3.4 乘法公式（第二课时 讲练）（9大题型65题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

完全平方公式 两数和的完全平方公式：公式为，即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍. 两数差的完全平方公式：公式为，即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍. 完全平方公式的推导 两数和的完全平方公式： 两数差的完全平方公式： 完全平方公式的常见形式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式统称完全平方公式.(2)公式中的字母，可以表示单项式，也可以表示多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式进行计算. 【典例】今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（　　） 计算：①（﹣3a2）3＝﹣9a6；②（﹣a2）⋅a3＝a5；③（2x﹣y）2＝4x2﹣y2；④a2+4a2＝5a4 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案． 【详解】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误； ②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误； ③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误； ④a2+4a2＝5a2，原计算错误． 所以小刚做对的题数是0个， 故选：A． 【变式1-1】利用乘法公式计算正确的是（　　） A．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 B．（4x+1）2=16x2+8x+1 C．（a+b）（a+b）=a2+b2 D．（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行提示对照可得出结论. 【详解】A. （2x﹣3）2=4x2+12x+9,故本选项不能选； B. （4x+1）2=16x2+8x+1, 故本选项能选； C. （a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，故本选项不能选； D. （2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣9，故本选项不能选. 故选B 【变式1-2】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算及整式的加减即可求解． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；     B、，选项错误，不符合题意；     C、，选项错误，不符合题意；     D、，选项正确，符合题意； 故选D． 【典例】计算（a﹣3）2的结果是（　　） A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+6 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】（a﹣3）2＝a2﹣6a＋9， 故选：A． 【变式2-1】运用完全平方公式计算：（﹣3x+2）2=_________． 【答案】9x2﹣12x+4 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：原式＝9x2﹣12x+4． 故答案为：9x2﹣12x+4． 【变式2-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】直接根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 方法技巧:选用完全平方公式的方法 当二项式中两项符号相同时，一般选用两数和的完全平方公式；当二项式中两项符号相反时，一般选用两数差的完全平方公式. 点拨:形如的式子可转化为或,便于运用完全平方公式计算，这是一个常用的技巧. 【典例】计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3-1】计算下列各式： （1）； （2）（2a﹣3b+1）2． 【答案】（1）3xy（2）4a2﹣12ab+9b2+4a﹣6b+1 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 【详解】解：（1）原式＝ ＝（+3y+﹣3y）（﹣+3y） ＝•6y ＝3xy； （2）（2a﹣3b+1）2 ＝[（2a﹣3b）+1]2 ＝（2a﹣3b）2+2•（2a﹣3b）•1+12 ＝4a2﹣12ab+9b2+4a﹣6b+1． 【变式3-2】计算：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2）； 【答案】x2﹣9y2﹣4+12y 【解析】 【分析】利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，最后去括号即可； 【详解】解：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2） = [x﹣（3y﹣2）][x+（3y﹣2）] =x2﹣（3y﹣2）2 =x2﹣（9y2﹣12y+4） =x2﹣9y2﹣4+12y； 【典例】利用完全平方公式进行简便运算： （1）1012＝（ 　 　+　 　）2＝　 　； （2）9.82＝（ 　 　﹣　 　）2＝　 ． 【答案】（1）100；1；10201（2）10；0.2；96.04 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）1012＝（100+1）2＝10201， 故答案为：100；1；10201； （2）9.82＝（10﹣0.2）2＝96.04， 故答案为：10；0.2；96.04． 【变式4-1】运用完全平方公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1）10404；（2）9801 【解析】 【分析】（1）把原式变形为（100+2）2，然后根据完全平方公式计算即可； （2）把原式变形为（100-1）2，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式4-2】将变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可． 【详解】解： 故选择：C 点拨:(1)利用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.(2)带分数的平方，当分数部分小于时，拆分成两数的和，再利用两数和的完全平方公式进行计算较简单；当分数部分大于时，拆分成两数的差，再利用两数差的完全平方公式进行计算较简单. 【典例】如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵（k是常数）是完全平方式， ∴， ∴， 故选D． 【变式5-1】x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵x2＋mx＋16是一个完全平方式， ∴＝16， 解得m＝8或m＝﹣8． 故选：D． 【变式5-2】若是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】9或 【解析】 【分析】根据完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，即为两数和（差）的平方，列出m的方程，求出即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 则m的值为9或． 故答案为：9或． 【典例】已知a-b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(  ) A．4 B．9 C．13 D．15 【答案】C 【解析】 【分析】先根据完全平方公式变形：a2+b2=（a-b）2+2ab，再整体代入求出即可． 【详解】解：∵a-b=3，ab=2， ∴a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2×2=13， 故选C． 【变式6-1】已知，求_________． 【答案】6或-6． 【解析】 【分析】将a+b=8两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a2+b2的值，再利用完全平方公式求出a-b的值． 【详解】解：将a+b=8两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=64， 把ab=7代入得：a2+b2=50， ∴（a-b）2=a2+b2-2ab=50-14=36， 开方得：a-b=6或a-b=-6， 故答案为：6或-6． 【变式6-2】已知m﹣n＝6，mn＝4． (1)求m2+n2的值． (2)求（m+2）（n﹣2）的值． 【答案】(1)44 (2)-12 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得； （2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算． 【详解】（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44； （2）∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴（m+2）（n﹣2） =mn-2m+2n-4 =mn-2（m-n）-4 =4-2×6-4 =-12． 【典例】如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案． 【详解】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容． 图中大正方形的边长为：，其面积可以表示为：， 分部分来看：左下角正方形面积为，右上角正方形面积为， 其余两个长方形的面积均为， 各部分面积相加得：， ， 故选C． 【变式7-1】如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【解析】 【分析】用两个正方形的面积之和减去两个空白部分三角形的面积即可． 【详解】由题意得，阴影部分的面积为： ， 当，时，该阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 【变式7-2】数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】（1），；（2）（3）1，3，2（4）15；16 【解析】 【分析】13本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 点拨：此类题目一般先通过简单的几何拼图验证乘法公式，然后利用所得的乘法公式进行运算，渗透了数形结合的数学思想和类比思想，考查观察能力、分析研究能力及运算能力.对一些特殊图形面积公式的充分掌握是解题的关键. 【典例】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=4x2+4xy+y2-4x2+y2=4xy+2y2， 当时，原式=4×（-）×+2×（-）2=-1+1=0． 【变式8-1】先化简，再求值：（x﹣2y）2 +（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y= -1． 【答案】，16 【解析】 【分析】首先对中括号内的式子用完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式= 将代入上式，可得原式= 16． 【变式8-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】 ， 当，时， 原式 ． 【典例】规定：使等式成立的a，b，c的值称为“等根系数”，记作．如，称为“等根系数”．若是“等根系数”，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据题目所给的“等根系数”的定义，得出，即可解答． 【详解】解：∵是“等根系数”， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-1】下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请你观察，并根据此规律写出：______． 【答案】a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 【解析】 【分析】先认真观察适中的特点，得出a的指数是从5到0，b的指数是从0到5，系数依次为1，5，10，10，5，1，得出答案即可． 【详解】解：（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5， 故答案为：a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5． 【变式9-2】阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】13（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． A组 1．下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断． 【详解】解：A、 ，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C 2．（a﹣2）2的结果是（　　） A．a2﹣2a+4 B．a2+2a+4 C．a2﹣4a+2 D．a2﹣4a+4 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】解：(a-2)2=a2-4a+4， 故选：D． 3．若是完全平方式，则m的值等于（ ）． A．3 B．-5 C．7 D．7或-1 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式: ,即可列出关于m的方程,从而求出m的值． 【详解】解:∵是完全平方式 ∴ ∴ 解得:m=7或-1 故选:D． 4．已知是一个完全平方式，那么m为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可得． 【详解】由题意得：， 则， 因此，， 故选：C． 5．若，则ab的值是（ ） A．8 B． C．9 D． 【答案】C 【解析】 【分析】将利用完全平方公式变形，求出a、b，问题得解． 【详解】解：变形得， ， 即， ∴， ∴a=-3，b=2， ∴． 6．若，，则的值是（    ） A．16 B．20 C．25 D．26 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选D． 7．如图，现有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片各若干张．王丽使用甲纸片1张，丙纸片4张，乙纸片若干张无重合无缝隙拼接成一个大正方形．则她使用的乙纸片张数为（　　） A．2张 B．4张 C．6张 D．8张 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，结合图形确定出所求即可． 【详解】解：∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， ∴还需取乙纸片4张． 故选：B． 8．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 【答案】D 【解析】 【分析】此图形中，一个大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积． 【详解】解：如图，大正方形的面积＝（y+x）2， 小正方形的面积＝（y﹣x）2， 四个长方形的面积＝4xy， 则由图形知，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积，即（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy． 故选：D． 9．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，再代入，化简即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴的值是． 故选：D． 10．（1）________；（2）________； （3）________；（4）________． 【答案】                    【解析】 【分析】（1）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可； （2）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可； （3）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可； （4）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）原式＝； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；；；． 11．用简便方法计算：20032﹣2003×8+16＝　 　． 【答案】3996001 【解析】 【分析】把8写成2×4的形式，再根据完全平方公式把20032﹣2003×8+16整理成两数差的平方的形式，然后再把1999写成2000﹣1，根据完全平方公式展开进行计算． 【详解】解：20032﹣2003×8+16， ＝20032﹣2×2003×4+42， ＝（2003﹣4）2， ＝19992， ＝（2000﹣1）2， ＝20002﹣2×2000×1+12， ＝3996001． 12．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特征即可得出答案. 【详解】①若把看成，把1看成，则缺少了中间项，中间项为±8x； ②若把看成2ab，把1看成，则缺少了项，项为； 故答案为或. 13．如果，则 ． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，灵活对完全平方公式进行变形是解题的关键． 由可得，，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为9． 14．有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部如 图甲，将 A，B 并排放置后构造新的正方形如 图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形 A，B 的面积之和为 ．    【答案】3 【解析】 【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，进而即可求解． 【详解】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图甲中阴影部分面积为 图乙中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为：3 15．已知：a+b＝3，ab＝5，则a2+b2﹣2a﹣2b+6＝ 　 　． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再把a+b＝3，ab＝5代入计算即可． 【详解】解：∵a+b＝3，ab＝5， ∴a2+b2﹣2a﹣2b+6 ＝（a+b）2﹣2ab﹣2（a+b）+6 ＝32﹣2×5﹣2×3+6 ＝9﹣10﹣6+6 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 16．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，六下课本49页，介绍南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.据“杨辉三角”，设的展开式中第三项的系数为m，的展开式中第三项的系数n，则______. 【答案】60 【解析】 【分析】由杨辉三角的规律得到（a+b）n的展开式的第三项系数是n（n−1），依此可得（a+b）6的展开式中第三项的系数m，（a+b）10的展开式中第三项的系数n，再代入计算即可求解． 【详解】解：根据“杨辉三角”的规律得到（a+b）n的展开式的第三项系数是n（n−1）， 则（a+b）6的展开式第三项的系数是×6×（6-1）=15，（a+b）10的展开式第三项的系数是×10×（10-1）=45， 则m+n=15+45=60． 故答案为：60． 17．运用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式直接进行计算； （2）根据完全平方公式直接进行计算； （3）根据完全平方公式直接进行计算； （4）根据完全平方公式直接进行计算． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 18．运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 【答案】（1）3939（2）9604（3）490140.01（4）249900.01 【解析】 【分析】（1）根据已知得出（60+3）2，根据完全平方公式展开得出602+2×60×3+32，求出即可； （2）根据已知得出（100﹣2）2，根据完全平方公式展开得出1002﹣2×100×2+22，求出即可； （3）根据已知得出（700+0.1）2，根据完全平方公式展开得出7002+2×700×0.1+0.12，求出即可； （4）根据已知得出（500﹣0.1）2，根据完全平方公式展开得出5002﹣2×500×0.1+0.12，求出即可． 【详解】解：（1）632＝（60+3）2 ＝602+2×60×3+32 ＝3600+360+9 ＝3939； （2）982 ＝（100﹣2）2 ＝1002﹣2×100×2+22 ＝10000﹣400+4 ＝9604； （3）700.12 ＝（700+0.1）2 ＝7002+2×700×0.1+0.12 ＝490000+140+0.01 ＝490140.01； （4）499.92 ＝（500﹣0.1）2 ＝5002﹣2×500×0.1+0.12 ＝250000﹣100+0.01 ＝249900.01． 19．已知x+y＝4，xy＝2，试求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x4+y4． 【答案】（1）12（2）136 【解析】 【分析】（1）先把原式配方化为（x+y）2﹣2xy形式，再根据x+y＝4，xy＝2计算； （2）先把x4+y4化为（x2+y2）2﹣2x2y2，把x2+y2＝12，xy＝2代入计算． 【详解】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2， ∴x2+y2 ＝x2+2xy+y2﹣2xy ＝（x+y）2﹣2xy， ＝42﹣2×2 ＝16﹣4 ＝12； （2）x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝122﹣2×22＝136． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式运算法则和完全平方公式化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2． （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值． （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 【答案】（1）x2+6x+15=（x+3）2+6，m=3，k=6；（2）b﹣a=﹣5． 【解析】 【分析】（1）将代数式配方即可； （2）先将代数式配方，并把配方后的式子和代数式对比即可得到的值，再代入中计算即可. 【详解】（1）∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6， ∴m=3．k=6； （2）∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1， ∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3， ∴b﹣a=﹣5． B组 22．若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【解析】 【分析】先根据完全平方公式得到，然后把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 23．将四个长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方式、完全平方公式的几何背景，先用a、b表示，，再根据，列出等式，整理后得出a、b的关系． 【详解】解：， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 24．若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形，将化简，进而与比较即可求解 【详解】a＝2020×2021+1， b＝20202﹣2020×2021+20212 ＝（2020﹣2021）2+2020×2021 ＝2020×2021+1， 故a＝b． 故选：B． 25．如图1是一个长为．宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式:   (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题： 若，则＝ ． (5)若，则　　　　． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解此题的关键． （1）由图可知，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差即可得出结果． （2）本题可以阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，也可以直接求阴影部分正方形的面积． （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系． （4）将代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值； （5）先求出，即可求出． 【详解】（1）由图可知，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差， 即 故答案为： （2）①∵阴影部分的面积等于大方形的面积减去四个小长方形的面积 ∴阴影部分的面积为： ∵阴影部分为正方形，且边长为 ∴阴影部分的面积为： 故答案为：； （3）由图可知，大正方形的面积等于阴影部分的面积加上四个小长方形的面积 即 故答案为： （4）∵， 故答案为： （5）∵， ∴ ∴ 故答案为： 26．已知多项式a2+4与一个单项式的和是一个多项式的平方，则满足条件的单项式是___（写出一个即可）． 【答案】，或（任填一个） 【解析】 【分析】根据完全平方公式分析即可解答． 【详解】解：添加的方法有3种，分别是： 添加，得； 添加，得； 添加，得， 综上所述，满足条件的单项式为， 故答案为：，或（任填一个）． 27．我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b3展开式中的系数；……请根据规律直接写出（a+6）4的展开式 　 　． 【答案】a4+24a3+216a2+864a+1296 【解析】 【分析】先根据图形得出第五行的四个数是1，4，6，4，1，再求出答案即可． 【详解】解：（a+6）4 ＝a4+4a3×6+6a2×62+4a×63+64 ＝a4+24a3+216a2+864a+1296， 故答案为：a4+24a3+216a2+864a+1296． 28．若，，且，则 ． 【答案】1或81． 【解析】 【分析】13根据绝对值意义得到，，根据，得到，得到，， 把分解因式，分，与，两种情况求值即得． 本题主要考查了绝对值，代数式求值．熟练掌握绝对值意义，完全平方公式分解因式，分类讨论，是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当，时，， 当，时，． 故答案为：1或81． 29．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． （1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是　 　； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题； ①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值； ②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值． 【答案】（1）；（2）①3；② 【解析】 【分析】（1）正方形的总面积等于各部分面积和，就可得出答案； （2）①由，可知，再代入（1）中的结论，即可求得的值； ②用换元法，令，则，，代入原式化简计算即可． 【详解】解：（1）由正方形的总面积等于各部分面积和，得到：； （2）①∵ ∴ 又∵，且 ∴ ∴ ②令，则， ∴ ∴ 30．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等． （1）填出展开式中共有 项，第三项是 ． （2）直接写出的展开式． （3）利用上面的规律计算：． 【答案】（1）5，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）归纳总结得到规律，即可得解； （2）根据得出的系数规律，将原式展开即可； （3）利用规律计算原式即可得到结果． 【详解】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得， ， 展开式共有5项，第三项是． （2）， 当，时， 原式 ， ． （3）由杨辉三角可知，原式． 31．对于任意实数，我们规定：，例如：． (1)填空： ①______， ②若，则______； (2)若，且，求与的值； 【答案】(1)①；② (2)， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，完全平方公式的变形求值： （1）①根据新定义可得；②根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到，即，再根据完全平方公式的变形求出，则． 【详解】（1）解；①由题意得，， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ C组 32．已知，那么 ． 【答案】 【解析】 【分析】13本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据去括号法则和完全平方公式展开，再变形为，根据平方的非负性，得出，，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， 故答案为：． 33．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 【答案】； 【解析】 【分析】13根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，，可以得到，配方得，把代入即可求出的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：；． 34．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图． （1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算： ； （2）选取张型卡片，张型卡片，则应取 张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； （3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为 ； （4）选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且． 图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则与有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）4，；（3）；（4）或，见解析． 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题； （2）利用完全平方公式解题； （3）由图可知型卡片的面积为，是一个边长为的正方形的面积减去张型卡片的面积，即，据此得到等量关系； （4）根据图形列等量关系，，再结合计算解题即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）取张型卡片，张型卡片，面积之和为：， 由完全平方公式的几何背景可知，一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，即，故应取4张型卡片能拼成一个新的正方形，此正方形的边长为：， 故答案为：4，； （3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，由图可知，型卡片是一个边长为的正方形，也可以是一个边长为的正方形，减去张型卡片的面积，即， 即得到等量关系：， 故答案为：； （4）设MN的长度为x， 或（舍去）或 或． 35．请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 1．（2022·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，利用完全平方公式的应用可判断B，由积的乘方与幂的乘方运算可判断C，由同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：不是同类项，故A不符合题意； 故B不符合题意； ，运算正确，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C． 2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（       ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案． 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 3．（2021·湖南永州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7． 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完全平方公式 两数和的完全平方公式：公式为，即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍. 两数差的完全平方公式：公式为，即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍. 完全平方公式的推导 两数和的完全平方公式： 两数差的完全平方公式： 完全平方公式的常见形式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式统称完全平方公式.(2)公式中的字母，可以表示单项式，也可以表示多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式进行计算. 【典例】今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（　　） 计算：①（﹣3a2）3＝﹣9a6；②（﹣a2）⋅a3＝a5；③（2x﹣y）2＝4x2﹣y2；④a2+4a2＝5a4 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】利用乘法公式计算正确的是（　　） A．（2x﹣3）2=4x2+12x﹣9 B．（4x+1）2=16x2+8x+1 C．（a+b）（a+b）=a2+b2 D．（2m+3）（2m﹣3）=4m2﹣3 【变式1-2】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】计算（a﹣3）2的结果是（　　） A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+6 【变式2-1】运用完全平方公式计算：（﹣3x+2）2=_________． 【变式2-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 方法技巧:选用完全平方公式的方法 当二项式中两项符号相同时，一般选用两数和的完全平方公式；当二项式中两项符号相反时，一般选用两数差的完全平方公式. 点拨:形如的式子可转化为或,便于运用完全平方公式计算，这是一个常用的技巧. 【典例】计算： ． 【变式3-1】计算下列各式： （1）； （2）（2a﹣3b+1）2． 【变式3-2】计算：（x+2﹣3y）（x+3y﹣2）； 【典例】利用完全平方公式进行简便运算： （1）1012＝（ 　 　+　 　）2＝　 　； （2）9.82＝（ 　 　﹣　 　）2＝　 ． 【变式4-1】运用完全平方公式计算： （1）； （2）． 【变式4-2】将变形正确的是（ ） A． B． C． D． 点拨:(1)利用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.(2)带分数的平方，当分数部分小于时，拆分成两数的和，再利用两数和的完全平方公式进行计算较简单；当分数部分大于时，拆分成两数的差，再利用两数差的完全平方公式进行计算较简单. 【典例】如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 【变式5-1】x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8 【变式5-2】若是一个完全平方式，则的值为 ． 【典例】已知a-b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(  ) A．4 B．9 C．13 D．15 【变式6-1】已知，求_________． 【变式6-2】已知m﹣n＝6，mn＝4． (1)求m2+n2的值． (2)求（m+2）（n﹣2）的值． 【典例】如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为 ．    【变式7-2】数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 点拨：此类题目一般先通过简单的几何拼图验证乘法公式，然后利用所得的乘法公式进行运算，渗透了数形结合的数学思想和类比思想，考查观察能力、分析研究能力及运算能力.对一些特殊图形面积公式的充分掌握是解题的关键. 【典例】先化简，再求值：，其中． 【变式8-1】先化简，再求值：（x﹣2y）2 +（x﹣2y）（x+2y），其中x=2，y= -1． 【变式8-2】先化简，再求值：，其中，． 【典例】规定：使等式成立的a，b，c的值称为“等根系数”，记作．如，称为“等根系数”．若是“等根系数”，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【变式9-1】下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请你观察，并根据此规律写出：______． 【变式9-2】阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． A组 1．下列等式中，能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（a﹣2）2的结果是（　　） A．a2﹣2a+4 B．a2+2a+4 C．a2﹣4a+2 D．a2﹣4a+4 3．若是完全平方式，则m的值等于（ ）． A．3 B．-5 C．7 D．7或-1 4．已知是一个完全平方式，那么m为（ ） A． B． C． D． 5．若，则ab的值是（ ） A．8 B． C．9 D． 6．若，，则的值是（    ） A．16 B．20 C．25 D．26 7．如图，现有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片各若干张．王丽使用甲纸片1张，丙纸片4张，乙纸片若干张无重合无缝隙拼接成一个大正方形．则她使用的乙纸片张数为（　　） A．2张 B．4张 C．6张 D．8张 8．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 9．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（1）________；（2）________； （3）________；（4）________． 11．用简便方法计算：20032﹣2003×8+16＝　 　． 12．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式______. 13．如果，则 ． 14．有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部如 图甲，将 A，B 并排放置后构造新的正方形如 图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形 A，B 的面积之和为 ．    15．已知：a+b＝3，ab＝5，则a2+b2﹣2a﹣2b+6＝ 　 　． 16．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，六下课本49页，介绍南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.据“杨辉三角”，设的展开式中第三项的系数为m，的展开式中第三项的系数n，则______. 17．运用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 18．运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 19．已知x+y＝4，xy＝2，试求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x4+y4． 20．先化简，再求值：，其中． 21．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2． （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值． （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． B组 22．若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 23．将四个长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足（    ）    A． B． C． D． 24．若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 25．如图1是一个长为．宽为的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少? (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1： 方法2： (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式:   (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题： 若，则＝ ． (5)若，则　　　　． 26．已知多项式a2+4与一个单项式的和是一个多项式的平方，则满足条件的单项式是___（写出一个即可）． 27．我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b3展开式中的系数；……请根据规律直接写出（a+6）4的展开式 　 　． 28．若，，且，则 ． 29．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． （1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是　 　； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题； ①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值； ②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值． 30．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等． （1）填出展开式中共有 项，第三项是 ． （2）直接写出的展开式． （3）利用上面的规律计算：． 31．对于任意实数，我们规定：，例如：． (1)填空： ①______， ②若，则______； (2)若，且，求与的值； C组 32．已知，那么 ． 33．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 34．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图． （1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算： ； （2）选取张型卡片，张型卡片，则应取 张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； （3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为 ； （4）选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且． 图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则与有什么关系？请说明理由． 35．请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 1．（2022·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（       ） A．24 B． C． D． 3．（2021·湖南永州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $$