即可. （2）令，由，为两个相异零点可得，，应用分析法，证只需证即可，构造，应用导数研究其性质有，结论即得证. 【详解】（1）由题可知的定义域是，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为函数有两个相异零点，，又由于， 故不妨设，且有，， ∴， 要证 ， 令，则，所以只要证明，时恒成立， 令，， ，由于已知， ∴恒成立，所以在递增， ∴， 所以时，恒成立，即恒成立，从而证明. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明． 5．（21-22高二下·广西玉林·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若函数f（x）有三个极值点，，，且．证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】(1)当时求出，利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可得出结果； (2)根据极值点的概念可得、有2个根，利用导数讨论函数的单调性，作出的大致图象，进而有，结合分析法证明和对数均值不等式即可证明. 【详解】（1）当时，， 则，， 所以，则曲线在点处的切线方程为： ，即； （2）由， 得函数的定义域为R， ， 由题意知，方程有3个根， 则，方程有2个根， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 作出函数的大致图象，如图， 由图可知，当时，函数图象有2个交点， 横坐标分别为，且， 要证明，即证，即证， 因为，得，有，即. 下面证明，即证， 设，令，则，，令， ，所以函数在上单调递减， 故，所以； 接下来证明，即证，设， 令，则，，令， ，所以函数在上单调递增， 故，所以， 综上，得， 即，所以，故， 所以. 一、解答题 1．（23-24高二下·广西防城港·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； (3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)在处取得极大值，无极小值 (2)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减 (3)整数的最大值为5 【分析】（1），令或可求单调区间，进而求得极值； （2），然后分类讨论可求得的单调区间； （3）根据已知式子进行变量分离可转化为恒成立，令，然后利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的最小值，进而得出所求得答案. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减. （3）在时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且 ，所以在存在唯一实数， 使得，即，所以 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 故，又，整数的最大值为5． 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题.需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围.属于难题. 2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知函数与函数的图象在处的切线斜率相同. (1)求实数的值； (2)证明：当时，； (3)设为正实数，讨论方程的解的个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案及解析 【分析】（1）求导，可得，，根据题意可得，求解即可； （2），求导可判断函数的单调性，可证结论； （3）令，求导，令，可得，对分类讨论可判断的单调性，结合根的存在性定理可判断方程的解的个数. 【详解】（1），， ，， 由题意可得，，，解得； （2）由（1）知，， 令， 则， 在其定义域内为单调递增函数， 又， 当时，， 即当时，； （3）令，则定义域是， . 令，， （i）当时，，则， 在上单调递减，且， 在上存在1个零点； （ii）当时，， 设方程的两根分别为，，且， 则，， 有两个零点，，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，且，则， 又因为，，且， 故有，由零点存在性定理可知， 在恰有一个零点，在也恰有一个零点， 易知是的零点，所以恰有三个零点； 综上所述，当时，方程有1个解； 当时，方程有3个解. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，通过构造函数，求导研究函数的单调性证明，是一种常见的主法与思路.考查方程的解的个数，通过构造函数，求导，分类讨论可得函数的单调区间，运用根的存在性定理可判断解的个数. 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数，（）． (1)求函数的最小值； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，得出函数的极值即可得最值； （2）转化为恒成立，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解； （3）由（1）可转化不等式，再由裂项相消法即可得证. 【详解】（1），， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以. （2）因为恒成立，即恒成立， 令（）， ， 令（）， ，在单调递增， 因为，， 所以，使，即，则， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 故， 所以， 令（），，在单调递减， 因为， 所以a的取值范围是. （3）由（1）知，当且仅当时，等号成立， 要证， 只需证， 因为， ， ， . 故原命题得证. 【点睛】关键点点睛：第三问在证明过程中，关键在于取对数后，利用第一问的结论，转化不等式后去掉对数，再由裂项相消法可得证. 4．（22-23高二下·广西北海·期末）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为，从而利用反比例函数的单调性即可得解； （2）将问题转化为能成立问题，构造函数研究得的最值，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立， 所以，易知在上单调递减，故， 所以. （2）因为，使得，所以能成立， 则能成立，又，故能成立， 令，则，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，注意到， 所以当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以， 故，即实数a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别： 恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 有解问题： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． 5．（22-23高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个相异零点，，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）讨论，，结合导数研究在其定义域区间上的单调性即可. （2）令，由，为两个相异零点可得，，应用分析法，证只需证即可，构造，应用导数研究其性质有，结论即得证. 【详解】（1）由题可知的定义域是，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为函数有两个相异零点，，又由于， 故不妨设，且有，， ∴， 要证 ， 令，则，所以只要证明，时恒成立， 令，， ，由于已知， ∴恒成立，所以在递增， ∴， 所以时，恒成立，即恒成立，从而证明. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明． 6．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)求函数零点的个数． 【答案】(1) (2)有2个零点 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数在上的单调性，即可求得答案； （2）分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可判断出答案. 【详解】（1）∵， ∴， 令，则， ∵，∴，∴在上单调递增， 又，， 故存在唯一，使得， 则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故为在上的极小值， 又，，则， 故函数在区间上的最大值为. （2）函数的定义域是，， ①当时，∵，， ∴，∴在上单调递减， 又，∴，故此时的零点为； ②当时，由（1）知，，，， 且在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间有唯一零点，也即在上有唯一零点； ③当时，令，， 则， ∴在上单调递增， ∴， 又，故对任意，都有， ∴函数在区间上没有零点， 综上，函数有且仅有2个零点． 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及函数的单调性、极值以及零点问题，解答的难点在于零点个数的判断，解答时要能结合导数判断函数的单调性以及函数值情况进行判断. 7．（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数（，且）. (1)讨论的值，求函数的单调区间； (2)求证：当时，. 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数导数，分分类讨论即可得解； （2）当时利用函数单调性可得，放缩可得， 根据裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）由知函数定义域为， ， ①当时，若，则，若，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； ②当时，若，则，若，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）令，则，所以， 由（1）可知在上单调递减，故，（当时取等号)， 所以，即， 当时，，即， 即 令，则 ， 所以， 故当时，. 【点睛】关键点点睛：时，利用函数单调性得出，当时，放缩得出，变形得出是解题的关键，再由裂项相消法及不等式的性质即可得解. 8．（21-22高二下·广西贵港·期末）已知函数． (1)若的最小值为，求的值； (2)证明：当时，有两个不同的零点，，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而求出的值； （2）由（1）及零点存在性定理得到在和上各有一个零点，不妨设，则，，对其两边取对数，即可得到，则要证，即证，再令，，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证； 【详解】（1）解：因为定义域为，所以， ①当时恒成立，此时在定义域上单调递增，函数无最小值，不符合题意； ②当时，令，解得，当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； （2）证明：由（1）可知，当时， 又，，所以在和上各有一个零点， 即有两个不同的零点，，不妨设， 即，， 即，， 两边取对数可得，， 所以，即， 要证，即证， 即证， 令，，即证， 令，， 所以， 所以在上单调递增，又，所以，即， 所以，得证. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化不等关系为，再构造函数即可得证. 9．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知函数在处的切线方程为 (1)求实数，的值； (2)设函数，当时，的值域为区间的子集，求的最小值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）对函数求导数，由切线斜率及切点坐标，列出方程组，解出a，b的值； （2）利用导数研究的单调性，得函数的最值的取值范围，求得m，n的取值范围. 【详解】（1）定义域为，． 由题意知，解得，． （2）， 则． 令，其中，则， 所以函数在上单调递增． 因为，，所以存在唯一， 使得，即，可得． 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减． 所以，当时， 因为，，所以， 即，因为， ． 所以当时，， 即，． 所以，即的最小值为1． 【点睛】计算的单调性和最值过程中，利用隐零点的思想表示出函数的最大值，求出最大值得取值范围. 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）已知函数，，是自然对数的底数． (1)求函数的最小值； (2)若在上恒成立，求实数的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，进而可得最值； （2）将不等式恒成立转化为求函数的最大值问题，可得参数取值范围； （3）根据函数与的单调性直接可证不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． （2）函数，， 则， 当时，，在上单调递减， 此时存在，使得，与题设矛盾， 当时，时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使在恒成立， 则，即， 又由（1）知即，（当且仅当时，等号成立）． 令有，故且， 所以． （3）由（1）知（当且仅当时等号成立）． 令，则，故，即， 所以 令，则； 由（2）知在上恒成立， 所以（当且仅当时等号成立）． 令，则，故，即， 所以． 令，则 综上，. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$