精品解析：2025年河南省洛阳市第三次中招模拟考试数学试卷

洛阳市2025年中招模拟考试（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【详解】解：由图可知，，，，， 比较四个数的绝对值排除和， 根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离， ， 这四个数中绝对值最小的是. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小. 2. 小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断． 【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意； D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：C． 4. “学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是（ ） A. 不 B. 思 C. 则 D. 罔 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体表面展开图中相对面的位置关系，解题关键是依据相对面之间相隔一个正方形这一规律来判断。 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，这一特点作答即可． 【详解】解：学与罔相对，而与思相对，不与则相对， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方．利用同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力G方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵重力 的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵支持力的方向与斜面垂直， ∴， ∴． 故选：A． 7. 《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有 个人，物品价格为 钱，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 8. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成 角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动 ，则第2025秒时；点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出每旋转四秒点A对应点的坐标循环出现及熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第2025时，点的对应点的坐标． 【详解】如图， ∵，叶片每秒绕原点O逆时针转动 ， ∴，，，，… ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵ ∴第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：A． 9. 如图，在中，， ，，点在上，点F在上，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键．连接，可以得到，，，可以得到为等边三角形，根据和可得，，证明，利用即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 又 ， ， 在中， ，，， ，， 又 ， ， 为等边三角形， ，，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 即， 故选：C． 10. 如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A. 用m表示I为： B. 电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C. 当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D. 电子体重计可称的最大质量为120千克 【答案】D 【解析】 【分析】先计算电路中的总电阻，根据计算可以判断A的正误；根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小，可以判定B；当时，，根据得，由可计算判定，当时，，计算判定即可． 本题考查了一次函数的应用，跨学科综合，熟练掌握函数的性质，欧姆定律的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，电路中的总电阻，且，， 故， 根据，得， 故A正确，不符合题意； 根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小， 故B正确，不符合题意； 当时，，根据得， 由，得， 故C正确，不符合题意； 根据题意，当时，，此时最小，m最大， 根据得，由，得 ． 故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代．若用2025个山楂穿了n串冰糖葫芦，每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是_______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．根据每串的山楂个数相等，列代数式即可求解． 【详解】解：∵用2025个山楂穿了 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等， ∴每串冰糖葫芦的山楂个数是， 故答案为： ． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日．某学校举行安全教育活动，每位学生从“交通安全”、“消防安全”和“校园安全”三个主题内容中，随机选取一个参加活动．其中小洛与小阳选中的主题相同的概率是______．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，其中小洛与小阳两人选取主题相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“交通安全”、“消防安全”和“校园安全”三个主题内容分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小洛与小阳两人选取主题相同的结果有3种， ∴小洛与小阳两人选取主题不相同的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在菱形 中，，点是对角线 的中点，以点为圆心， 长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，含直角三角形的边长关系，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线证明，则可得，再利用扇形面积公式即可求得阴影部分面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作交于点， 在菱形 中，， ，， ， 点是对角线 的中点， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 过点作交于点 ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形 中， ，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为_____，的最小值为_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接 与交于点O，过点作于点G，连接，确定点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，解答即可． 【详解】解：连接 与交于点O， ∵矩形 ， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 连接， ∴，， ∵沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处， ∴， ∴点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，的最大值为， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，定圆的条件，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）8；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简平方根、立方根、零次幂，再运算加减法，即可作答． （2）先通分括号内，再进行除法运算，然后化简作答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了解甲、乙两校学生的中华文化知识水平，从两校各随机抽取了名学生进行中华文化知识竞赛，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 甲校名学生的成绩：，，，； 乙校30名学生的成绩：，，，． 各分数段条形统计图： （1）请根据乙校的数据补全条形统计图； （2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格： 平均数 中位数 众数 甲校 乙校 ________，_______； （3）请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些，并说明理由． 【答案】（1）补全条形统计图如下所示： （2），； （3）解：乙校学生的中华文化知识水平更好一些，理由如下： 甲校和乙校学生成绩的平均数和中位数相差不多，乙校学生的众数比甲校学生的众数高， 乙校学生的中华文化知识水平更好一些． 【解析】 【分析】由乙校的数据可知，乙校学生中在的学生有 人，在的学生有 人，根据数据补全条形统计图即可； 根据中位数和众数的定义可知甲校学生成绩的中位数是，乙校数据的众数是； 根据平均数、中位数、众数判断哪所学校的中化文化知识水平更好一些． 【小问1详解】 解：由乙校的数据可知，乙校学生中在的学生有 人，在的学生有 人， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：由甲校数据可知，甲校学生的第名学生的成绩是，第名学生的成绩是， 甲校学生成绩的中位数是， ； 由乙校数据可知，乙校学生成绩出现次数最多的是， 乙校数据的众数是； 【小问3详解】 略 18. 如图，小丽在公园散步到A处时，她发现南偏东方向的湖心岛上的B处有一棵开满粉色花的树，为更好的观察和拍照，小丽沿正东方向前进了5米到达C处，此时树恰好位于小丽东南方向上． （1）小丽还需要走多远离这棵树的距离最近？ （2）如图，当小丽走至离树最近的点D时，看向树顶端F的仰角，若小丽和树在同一水平面，且树BF与地面垂直，小丽眼睛离地面的距离米，求这棵树BF的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】（1）15米 （2）10.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过B作于D，在中，根据正切的定义可得出，在中，根据正切的定义可得出，然后解方程即可； （2）解：根据题意，得四边形是矩形，则米，米，在中，根据正切的定义求出，即可求解． 【小问1详解】 解：过B作于D， 则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， 经检验，符合题意， ∴小丽还需要走15米时离这棵树的距离最近； 【小问2详解】 解：根据题意，得四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴米，即这棵树BF的高度为10.3米． 19. 如图，一次函数的图象过点，与y轴交于点B，将线段向右平移，使点A落在点，点B的对应点C恰好落在反比例函数的图象上． （1）求a和k的值； （2）点D在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线交x轴于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，求证：． 【答案】（1）， （2） 作图如下： 则点E即为所求． （3） 证明：根据平移的性质，得，， 故， 根据基本作图，得， 故， 故， 故． 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，得，可确定a的值；根据确定，根据线段向右平移，使点A落在点，点B的对应点C；得到向右平移1个单位，继而得到，结合点C恰好落在反比例函数的图象上，计算确定k值即可． （2）根据角的平分线的基本作图步骤，规范作图即可； （3）根据平移的性质，得，，结合基本作图，证明，等量代换即可证明． 【小问1详解】 解：把代入解析式，得， 解得； 由与y轴交于点B， 故点， 由线段向右平移，使点A落在点，点B的对应点C； 故平移变换是一个向右平移1个单位的变换， 故点， 又点C恰好落在反比例函数的图象上， ． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了图象过点，待定系数法求解析式，平移的性质，基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 20. 洛阳体育技能类选考项目有篮球、足球、排球、乒乓球，考生可选一项进行考试．某学校原有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，为了使学生得到更好的训练，学校计划再采购 个足球（ 为偶数）， 个排球．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）． （1）请用含 ， 的代数式分别表示出在A、B公司购买体育用品的费用； （2）在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表： 足球 排球 篮球 乒乓球 1人用1个 1人用1个 2人共用1个 2人共用4个 若学校要满足700名学生同时训练，且采购的排球数量不能超过足球的数量，学校应在哪家公司采购能使费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）购买A公司体育用品的费用为元，购买B公司体育用品的费用为元 （2）学校应在B公司采购能使费用最少，最少费用是10000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是理清数量关系，找到关系列代数式． （1）根据题意列出代数式即可； （2）需要购买足球和排球数量为：，根据题意得到，分别求出两公司的费用范围，即可求解． 【小问1详解】 解：购买A公司体育用品的费用为：； 购买B公司体育用品的费用为：； 答：购买A公司体育用品的费用为元，购买B公司体育用品的费用为元； 【小问2详解】 解：已知学校原有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，要满足700名学生同时训练， 则需要购买足球和排球数量为：， ， 采购的排球数量不能超过足球的数量， ， 解得， ， ， 解得， ， 购买A公司体育用品的费用为：， ， 购买B公司体育用品的费用为：， ， 学校应在B公司采购能使费用最少，最少费用是10000元． 21. 如图，是 的直径，点C在 上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E． （1）求证：； （2）若 的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是 的直径， ∴， ∴， ∵ 与 相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与相交于点D，与 交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由是 的直径，得，则，由切线的性质得，则，由，得，所以，则； （2）设交 于点F，连接 ，则，由，得，，由，求得,，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交 于点F，连接 ，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】此题重点考查切线的性质、直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. “动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） （2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 【答案】（1） （2）野兔不能成功越过木桩，野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时， 的值，再根据比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后设起跳点向前移动米，新抛物线为：，要求当时，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为， ∴可设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴野兔不能成功越过木桩， 设起跳点向前移动米，新抛物线为：， 要求当时，即 化简得：， 解得：， ∴由题意得：野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩； 23. 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形 是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．    【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形 是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）如图1， 取的中点H，连接， ∵四边形 是正方形， ∴ ，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图2， 在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3， ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市2025年中招模拟考试（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 实数 、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 4. “学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是（ ） A. 不 B. 思 C. 则 D. 罔 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力G方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有 个人，物品价格为 钱，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成 角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动 ，则第2025秒时；点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，， ，，点在上，点F在上，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 10. 如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A. 用m表示I为： B. 电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C. 当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D. 电子体重计可称的最大质量为120千克 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代．若用2025个山楂穿了n串冰糖葫芦，每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是_______（用含n的代数式表示）． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是_______． 13. 2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日．某学校举行安全教育活动，每位学生从“交通安全”、“消防安全”和“校园安全”三个主题内容中，随机选取一个参加活动．其中小洛与小阳选中的主题相同的概率是______．     14. 如图，在菱形 中，，点 是对角线的中点，以点 为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在矩形 中， ，，点M，N分别为， 上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为 上一点，且，则的最大值为_____，的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了解甲、乙两校学生的中华文化知识水平，从两校各随机抽取了名学生进行中华文化知识竞赛，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： 甲校名学生的成绩：，，，； 乙校30名学生的成绩：，，，． 各分数段条形统计图： （1）请根据乙校的数据补全条形统计图； （2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格： 平均数 中位数 众数 甲校 乙校 ________，_______； （3）请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些，并说明理由． 18. 如图，小丽在公园散步到A处时，她发现南偏东方向的湖心岛上的B处有一棵开满粉色花的树，为更好的观察和拍照，小丽沿正东方向前进了5米到达C处，此时树恰好位于小丽东南方向上． （1）小丽还需要走多远离这棵树的距离最近？ （2）如图，当小丽走至离树最近的点D时，看向树顶端F的仰角，若小丽和树在同一水平面，且树BF与地面垂直，小丽眼睛离地面的距离米，求这棵树BF的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 19. 如图，一次函数的图象过点，与y轴交于点B，将线段向右平移，使点A落在点 ，点B的对应点C恰好落在反比例函数的图象上． （1）求a和k的值； （2）点D在射线 上，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线交x轴于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，求证：． 20. 洛阳体育技能类选考项目有篮球、足球、排球、乒乓球，考生可选一项进行考试．某学校原有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，为了使学生得到更好的训练，学校计划再采购 个足球（ 为偶数）， 个排球．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）． （1）请用含 ， 的代数式分别表示出在A、B公司购买体育用品的费用； （2）在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表： 足球 排球 篮球 乒乓球 1人用1个 1人用1个 2人共用1个 2人共用4个 若学校要满足700名学生同时训练，且采购的排球数量不能超过足球的数量，学校应在哪家公司采购能使费用最少，最少费用是多少？ 21. 如图，是的直径，点C在上，的平分线与 相交于点D，与过点B的切线相交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为3，，求的长． 22. “动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） （2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？ 23. 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形 是正方形，点E是边 的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．    【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形 是矩形，且，点E是边 的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $