10 三角形的中位线 -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

２４　 　 　三角形的中位线 １．如图,在△ABC中,D、E 分别是AB、AC的中点．若DE＝２,则BC的长是 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ (第１题) 　　　　　　　 (第３题) ２．小区的一角有一块四边形的空地,为了美化小区,社区居委会计划在空地上建一个四边 形的水池,使水池的四个顶点恰好在四边形各边的中点上,则水池的形状一定是 (　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ３．如图,在△ABC中,D、E 分别是边AB、BC的中点．若△DBE 的周长是６,则△ABC的周 长是 (　　) A．８ B．１０ C．１２ D．１４ ４．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,D、E 分别是边AB、AC 的中点,延长BC 到点F,使 CF＝１２BC． 若AB＝１０,则EF的长是　　　　． (第４题) 　　　　　 (第５题) ５．如图,在四边形ABCD 中,P 是对角线BD 的中点,E、F 分别是AB、CD 的中点,AD＝ BC,∠PEF＝１８°,则∠PFE 的度数为　　　　． ６．如图,在△ABC中,D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点． (１)EF是△ABC的　　　　线,AD 是△ABC的　　　　线． (２)求证:EF与AD 互相平分． ２５　 　　７．如图,△ABC的中线BD、CE 相交于点O,F、G分别是BO、CO的中点．试说明EF与DG 平行且相等． ８．如图,已知AD 是△ABC的高,∠B＝２∠C,M 是BC 的中点．求证:MD＝１２AB． ９．(１)如图１,在△ABC 中,A１、B１、C１分别是边 BC、AC、AB 的中点,连接 A１B１、B１C１、 C１A１,则图中有　　　　个平行四边形． (２)若△ABC的周长为a,面积为S,则△A１B１C１的周长为　　　　,面积为　　　　． (３)如图２,取△A１B１C１三边的中点A２、B２、C２,得到△A２B２C２,再取△A２B２C２ 三边的中 点A３、B３、C３􀆺􀆺继续下去,得到△AnBnCn,则△AnBnCn 的周长为　　　　,面积 为　　　　． ２６　 １０．如图１,在等腰三角形 ABC 中,∠A＝１２０°,AB＝AC,点 D、E 分别在边AB、AC 上, AD＝AE,连接BE,M、N、P 分别为DE、BE、BC的中点,连接 MN、NP． 图１ 　　　　 图２ (１)观察猜想:图１中,线段MN、NP的数量关系是　　　　,∠MNP的大小为　　　　． (２)探究证明:把△ADE 绕点A 顺时针旋转到如图２所示的位置,连接 MP、BD、CE,判 断△MNP 的形状,并说明理由． (３)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD＝１,AB＝３,请求出△MNP 面积的最大值． １１．如图,D、E、F分别是△ABC各边的中点,则下列说法错误的是 (　　) A．△BDE 和△DCF 的面积相等 B．四边形AEDF 是平行四边形 C．若AB＝BC,则四边形AEDF 是菱形 D．若∠A＝９０°,则四边形AEDF 是矩形 (第１１题) 　　　　 第一次折叠 　　 第二次折叠 (第１２题) １２．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图,已知三角形纸片ABC,第一次折叠使 点B 落在边BC 上的点B′处,折痕AD 交BC 于点D;第二次折叠使点A 落在点D 处, 折痕 MN 交AB′于点P．若BC＝１２,则 MP＋MN＝　　　　． ７２　 综上所述,当EH 的长度为２或 ２时,△AQG为等腰三角形． ６　平行四边形(１) １．C ２．C ３．B ４．２０ ５．证明:(１)∵O为对角线BD 的中 点,∴OD＝OB．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DF∥EB, ∴∠DFE＝∠BEF．在△DOF和△BOE中, ∠DFO＝∠BEO, ∠DOF＝∠BOE, DO＝BO, ì î í ïï ï ∴△DOF≌△BOE(AAS)．　(２)∵△DOF≌△BOE,∴DF＝ BE．∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,∴DE＝BF． ６．C ７．C ８．１２cm２　９．AB＝８cm,BC＝１２cm １０．１０ １１．连接BF,猜想BF＝DE．∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC,∴ ∠DAE＝ ∠BCF．∵AE＝CF, ∴△ADE≌△CBF,∴BF＝DE． １２．２ ７　平行四边形(２) １．B ２．C ３．C ４．D ５．２ ６．(１)证明:∵BE、DG 分 别平 分 ∠ABC、∠ADC,∴ ∠CBE＝ １２ ∠CBA ,∠ADG＝ １ ２∠ADC．∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ ∠CBA＝ ∠ADC,CB＝AD,CB∥AD．∴ ∠CBE＝ ∠ADG,∠BCE＝ ∠DAG．∴△BCE≌△DAG．∴BE＝DG,∠BEC＝∠DGA． ∴∠BEG＝∠DGE．∴BE∥DG．　(２)过点E 作EH⊥BC 于 点H．∵BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,∴EH＝EF＝６． ∵▱ABCD 的周长为５６,∴AB＋BC＝２８,∴S△ABC ＝１２AB 􀅰 EF＋１２BC 􀅰EH＝ １２EF 􀅰(AB＋BC)＝ １２ ×６×２８＝８４． ７．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD＝AB,AD＝CB, ∠DAB＝ ∠BCD．又 △ADE 和 △BCF 都 是 等 边 三 角 形, ∴DE＝BF,CF＝AE,∠DAE＝ ∠BCF＝６０°．∵ ∠DCF＝ ∠BCD－ ∠BCF,∠BAE＝ ∠DAB－ ∠DAE,∴ ∠DCF＝ ∠BAE,∴△DCF≌△BAE,∴DF＝BE．又DE＝BF,∴四边形 BEDF是平行四边形． ８．证明:连接BD 交AC于点O．∵四 边形DEBF为平行四边形,∴OD＝OB,OE＝OF．∵AF＝CE, ∴AF－EF＝CE－EF,即 AE＝CF,∴AE＋OE＝CF＋OF, 即OA＝OC．又∵OD＝OB,∴四边形ABCD 是平行四边形． ９．互相平分．理由如下:在 ▱ABCD 中,AB∥CD 且AB＝ CD．∵点E、F分别在AB、CD 上,∴DF∥BE．又∵DF＝BE, ∴四边形BEDF为平行四边形,∴DE∥BF．同理,CE∥AF． ∴四边形ENFM 为平行四边形,∴EF 与 MN 互相平分．　 １０．D ８　矩形、菱形 １．A ２．C ３．A ４．２０cm ２４cm２　５．４３ ６． (１)证明: ∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DCE．∵E 是 AD 的中点,∴AE＝ DE．在 △AEF 和 △DEC 中, ∠AFE＝∠DCE, ∠AEF＝∠DEC, AE＝DE, ì î í ïï ï ∴ △AEF≌ △DEC,∴AF＝CD．∵AF＝BD,∴BD＝CD． (２)四边形AFBD 是矩形．证 明:∵AB＝AC,D 是BC 的 中 点,∴AD⊥BC, ∴∠ADB＝９０°．∵AF＝BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行 四边形．又∠ADB＝９０°,∴四边形AFBD 是矩形． ７．(１)连 接AC,证明△ABE≌△ACF,得AE＝AF．又∵∠EAF＝６０°, ∴△AEF为等边三角形． (２)２０° ８．(１)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD＝BC,∠D＝∠B＝９０°．由折叠知AD＝ BC＝EC,∠D＝ ∠B＝ ∠E＝９０°．在 △DAF 和 △ECF 中, ∠DFA＝∠EFC, ∠D＝∠E, DA＝EC, ì î í ïï ï ∴△DAF≌△ECF(AAS)．　(２)∵△DAF≌ △ECF,∴∠FAD＝∠FCE＝４０°．∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠DAB＝９０°,∴∠EAB＝∠DAB－∠FAD＝９０°－４０°＝ ５０°．由折叠知∠CAE＝∠CAB,∴∠CAB＝２５°．　９．∵BE⊥ AD,BF⊥CD,∴∠BEA＝∠BFC＝９０°．又四边形 ABCD 是 平行四边形,∴∠BAE＝∠BCF,∴∠ABE＝∠CBF．∵BG＝ BH,∴ ∠BGH＝ ∠BHG,∴ ∠BGA＝ ∠BHC,∴ △BGA≌ △BHC,∴AB＝BC,∴ 四边形 ABCD 为菱形． １０．１０　 １１．２４ ９　正方形 １．B ２．D ３．１ ４．１５° ５．B ６．６５　７．(１)证 明: ∵∠AEF＝９０°,∴ ∠FEC＋ ∠AEB＝９０°．在 Rt△ABE 中, ∠AEB＋∠BAE＝９０°,∴∠BAE＝∠FEC． (２)证明:∵G、 E分别是正方形ABCD 的边AB、BC 的中点,∴AG＝GB＝ BE＝EC,∠AGE＝１８０°－４５°＝１３５°．∵CF 是∠DCH 的平分 线,∴ ∠ECF＝９０°＋４５°＝１３５°＝ ∠AGE．又 ∵ ∠GAE＝ ∠FEC,∴△AGE≌△ECF． (３)５２ ８． (１)不变．理由如下: 在 Rt△ABE和Rt△AHE中,AB＝AH,AE＝AE,∴Rt△ABE≌ Rt△AHE,∴BE＝HE,∠HAE＝ ∠BAE．同 理,DF＝HF, ∠DAF＝∠HAF．∴∠EAF＝１２∠BAD＝４５°．　 (２)不变．理 由如下:∵ △ECF 的 周 长 ＝EF＋CE＋CF＝BC＋DC, ∴△ECF的周长等于正方形边长的２倍． ９．(１)证明:连接 AD．∵△ABC是等腰直角三角形,D 是BC 的中点,∴AD⊥ BC,AD ＝BD ＝DC,∴ ∠DAQ ＝ ∠DBP．又 BP ＝AQ, ∴△BPD≌△AQD,∴PD＝QD,∠ADQ＝∠BDP．∵∠BDP＋ ∠ADP＝９０°,∴ ∠ADP＋ ∠ADQ＝９０°,即 ∠PDQ＝９０°, ∴△PDQ为等腰直角三角形． (２)当点P运动到AB的中点 时,四边形APDQ是正方形．理由略． １０．C １１．B １２．B １０　三角形的中位线 １．B ２．A ３．C ４．５ ５．１８° ６．(１)中位 中 (２)证 明:连接 DE、DF．∵D、E、F 分别是边BC、AB、AC 的中点, ∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴EF 与AD 互相平分． ７．连接AO．∵E、F 分别是AB、OB 的中 点,∴EF∥AO,EF＝ １２AO． 同理,DG∥AO,DG＝ １２AO． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３　 ∴EF与DG 平行且相等． ８．证 明:如 图,取AC 的中点N,连接 MN、DN．∵M 是BC 的中点,N 是AC 的中点,∴MN∥ AB,MN＝１２AB ,∴∠B＝∠NMC．∵AD 是△ABC的高,N 是 AC的中点,∴DN＝CN,∴∠C＝∠NDC．∵∠NMC＝∠NDC＋ ∠MND,∠B＝２∠C,∴ ∠MDN＝ ∠MND＝ ∠C,∴MD＝ MN,∴MD＝ １２AB． ９． (１)３　(２)１２a １ ４S (３)１２na　 １ ４nS　１０． (１)相等　６０°　(２)△MNP是等边三角形．理由如 下:由 旋 转 可 得 ∠BAD＝ ∠CAE．又 AB＝AC,AD＝AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD＝CE,∠ABD＝∠ACE．∵M、N 分别为DE、BE的中点,∴MN 是△EBD 的中位线,∴MN＝ １ ２BD ,且 MN∥BD．同理可证 PN＝ １２CE ,且 PN∥CE, ∴MN＝PN,∠MNE＝∠DBE,∠NPB＝∠ECB．∴∠MNE＝ ∠DBE＝ ∠ABD＋ ∠ABE＝ ∠ACE＋ ∠ABE,∠ENP＝ ∠EBP＋∠NPB＝∠EBP＋∠ECB．∵∠MNP＝∠MNE＋ ∠ENP＝ ∠ACE＋ ∠ABE＋ ∠EBP＋ ∠ECB＝ ∠ABC＋ ∠ACB＝６０°,∴△MNP 是等边三角形．　(３)根据题意得 BD≤AB＋AD,即 BD≤４,∴MN≤２,△MNP 的 面 积 ＝ １ ２MN 􀅰 ３ ２MN＝ ３ ４MN ２,∴△MNP 面积的最大值为 ３． １１．C　１２．６ １１　矩形、菱形、正方形 １．D ２．B ３．９０° ４．２０ ５．D ６．不会 ７．１１ ８．(２,４) 或(３,４)或(８,４) ９．EF＝PD．理由如下:连接BP、BD．在正 方形ABCD 中,AC 垂直平分BD,∴BP＝PD．∵PE⊥AB, PF⊥BC,∠ABC＝９０°,∴四边形EBFP 是矩形,∴PB＝EF, ∴EF＝PD． １０．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CF∥ED,∴∠FCG＝∠EDG．∵G 是CD 的中点,∴CG＝ DG．又 ∠CGF＝ ∠DGE,∴ △FCG≌ △EDG,∴FG＝EG． ∵CG＝DG,∴四边形CEDF 是平行四边形．　(２)①３．５　 ②２　１１．(１)证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB＝AD, ∴∠ABD＝∠ADB,∴∠ABE＝∠ADF．在△ABE 和△ADF 中, AB＝AD, ∠ABE＝∠ADF, BE＝DF, ì î í ïï ï ∴△ABE≌△ADF(SAS)．　(２)四边 形AECF是菱形．理由如下:连接AC,交BD 于点O．∵四边 形ABCD为正方形,∴OA＝OC,OB＝OD,AC⊥EF．∵BE＝ DF,∴OB＋BE＝OD＋DF,即OE＝OF．又OA＝OC,∴四边 形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形． １２．(１)证明:∵DE是△ABC 的中位线,∴D、E 分别是AB、 AC的中点,∴AD＝１２AB．∵E 是AC 的中点,F 是BC 的中 点,∴EF 是 △ABC 的 中 位 线,∴EF∥AB,EF＝ １２AB , ∴EF＝AD,EF∥AD,∴四边形ADFE 是平行四边形,∴AF 与DE 互相平分．　(２)当AF＝１２BC 时,四边形ADFE 为矩 形．理由如下:∵线段DE为△ABC的中位线,∴DE＝１２BC． ∵AF＝１２BC ,∴AF＝DE．由(１)知四边形ADFE是平行四边 形,∴四边形ADFE 为矩形． １３．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC．∵DE＝AD,∴DE＝BC． ∵点E在AD 的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE 是平 行四边形．∵BE⊥DC,∴四边形DBCE 是 菱形．　(２)如图,作点 N 关于BE 的对称 点N′,过点 D 作DH ⊥BC 于点 H．由菱 形的对 称 性 知 点 N′在 DE 上,∴PM＋ PN＝PM＋PN′,∴当P、M、N′三点共线 时,PM＋PN＝PM＋PN′＝MN′．∵DE∥ BC,∴MN′的最小值为平行线间的距离DH 的长,即PM＋ PN 的最小值为DH 的长．在 Rt△DBH 中,∠DBH＝６０°, DB＝２,∴DH＝２× ３２＝ ３ ,∴PM＋PN 的最小值为 ３． １２　分式　分式的基本性质 １．B ２．C ３．D ４．C ５．D ６．３　７．２０x－３y５０x＋２０y　 ８．１５００２x＋３５ ９．A １０．D １１．D １２．C １３． ６０ m (答案不 唯一) １４．３２ １５．２０２１．５ １６．０＜x＜ ３ ２ １７． 选取①② 得a ２－２ab＋b２ ３a－３b ＝ (a－b)２ ３(a－b)＝ a－b ３ ． 当a＝６,b＝３时,原式＝ ６－３ ３ ＝１． (答案不唯一) １８．A １９．x≠－１ １３　分式的加减 １．C ２．A ３．x ４．２３ ５． (１)１ab＝ ９ab ９a２b２ ,a ３b２＝ ３a３ ９a２b２ , ３ ９a２b＝ ３b ９a２b２ (２) ３a２a－２b＝ ３a ２a－２b ,２b b－a＝ － ４b ２a－２b　 (３)１a＋１＝ a－１ a２－１ ,３ １－a＝－ ３a＋３ a２－１ , ５ a２－１＝ ５ a２－１ ６． (１)原 式＝a＋b (２)原式＝ １x＋３ ７．－６ ８． 原式＝x－１x＋１ ９． 原 式＝ ３x(x＋３) １０．A＝２ ,B＝１ １１．１ １２．(１)A＝ (x＋１)２ (x＋１)(x－１)－ x x－１＝ x＋１ x－１－ x x－１＝ １ x－１． (２)解不等式 x－１≥０,得x≥１,解不等式x－３＜０,得x＜３,∴不等式组的 解集为１≤x＜３．又x为整数∴x＝１或２．∵x≠±１,∴x＝２, ∴A＝ １２－１＝１． １３． (１)１００(x＋y) (１００x ＋ １００ y ) x＋y ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋