专题11：期末满分冲刺（压轴篇）【核心考点突破+高频易错精讲】-　2024-2025学年沪教版（上海）数学八年级第二学期

2024-2025沪教版八年级数学下册同步培优课程 专题11 期末满分冲刺（压轴篇） 题型一：选择题精选 1.（23-24八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，由得出y随x增大而增大是解题关键． 【详解】解：∵中，， ∴y随x增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组、二项方程的定义，根据相关定义逐项判定即可． 【详解】解：A. 是整式方程，原说法不正确； B. 是分式方程，原说法不正确； C. 是二元二次方程组，说法正确； D. 是不等式，不是二项方程； 故选：C． 3.（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 4．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元二次方程组的解的情况，求参数的范围，将二元二次方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：， 由②，得：， 把代入①，得：，即：， ∵方程组有实数解， ∴， ∴； 故选D． 5.（22-23八年级下·上海青浦·期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答． 【详解】解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，③，∴四边形ABCD是平行四边形， ①，④，无法判断； ②，③，无法判断； ②，④∴四边形ABCD是平行四边形； ③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果， ∴选到能够判定是菱形的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法． 6. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5，∵∠CAB=90°，∴AC=4，∴点C的坐标为（1，4），当点C落在直线y=2x﹣6上时，∴令y=4，得到4=2x﹣6，解得x=5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC扫过的面积为4×4=16，故选C． 考点：1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质． 题型二：填空题精选 7. 方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个数的积为零，则至少一个为零，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， 解得：或， 经检验，时，，故它不是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解无理方程，关键是通过乘方转化为有理方程，注意解无理方程要检验． 8. 已知为实数，若，那么的值为_________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 9.（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线必过一定点． 【详解】解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 10.（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，将分式方程变为，根据分式为0的条件得出，化简得出，根据有无数多个解，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 整理得：， ∵方程有无数多个解， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 已知一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，则此多边形的内角和为_________． 【答案】##540度 【解析】 【分析】根据n边形的对角线条数，以及多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得或（应舍去）． ∴这个多边形内角和为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与对角线，解一元二次方程，解题的关键是能够根据n边形的对角线条数公式列方程，熟练运用因式分解法解方程． 12．（2024八年级下·上海青浦·期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 【答案】17，18或19 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18， 则多边形的边数是17，18或19， 故答案为：17，18或19． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 13.（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在平行四边形中，，于点，为的中点，，那么 度． 【答案】92 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线,掌握平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．取的中点，连接、，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，则，所以，接着证明得到，然后计算出，从而得到的度数． 【详解】解：取的中点，连接、，如图， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点，为的中点， ， ， ， ， ， ∵, . 故答案为：92． 14．（2023春•闵行区期末）如图，矩形中，，，将线段绕点逆时针旋转，点落在边上点处，将沿直线翻折，点落在平面内的点处，那么和梯形重叠部分的面积为 　　． 【答案】． 【考点】三角形的面积；矩形的性质；梯形；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质 【分析】先根据题意画出图形，根据折叠的性质可得，结合矩形的性质可得是等腰三角形，设，利用勾股定理可求的长，即可求出和梯形重叠部分的面积． 【解答】解：如图， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 是等腰三角形，设，则， 在中，， 解得，即， 和梯形重叠部分的面积即的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，求出的长是解题关键． 15．（2023春•宝山区期末）已知矩形，，把矩形沿直线翻折，点落在点处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么　或6　． 【答案】或6． 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质 【分析】分两种情况，一是且，设交于点，可证明，，则，可推导出，则，再证明，可求得，于是得，求得；二是且，设交于点，可证明，则，再推导出，求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：当且时，如图1，设交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 由翻折得，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 当且时，如图2，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或6， 故答案为：或6． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大． 16．（2023春•浦东新区期末）如图，在中，，，点在边上，过点作，垂足为点，交边于点，将 沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 　　． 【答案】3． 【考点】含30度角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【分析】先求出，过点作于点，得，，四边形是矩形，设，然后根据翻折的性质列出方程，求出，进而可得的长． 【解答】解：在中，， ， ， ， ， 如图，过点作于点， ，， 由翻折可知：，， 四边形是矩形， ， ， 设， 四边形是平行四边形， ， 由翻折可知：， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查翻折变换、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 17．（2023春•松江区期末）已知：如图，在矩形中，，．点是边上一点，且．联结，将四边形沿所在直线翻折，点、的对应点分别为点、，边与边的交点为点．则　　． 【答案】． 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【分析】设，则在中，，，，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：根据题意画图如下： 由翻折可知：四边形与四边形全等． 四边形是矩形， ， ， ， ， 在矩形中，，，， ， ， 设， 则在中，，，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理构建方程． 18.（2024八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．    【答案】2或5/5或2 【分析】分三种情形计算． 【详解】解：当时，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，    ∵， ∴， ∴三点共线， 根据折叠的性质，得， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 故； 当时， ∵四边形是矩形，，， ∴，，    ∵， ∴四边形是矩形， 根据折叠的性质，得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故； 当时，    ∵， ∴点不可能落到上， 故不成立， 故或， 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 19．（2023春•虹口区期末）如图，在中，，，，点是的中点．将绕点旋转得到△（点与点对应，点与点对应），当点落在边上时，联结，那么线段的长是 　　． 【答案】． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线 【分析】延长交于点，在中，利用勾股定理可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后根据旋转的性质可得：，，，从而可得，，进而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得△，最后利用相似三角形的性质可得，，从而可得，再在△中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， ，，， ， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，，， ，， ， ，， △， ， ， ，， ， 在△中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2023春•长宁区期末）如图，菱形的边长为2，，联结，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，联结，那么的面积是 　　． 【答案】． 【考点】含30度角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质；三角形的面积 【分析】连接交于点，根据菱形的性质可得，，，平分，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据旋转的性质可得：，从而可得，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，，平分， ， ， 在中，，， ， 由旋转得：， ， 的面积 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 如图，在平行四边形中，边，对角线，将平行四边形绕着点逆时针旋转，点的对应点恰好落在对角线上，那么边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，根据题意，得出是等腰直角三角形，进而求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， 依题意，，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（2024春•静安区期末）如图，在梯形中，，，点在边上，，，由此可以知道旋转后能与重合，那么旋转中心是　的中点　． 【考点】：梯形；：旋转的性质 【分析】根据旋转的性质，其中对应点到旋转中心的距离相等，于是得到结论． 【解答】解：旋转后能与重合， ， ，，，， ， ， 是等腰直角三角形， 与，与是对应顶点， 的中点到，，三点的距离相等， 旋转中心是的中点， 故答案为：的中点． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，关键是明确旋转中心的概念． 23．（2023春•长宁区校级期末）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么　　． 【答案】135或90或45． 【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；多边形的对角线 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【解答】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图1，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图2，当时， ． ， 四边形是正方形， ． 故答案为：135或90． 【点评】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用．解答如图3这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 24．（2022春•徐汇区期末）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，已知在“等腰四边形” 中，，，且为界线，则的度数为 　　． 【答案】的度数为或或． 【考点】多边形的对角线；等腰三角形的性质 【分析】由是四边形的等腰线，可以得出是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和的直角三角形性质就可以求出的度数． 【解答】解：是四边形的界线， 是等腰三角形． ， 如图1，当时， ， 是正三角形， ． ， ， ． 如图2，当时， ． ， 四边形是正方形， 如图3，当时，过点作于，过点作于， ．， ，． ， 四边形是矩形． ． ， ， ． ， ． ， ， ， ． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查了“等腰四边形”的定义和性质的运用，“等腰四边形”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，正方形的性质和判定的运用，的直角三角形的性质的运用．解答如图3这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 25．（2021春•崇明区期末）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为　　． 【答案】． 【考点】等腰直角三角形；多边形的对角线 【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：①，②．当时，由于，可得为等边三角形，，则，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，可得，从而可求． 【解答】解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”， 和为等腰三角形． 由于，在中分两种情形：①，②． 当①时，如图： ，． ． 为等边三角形． ． ， ． ， ． 当②时，如图， 过点作，过点作，交延长线于点， ，， ． ，，， 四边形为矩形． ． ， ． 在中，， ． ， ． ， ． ， ． 综上，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键． 题型三：一次函数应用 26．某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【解析】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 27．某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用待定系数法求出 解析式是解题的关键． （1）在图像上找两点，利用待定系数法即可求解； （2）设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升，根据等量关系：甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，列出分式方程并求解即可． 【解析】（1）解：设所求函数解析式为， 由图像知，直线过两点， 把这两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但当时，，与题意不符， ∴， ∴； 答：甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升． 题型四：几何证明 28．已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 29. 已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，然后证明出，进而得到，结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴． 同理可知，． ∴． ∴． ∴． ∴在和中， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 如图所示， ∵， ∴． 又∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是等边三角形 ∴ ∴ ∴． ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形DGEC是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 30. 如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F． （1）求证：CD=AF； （2）若BC=2CD，求证：∠F=∠BCF 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）CD和AF分别在△DCE和△AFE中，要证它们相等，只需证△DCE≌△AFE，根据平行四边形的性质及E为AD中点可证． （2）在平行四边形中，对边相等，由（1）的结论可证昨BF=BC，根据等边对等角可证． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC． ∴∠DCE=∠AFE． ∵E是AD的中点， ∴DE=AE． 在△DCE和△AFE中 ， ∴△DCE≌△AFE． ∴CD=AF． （2）由（1）得CD=AF， ∵AB=CD， ∴BF=AF+AB=2CD． ∵BC=2CD， ∴BF=BC． ∴∠F=∠BCF． 【点睛】解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明． 题型五：一次函数与几何综合 31. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线DE与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限，已知的面积为18 （1）求直线的表达式； （2）点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，如果以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点P、Q的坐标． 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）把点代入可得直线的表达式，可得B点坐标，根据的面积为18可求出E点坐标，根据D，E坐标即可求出直线的表达式； （2）根据点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，设出P，Q点坐标，根据以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，进行分类讨论，分为两类：①当且时，轴，求出P点坐标，根据求出Q点坐标；②当且时，轴，求出P点坐标，根据求出Q点坐标即可解答； 【小问1详解】 把点代入得， 解得 ， ∴直线的表达式为：， ， ，， 设， ，解得，点， 设直线的表达式为， 把代入上式得解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，P是直线上一点， 设 ， ， ∴直线的表达式为：， ， 以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形， ①当且时，轴， P 点纵坐标为1， 代入直线的表达式得， ， ， ， ； ②当且时，轴， P点横坐标为1， 代入直线的表达式得， ， ， ， ， ； 综上所述或，． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，一次函数解析式求解以及一次函数与等腰梯形相结合的存在性问题，该题解题的关键是根据等腰梯形腰相等以及上下两底互相平行的性质结合图像进行分类讨论并合理转化． 32．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为： (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、角平分线的性质，分类求解是解题的关键． （1）在中，，即，求出点，即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：过点M作于点N， 由点A、B的坐标得，， ∵的平分线交y轴于点M，则， 设，则，则， 在中，，即， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， 解得，， ∴直线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点； 当为对角线时， 同理可得：， 解得：， 即点； 综上，点P的坐标为或． 33.（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A、B． (1)直接写出A、B两点的坐标． (2)点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，矩形的性质，点到坐标轴的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别令直线l：中，代入计算即可； （2）根据题意可得，得到，分或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则， 将代入线，则， ∴； （2）解：由题意得：， ∵轴，轴， ∴， ∵矩形的一边长是另一边长的2倍， ∴或， ∴或， 解得：或． 34．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【解析】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 题型六：几何综合 35．（2022春•闵行区校级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点． （1）当点与点重合时，求的长； （2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域； （3）联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）2或8或． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）连接，过作交于，在中，，，由勾股定理可得； （2）连接，过点作交于，在中，，，由勾股定理可得，整理得； （3）分两种情况讨论：当在线段上时，①当时，可证，过作交于，在中，，即可求；②当时，，设，可证，在中，，可求；当点在射线上时，此时，可证，过作交延长线于，在中，，可求． 【解答】解：（1）如图1，连接，过作交于， ，平分， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，； （2）如图2，连接，过点作交于， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图3，当在线段上时， ①当时， 是的垂直平分线， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， 过作交于， 在中，， ； ②当时，， 设， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 在中，， ； 当点在射线上时，此时， ， ， ， ， ， 过作交延长线于， 在中，， ， ； 综上所述：的长为2或8或． 【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角的性质，梯形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键． 36．（2024春•徐汇区期末）在中，，，，点是上的动点，交于点，分别交射线、射线于点、，连接． （1）如图1，如果点恰好平分，判断四边形的形状并证明； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，设的长为，梯形的面积为，直接写出关于的函数关系及其定义域； （3）当时，求的长． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）由证得，，又，即可得出四边形是平行四边形； （2）由含角直角三角形的性质得出，，，由勾股定理求出，，推出，再由含角直角三角形的性质得出，则，当点与重合时，求出，即可得出结果； （3）①当点在线段的延长线上时，梯形为等腰梯形；②当点在线段上时，四边形为平行四边形，分别求出即可． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下： 点恰好平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2），， ， ， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 当点与重合时，如图3所示： ，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； （3）①当点在线段的延长线上时，，梯形为等腰梯形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当时，， ， ， 解得：， 的长为； ②当点在线段上时，如图4所示： ，则四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的长为8； 综上所述，的长为或8． 【点评】本题是四边形综合题，考查了含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、梯形面积的计算、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握含角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025沪教版八年级数学下册同步培优课程 专题11 期末满分冲刺（压轴篇） 题型一：选择题精选 1.（23-24八年级上·上海松江·期中）已知正比例函数的图象上两点、，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是分式方程 B．是无理方程 C．是二元二次方程组 D．是二项方程 3.（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 5.（22-23八年级下·上海青浦·期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ． 6. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 题型二：填空题精选 7. 方程的解为_________． 8. 已知为实数，若，那么的值为_________． 9.（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 10.（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于的方程有无数多个解，则 ． 11. 已知一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，则此多边形的内角和为_________． 12．（2024八年级下·上海青浦·期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 13.（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在平行四边形中，，于点，为的中点，，那么 度． 14．（2023春•闵行区期末）如图，矩形中，，，将线段绕点逆时针旋转，点落在边上点处，将沿直线翻折，点落在平面内的点处，那么和梯形重叠部分的面积为 　　． 15．（2023春•宝山区期末）已知矩形，，把矩形沿直线翻折，点落在点处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么　或6　． 16．（2023春•浦东新区期末）如图，在中，，，点在边上，过点作，垂足为点，交边于点，将 沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 　　． 17．（2023春•松江区期末）已知：如图，在矩形中，，．点是边上一点，且．联结，将四边形沿所在直线翻折，点、的对应点分别为点、，边与边的交点为点．则　　． 18.（2024八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．    19．（2023春•虹口区期末）如图，在中，，，，点是的中点．将绕点旋转得到△（点与点对应，点与点对应），当点落在边上时，联结，那么线段的长是 　　． 20．（2023春•长宁区期末）如图，菱形的边长为2，，联结，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，联结，那么的面积是 　　． 21. 如图，在平行四边形中，边，对角线，将平行四边形绕着点逆时针旋转，点的对应点恰好落在对角线上，那么边的长为______． 22．（2024春•静安区期末）如图，在梯形中，，，点在边上，，，由此可以知道旋转后能与重合，那么旋转中心是　的中点　． 23．（2023春•长宁区校级期末）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么　　． 24．（2022春•徐汇区期末）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，已知在“等腰四边形” 中，，，且为界线，则的度数为 　　． 25．（2021春•崇明区期末）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为　　． 题型三：一次函数应用 26．某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 27．某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 题型四：几何证明 28．已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 29. 已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，如果，求证：四边形是菱形． 30. 如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F． （1）求证：CD=AF； （2）若BC=2CD，求证：∠F=∠BCF 题型五：一次函数与几何综合 31. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线DE与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限，已知的面积为18 （1）求直线的表达式； （2）点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，如果以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点P、Q的坐标． 32．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 点， 点， 的平分线交y轴于点M． (1)求直线的函数解析式． (2)在直线上是否存在一点P，且在x轴上存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形，是以为边的平行四边形?若存在，请写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 33.（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A、B． (1)直接写出A、B两点的坐标． (2)点P是第一象限内直线l上一点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值． 34．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 题型六：几何综合 35．（2022春•闵行区校级期末）梯形中，，，，，点是中点，过点作的垂线交射线于点，的角平分线交射线于点，交直线于点． （1）当点与点重合时，求的长； （2）若点在线段上，，，求关于的函数关系式，并写出函数定义域； （3）联结、，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 36．（2024春•徐汇区期末）在中，，，，点是上的动点，交于点，分别交射线、射线于点、，连接． （1）如图1，如果点恰好平分，判断四边形的形状并证明； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，设的长为，梯形的面积为，直接写出关于的函数关系及其定义域； （3）当时，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$