8.6.3第2课时 平面与平面垂直的性质定理（1知识点+5题型）2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点 平面与平面垂直性质定理的应用 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 思路方法总结 1.空间垂直的关系 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 线线垂直线面垂直面面垂直 2.应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤：面面垂直线面垂直线线垂直. (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作直线与平面所成的角或二面角的平面角. 提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 3.空间问题平面化 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题. 典例·举一反三 题型一 空间垂直的相互转化 1．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（　　） A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α 2．下列命题中错误的是（　　） A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3．、、表示平面，、表示直线，若，且与相交但不垂直，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④.请你根据上面四个论断写出一个正确的命题： . 5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的序号是 ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，nm，则n； ⑤已知a，b是异面直线，一定存在无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面； ⑥已知a，b是异面直线，一定存在平面，使直线平面，直线平面. 题型二 面面垂直证明线面垂直 6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.求证：平面. 7．如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面. (1)证明：平面. (2)若为的中点，求到平面的距离. 9．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点.. (1)求证：直线平面；(2)求三棱锥的体积. 10．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，E和F分别是和的中点，求证： (1)平面；(2)平面． 题型三 面面垂直证明线线垂直 11．如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3． (1)证明：BC⊥PD； (2)证明：求点C到平面PDA的距离． 12．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，，且平面平面ABCD，E，F分别是线段AB，PC的中点． (1)求证：； (2)求证：平面PAD； 13．如图，是圆的直径，点为圆上异于，的任意一点，平面与圆所在的平面垂直，且. （1）求证：； （2）若，，求点到平面的距离. 14．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 15．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 题型四 面面垂直证明面面垂直 16．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD=2CE.点F为AD中点，连接EF.求证:平面AED⊥平面ABD. 17．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，平面，⊥，，.    (1)求证：平面. (2)求证：平面平面. 18．如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，. (1)证明：平面平面； (2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值. 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且AC＝AA1＝4，∠CAB＝∠CAA1＝60°. （1）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1； （2）求点A到平面A1B1C的距离. 20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，说明理由. 题型五 面面垂直的翻折问题 21．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证： 22．边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥. 23．如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 24．如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.    (1)证明：M为线段中点； (2)求二面角的余弦值. 25．如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点 平面与平面垂直性质定理的应用 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 简记 面面垂直，线面垂直 思路方法总结 1.空间垂直的关系 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 线线垂直线面垂直面面垂直 2.应用面面垂直的性质定理的策略 (1)应用步骤：面面垂直线面垂直线线垂直. (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作直线与平面所成的角或二面角的平面角. 提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可. 3.空间问题平面化 空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题. 典例·举一反三 题型一 空间垂直的相互转化 1．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（　　） A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α 【答案】B 【分析】根据面面垂直的判定定理构造反例否定A；利用面面垂直的性质定理和面面平行的性质，线面垂直的判定定理判定B正确；利用线面垂直的判定定理构造反例否定C,D. 【详解】A中α，γ可以相交. 如图所示: 设直线a⊥平面β，过a任作两平面和，则，，而直线a，故A错误； 对于B,由β⊥γ，设,在内作a的垂线b,如图所示： 由面面垂直的性质定理可得， 由于α∥β,∴， 又∵，∴, 故B正确. C中如图： a与b不一定垂直,直线a,b可能垂直，也可能不垂直，甚至平行，故C错误； D中当时，才能利用面面垂直的性质定理得到，没有此条件，则b可能与成任意的角度，甚至在内，不能判定b⊥α， 如图所示： 故D错误. 故选：B. 2．下列命题中错误的是（　　） A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于，设平面∩平面=直线a, 设直线，直线平面，且ba, 根据线面平行的判定定理可得直线b， 故正确； 对于B，如果内存在直线与垂直， 则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面， 与已知矛盾，故正确； 对于C，设平面α平面γ，平面β平面γ, 在内作直线， 由面面垂直的性质定理可得， 又∵直线,∴, 又∵α∩β＝l，∴为相交直线， 又∵平面，∴l⊥平面γ， 故C正确； 平面α⊥平面β，设平面α∩平面β， 在平面α内与平行的直线都不与平面垂直， 故 D项错误． 故选:D. 3．、、表示平面，、表示直线，若，且与相交但不垂直，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质定理判断A，由线面位置关系判断BD，根据面面垂直的判定定理性质定理判断C． 【详解】设，根据面面垂直的性质定理，只有内且与垂直的直线才与垂直．故A错误． 内且与垂直的直线与相交，与不平行．B错误． 假若，，根据面面垂直的判定定理，可以得出，与且与相交但不垂直矛盾．C错误． 设与相交于，则在内与平行的直线与平行．D正确． 故选：D． 4．已知、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④.请你根据上面四个论断写出一个正确的命题： . 【答案】若，，，则（答案不唯一） 【分析】根据线面垂直的判定性质定理结合面面垂直的性质定理可得出结论. 【详解】设，在平面内作直线，使得， 因为，，，，则， ，则，，，则，故. 故答案为：若，，，则（答案不唯一）. 5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的序号是 ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，nm，则n； ⑤已知a，b是异面直线，一定存在无数个平面，使直线b与平面交于一个定点，且直线平面； ⑥已知a，b是异面直线，一定存在平面，使直线平面，直线平面. 【答案】③④⑤ 【分析】由线面垂直和线面平行的性质判定①错误，由面面垂直的性质判定②错误，根据面面垂直、线面垂直判定③正确，由面面垂直的性质定理可得④正确，由直线和平面平行的判定定理判定⑤正确，利用反证法证明⑥错误. 【详解】①：若，，则或或或、相交但不垂直， 故①错误； ②：若，，则与平行或相交， 故②错误； ③：若，，则或， 又因为，所以， 故③正确； ④：由平面与平面垂直的性质定理可得④正确； ⑤：在直线上取一点，过点作直线，使， 由直线和平面平行的判定定理可知： 过直线可作无数个平面，使得，， 故⑤正确； ⑥：假设存在平面，使直线平面，直线平面， 则，与“已知a，b是异面直线”相矛盾，所以假设不成立， 即⑥错误. 故答案为：③④⑤. 题型二 面面垂直证明线面垂直 6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，又结合线面垂直的判定定理即可证明； 【详解】因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以， 平面， 所以平面. 7．如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）取的中点为N，连接，证明四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明结论. 【详解】（1）因为正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直， ，平面，平面平面, 故平面，平面，故， 是等腰直角三角形，，结合， 则，即， 又平面， 故平面； （2）取的中点为N，连接， 由于线段的中点为，故， 而正方形中，，故， 结合线段的中点为，可得， 即四边形为平行四边形，故， 平面，平面， 故平面. 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面. (1)证明：平面. (2)若为的中点，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】(1)利用面面垂直的性质,在平面中,作,证明平面,再利用线面垂直证明； (2) 求到平面的距离,首先需证明平面,转化为点到平面的距离,再利用建系法或者等体积法求解； 【详解】（1）证明：如图,在平面内作,交于点. 因为平面平面,平面平面平面, 所以平面,则. 因为平面,所以, 因为平面,所以平面. （2）解：如图，连接交于点,连接.易知为的中位线,所以. 因为平面平面,所以平面, 所以到平面的距离,即为点到平面的距离. 由（1）知平面,所以. 因为,所以.又因为平面,所以两两垂直. 因为,所以. 法一（建系）：如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则, 所以, . 设平面的法向量为, 则即 取,则,所以平面的一个法向量为. 则点到平面的距离,即到平面的距离为 法二（几何）：因为平面,所以,因为平面,所以,所以是直角三角形. 所以,因为是斜边的中点,所以. 则. 设点到平面的距离为,则,解得，即到平面的距离为. 9．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点.. (1)求证：直线平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在梯形中证明是矩形，得，然后由面面垂直的性质定理得与平面垂直，从而有，由此得证线面垂直． （2）由棱锥的体积公式转化计算：． 【详解】（1）因为为的中点，，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，所以， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以， 由平面为中点，所以点到平面的距离等于， 所以. 10．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，E和F分别是和的中点，求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明平面；(2)先根据平面与平面垂直的性质定理证明平面，再根据线面垂直的判定定理证明平面． 【详解】（1）因为E是的中点，， 所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； （2）因为平面底面，平面底面， ，底面， 所以平面，又， 所以平面，平面， 所以，，， 因为，所以， 因为E和F分别是和的中点，所以，又， 所以，，平面， 所以平面． 题型三 面面垂直证明线线垂直 11．如图，已知，四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3． (1)证明：BC⊥PD； (2)证明：求点C到平面PDA的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】(1)利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD； (2)利用等体积法，即可求点C到平面PDA的距离． 【详解】（1）∵四边形ABCD是长方形，∴BC⊥CD， ∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD， ∴BC⊥平面PDC， ∵平面PDC， ∴BC⊥PD； （2）取CD的中点E，连接AE和PE， ∵PD＝PC，∴PE⊥CD， 在Rt△PED中，． ∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC， ∴PE⊥平面ABCD， 由(1)知：BC⊥平面PDC， ∵四边形ABCD是长方形，∴BC∥AD， ∴AD⊥平面PDC， ∵平面PDC，∴AD⊥PD， 设点C到平面PDA的距离为h． 连接AC，由得，， ∴点C到平面PDA的距离是． 12．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，，且平面平面ABCD，E，F分别是线段AB，PC的中点． (1)求证：； (2)求证：平面PAD； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）先由平面平面ABCD证明平面，再由线面垂直的性质即可得证； （2）取为中点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定定理，求解即可. 【详解】（1）由题意，正方形ABCD，故， 又平面平面ABCD，平面平面ABCD， 平面， 故平面，又平面， 故. （2） 取为中点，连接， 由题意，E，F分别是线段AB，PC的中点． 故为的中位线，， 又，故， 即四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面PAD. 13．如图，是圆的直径，点为圆上异于，的任意一点，平面与圆所在的平面垂直，且. （1）求证：； （2）若，，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得面， 由线面垂直的性质即可求证； （2）根据圆的性质可得，结合可得面，求的长即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为平面与圆所在的平面垂直，即面面， 面面， ，面， 所以面， 因为面，所以； （2）是圆的直径，点为圆上异于，的任意一点， 所以， 因为，，所以， 由（1）知：，因为， 所以面， 所以点到平面的距离即为. 14．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 15．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】设，（1）由三棱柱中，四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理得证；（2）由三角形的边角关系得，再由面面垂直的性质定理求证；（3）由（2）中结论结合已知可证平面，再根据线面角的定义判断即为与平面所成的角， 再利用正余弦定理知识求解即可. 【详解】（1）证明：设，连接，， 因为，分别为，的中点，则，， 因为为的中点， 所以，且， 所以，， 则四边形为平行四边形， 故，因为平面，平面， 故平面； （2）证明：因为，，， 所以，即， 因为平面平面，且平面底面， 所以平面，又平面， 故； （3）解：因为，， 又，，平面， 故平面， 连接，则为在平面内的射影， 所以为与平面所成的角， 因为，，且， 所以， 在中，， 所以，则， 所以， 故， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 题型四 面面垂直证明面面垂直 16．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD=2CE.点F为AD中点，连接EF.求证:平面AED⊥平面ABD. 【答案】证明见解析 【分析】首先根据已知条件证得EF⊥平面ABD，然后即可证出平面AED⊥平面ABD 【详解】证明 取AB的中点O，连接FO，CO， 因为点F为AD中点， 所以FO∥BD且FO=BD， 因为CE∥BD，BD=2CE， 所以FO∥CE且FO=CE， 所以四边形FOCE为平行四边形，所以CO∥EF. 因为点O为AB的中点，且△ABC为等边三角形，所以CO⊥AB 又因为AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC平面ABD=AB 所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥CO， 又AB∩BD=B，所以CO⊥平面ABD， 又CO∥EF，所以EF⊥平面ABD， 因为EF⊂平面AED， 所以平面AED⊥平面ABD. 【点睛】对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 17．如图，正方形ABCD和平面四边形ACEF所在的平面互相垂直，平面，⊥，，.    (1)求证：平面. (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，求出，证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，作出辅助线，由平行关系得到，由勾股定理逆定理证明出，同理得到，从而证明出线面垂直，证明出面面垂直. 【详解】（1）如图，设正方形的对角线与交于，连.   ， ，. ∵平面，平面ABCD平面，平面， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面； （2）∵平面平面，平面平面，，平面， 平面， ∵平面，， ∵，∴， 连接， 由（1）易知是边长为1的正方形，故，得平面， ∵平面， ， 为等腰三角形，，， ， ， 同理，在中，，故， ，平面，平面， 平面. ∵平面， ∴平面平面 18．如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，. (1)证明：平面平面； (2)设中点为，求直线与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，进而根据线面垂直可证明面面垂直;（2）根据线面角的几何求法，先根据线面垂直找到线面角，进而在三角形中求解即可. 【详解】（1）证：平面平面 平面面 因为四边形为菱形,平面， 平面   平面 平面面 （2）因为平面平面，平面面； 四边形是矩形，所以底面 在中， ， 即为直线与平面所成角，在中, 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，且AC＝AA1＝4，∠CAB＝∠CAA1＝60°. （1）求证：平面AB1C⊥平面ABB1A1； （2）求点A到平面A1B1C的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】（1）连接A1B，设AB1∩A1B＝O，连接CO，可得△CAB≌△CAA1，可得CB＝CA1，A1B⊥CO，利用四边形ABB1A1为正方形，可得A1B⊥AB1.可得A1B⊥平面AB1C，进而可得证.. （2）根据CA＝AA1＝4，∠CAA1＝60°，可得CA1＝4，利用勾股定理及其逆定理可得：CO⊥AO，利用等积变形即可得出. 【详解】解：（1）证明：连接A1B，设AB1∩A1B＝O，连接CO， ∵AC＝AC，∠CAB＝∠CAA1，AB＝AA1，∴CAB≌CAA1，∴CB＝CA1， ∵O为A1B的中点，∴A1B⊥CO，∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1， 又平面AB1C，CO∩AB1＝O，∴A1B⊥平面AB1C， ∵平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1， （2）解：∵CA＝AA1＝4，∠CAA1＝60°，∴CA1＝4， 在RtCOA1中，又，∴，又，AC＝4， ∴OA2+OC2＝AC2，∴CO⊥AO， ∵平面AB1C⊥平面ABB1A1，平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，∴CO⊥平面ABB1A1， ∴CO为三棱锥C﹣AA1B1的高，∴， ∵CA1＝A1B1＝B1C＝4，∴， ∴点A到平面A1B1C的距离. 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定、点、线、面间的距离计算，线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 20．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）推导出平面，从而，推导出，从而平面，由此能证明平面平面； （2）当为中点时，连结，，交于点，则是的中点，连结，推导出，从而平面． 【详解】（1）证明：由题设知，平面平面， 平面平面， ，平面，平面， 平面，， 为上异于，的点，且为直径，， 又，平面， 平面，平面平面； （2）解：在线段上存在点，当为中点时，使得平面． 证明如下： 连结，，交于点， 是矩形，是的中点，连结， 是中点，， 平面，平面，平面， 所以当为中点时，平面． 题型五 面面垂直的翻折问题 21．如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直性质定理，可得线面垂直，再根据面面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意，根据勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理与性质，可得答案. 【详解】（1）证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，∴平面平面； （2）证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴， 由（1）知，平面，∵平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴. 22．边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．求证：⊥. 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得,利用面面垂直的性质定理证明平面，再根据线面垂直的判定定理和定义可得. 【详解】由题意可得，， 又平面平面，平面平面,平面 平面. 又平面，则， 又平面,平面 平面. 又平面, 23．如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，进而再证得面面垂直； （2）根据面面垂直可证线面垂直与线线垂直. 【详解】（1）又已知，则， 为等腰直角三角形， 又为中点， 则， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）    在平面中，过点作直线，使， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 又平面，， 即存在直线满足题意. 24．如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.    (1)证明：M为线段中点； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，即可结合正边形的性质求证， （2）根据面面垂直的性质可得的补角即为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由于平面，平面，平面平面, 故,又,故四边形为平行四边形， 故,由于，故,故M为线段中点， （2）过作于,过作于，连接, 由于平面与平面垂直,且交线为,平面， 故平面， 平面，故, 又，平面， 故平面 平面，故, 故的补角即为二面角的平面角， 由于故为的中点，则， 由于为等边三角形，为的中点，故, 在直角中， 故二面角的余弦值为    25．如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可 【详解】证明：取中点，连结. 在中， 分别为的中点， 所以，且. 由已知，， 所以，且， 因此四边形是平行四边形，所以有， 又因为平面，且平面， 所以平面； （2）证明：在正方形中，. 又因为平面平面ABCD中，且平面平面， 所以平面ABCD，又平面ABCD，所以. 在直角梯形ABCD中，，可得. 在中，， 所以. 所以，  ，平面， 平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$