精品解析：2025年广东省汕头市潮南区陈店公校中考二模数学试题

2024～2025学年度第二学期 九年级数学科模拟考试卷（B） 说明：1．本卷满分120分；2．考试时间120分钟；3．答案请写在答题卷上。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值． 【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，， ∴和互为相反数， ∴+=0， 解得m=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键． 2. 下列立体图形中，主视图是圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据平方差公式，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 4. 将有理数用四舍五入法精确到千位是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查近似数及科学记数法，根据一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确到的数位为止所有数字都是有效数字，根据精确度找出最后一位上的有效数字所在的数位，再写成科学记数法形式即可得到答案； 【详解】解：； 故答案为：C． 5. 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 57.5° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线及角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵EC平分∠AED， ∴∠AEC=∠CED=∠1， ∵∠1=65°， ∴∠CED =∠1=65°， ∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键根据直线平行和角平分线的性质得出角度之间的关系即可得出答案． 6. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 7. 若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征，同类项的性质．熟练掌握关于原点对称的点的特征，以及点的象限特征是解题的关键． 根据题意得出，确定点即为，再由关于原点对称的点的特点得出关于原点的对称点为，即可得出结果． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得， ∴点即为， 关于原点的对称点为， ∴点为在第四象限， 故选：D 8. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数． 【详解】解：连接AD，则AD=AG=3， ∵BC与圆A相切于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==， ∴∠BAD=60°， ∵∠CDE=18°， ∴∠ADE=90°﹣18°=72°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=72°， ∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°， ∴∠GAC=36°+60°=96°， ∴∠GFE=∠GAC=48°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键． 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则的最大值是________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得， ∴的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 12. 若是关于的方程的解，则的值是______． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的解等知识，理解并掌握一元二次方程的解得定义是解题关键．将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2021． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________. 【答案】-6 【解析】 【详解】解：因为四边形OABC是菱形, 所以对角线互相垂直平分, 所以点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上, 设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,), 因此AC=－2x，OB=， 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得: , 解得 故答案为：-6． 14. 有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的相关知识，根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析． 【详解】解： ， 三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645； 三位数是5的倍数的概率为：； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为____________ 【答案】1或2 【解析】 【分析】由含的直角三角形的性质可求，，利用勾股定理求得，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，，， ∵点D为的中点， ， ， ， 如图，当时， ，， ， ， ， 如图，当时，取的中点H，连接， ∵点D是中点，点H是的中点， ，， ，， ， ， ， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；、0、1 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组以及求不等式组的整数解，掌握解不等式的步骤是解题的关键； 分别求出各个不等式的解集，再取解集相交的部分，即可得到不等式组的解集，再取整数解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． ∴它的所有整数解为：、0、1． 17. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______°，本次调查数据的中位数落在_______组内． 【答案】（1）50；图见解析 （2）36，C 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）组人数除以所占的比例求出总人数，进而求出组人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以组人数所占的比例进行求解即可；根据中位数的求法求解即可． 【小问1详解】 解：； 组人数为：，补全条形图如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 ； ∵， ∴本次调查数据的中位数落在C组内， 故答案为：36；C． 18. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点在同一直线上，求该建筑物的高度． （精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形． 根据题意得到，然后根据三角函数的定义，计算即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 答：该建筑物的高度约为． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知a、b是正实数，那么，是恒成立的． （1）由恒成立，请你说明恒成立； （2）如图，已知是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，连接，作，垂足为C，，，由此图说明恒成立． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，完全平方公式，直径所对的元周建新是直角，不等式的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此可证明结论； （2）先证明，进而可证明，得到，证，再由垂线段最短可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 由垂线段最短可知， ∴． 20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用． 【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元． 【解析】 【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆种树苗比每捆种树苗多10棵”列方程即可求解； （2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解． 【详解】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元， 根据题意，得， 解之，得． 经检验知，是原分式方程的根，并符合题意． 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元． （2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元， 设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则 ． ∵是的一次函数，，随着的增大而减小，， ∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，． 答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线． （2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）﹣． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论． （2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案． 【详解】解：（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ， ∴直线PQ是⊙O的切线． （2）连接OE， ∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ， ∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°， 又∵OA＝OE， ∴△AEO为等边三角形， ∴∠AOE＝60°． ∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO ＝S扇形﹣OA•OE•sin60° ＝ ＝． ∴图中阴影部分的面积为﹣． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点， （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC； （3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC⊥PB，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证； （2）根据等边三角形性质，得到△AEP三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证； （3）过P作PM⊥CD，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，利用面积求出BQ，再根据BP=2BQ求出BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理求出AP，根据AF-AP求出PF，由PM与AD平行，得到△PMF与△ADF相似，由相似得比例求出PM，再由FC=AE=3，求出△CPF面积即可． 【详解】解：（1）由折叠得到BE=PE，EC⊥PB， ∵E为AB的中点，∴AE=EB，即AE=PE， ∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA， ∵∠AEP为△EBP的外角，∴∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE=（180°-2x）÷2=90°﹣x，∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，∴AF∥EC，∵AE∥FC， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°， ∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°， ∴∠BAP=∠BEQ， 在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB， ∴△ABP≌△EBC（AAS）， ∵△EBC≌△EPC， ∴△ABP≌△EPC； （3）过P作PM⊥DC，交DC于点M， 在Rt△EBC中，EB=3，BC=4， 根据勾股定理得：EC==5， ∵S△EBC=EB•BC=EC•BQ，∴BQ==， 由折叠得：BP=2BQ=， 在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根据勾股定理得：AP==， ∵四边形AECF为平行四边形，∴AF=EC=5，FC=AE=3，∴PF==， ∵PM∥AD，∴，即， 解得：PM=，则S△PFC=FC•PM==． 【点睛】本题考查四边形综合题． 23. 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得； （3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为， 设点的坐标为，则， 由旋转的性质得：， ，即， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 当时，， 所以点的坐标为． 【小问3详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点， 这时点落在点的位置，且， ，即，恰好在对称轴直线上， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期 九年级数学科模拟考试卷（B） 说明：1．本卷满分120分；2．考试时间120分钟；3．答案请写在答题卷上。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将有理数用四舍五入法精确到千位是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 57.5° D. 65° 6. 已知关于x一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若与是同类项，则点关于原点的对称点所在象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ） A. 50° B. 48° C. 45° D. 36° 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则的最大值是________． 12. 若是关于的方程的解，则的值是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________. 14. 有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是______． 15. 如图，在中，，，，D为中点．若点E在边上，且，则的长为____________ 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是______°，本次调查数据的中位数落在_______组内． 18. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点在同一直线上，求该建筑物的高度． （精确到．参考数据：，，，） 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知a、b是正实数，那么，是恒成立的． （1）由恒成立，请你说明恒成立； （2）如图，已知是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，连接，作，垂足为C，，，由此图说明恒成立． 20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC． （1）求证：直线PQ是⊙O的切线． （2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点， （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC； （3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积． 23. 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$