8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理（3知识点+5题型）2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 二面角的概念 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2.画法： 3.记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q. 4.二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点2 平面与平面垂直的定义及应用 平面与平面垂直的定义与画法 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β. (2)画法： 知识点3 平面与平面垂直的判定定理及应用 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直. 思路方法总结 1.确定二面角的平面角的方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. ②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角. ③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角. 2.求二面角大小的步骤 ①找出这个平面角. ②证明这个角是二面角的平面角. ③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小. 3.用定义证明两个平面垂直的步骤 (1)找出两个相交平面的二面角的平面角. (2)证明这个二面角的平面角是直角. (3)根据定义，这两个平面互相垂直. 4.证明面面垂直的方法 (1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角. (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”. (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 典例·举一反三 题型一 面面垂直的判断 1．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若平面与平面不垂直，那么平面内能与平面垂直的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3．如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 4．已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 5．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 题型二 面面垂直的判定 6．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 7．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 8．如图，四面体中，，，是的中点，且，，，求证： (1)平面平面； (2)平面平面； (3) 平面平面． 9．如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证：(1)平面； (2)平面平面． 10．如图，在四棱锥中，，平面底面ABCD，，E，F分别是CD和PC的中点.求证： (1)底面ABCD； (2)平面PAD； (3)平面平面PCD. 题型三 面面垂直的补充条件 11．（多选）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（    ） A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 12．如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 13．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 14．如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且． (1)当点M在线段上什么位置时，有平面？ (2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？ 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点. (1)当为何值时，平面平面，并说明理由； (2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离. 题型四 二面角的计算 16．如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 18．如图，已知四边形是正方形，平面.二面角的平面角的大小为 ；二面角的平面角的大小为 .    19．如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 20．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 题型五 已知二面角求其他量 21．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    22．如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 23．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 24．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．    (1)证明：平面平面； (2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 二面角的概念 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2.画法： 3.记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q. 4.二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点2 平面与平面垂直的定义及应用 平面与平面垂直的定义与画法 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β. (2)画法： 知识点3 平面与平面垂直的判定定理及应用 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.用符号表示为：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.简记：线面垂直，面面垂直. 思路方法总结 1.确定二面角的平面角的方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. ②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角. ③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角. 2.求二面角大小的步骤 ①找出这个平面角. ②证明这个角是二面角的平面角. ③作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小. 3.用定义证明两个平面垂直的步骤 (1)找出两个相交平面的二面角的平面角. (2)证明这个二面角的平面角是直角. (3)根据定义，这两个平面互相垂直. 4.证明面面垂直的方法 (1)定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角. (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”. (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 典例·举一反三 题型一 面面垂直的判断 1．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举例说明判断ACD；利用线面垂直性质、面面垂直的判定推理判断B. 【详解】对于A，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，A错误； 对于B，由，知存在过的平面与相交，令交线为，则，而， 于是，，B正确； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，C错误； 对于D，在长方体中，平面，平面分别为，分别为直线， 显然，而平面平面，D错误. 故选：B 2．若平面与平面不垂直，那么平面内能与平面垂直的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】A 【分析】根据条件，利用面面垂直的判定定理，即可求出结果. 【详解】假设平面内存在直线满足，又，所以，与题设矛盾， 所以平面内不存在直线满足， 故选：A. 3．如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据线面平行、线面垂直、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，连接，由于分别是的中点， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确.    B选项，连接， 由于三角形和三角形是等边三角形， 是的中点，所以， 由于平面，所以平面，B选项正确.    C选项，几何体是正四面体， 设在底面上的射影为，连接，则平面， 且是等边三角形的中心， 连接，由于分别是的中点， 所以是等边三角形的中位线，所以， 所以平面与平面不垂直，C选项错误.    D选项，连接， 同理B选项的分析可得平面， 由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.    故选：C 4．已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，因为，，所以， 又，所以不同的平面满足，故A正确； B，若，且，则或两平面相交， 比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，且，但是底面和侧面并不平行，故B错误； C，若，且，则两平面相交或平行， 比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，但是上底面与下底面并不垂直；故C错误； D，因为，，则，又，所以，故D正确. 故选：AD 5．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：，，，也可能平行，故错误； 对于B：若，，则，正确； 对于C：，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故错误； 对于D：由，，可得：，再由，可证，故正确. 故选：BD 题型二 面面垂直的判定 6．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； 【详解】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 7．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 8．如图，四面体中，，，是的中点，且，，，求证： (1)平面平面； (2)平面平面； (3) 平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）要证明平面ABC⊥平面ADC垂直，转化为证明平面; （2）要证明平面平面,转化为证明平面； （3）要证明平面平面，即证明平面. 【详解】（1）因为，且点是的中点， 所以， 由，，，所以,则， 且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面 （2）因为，，且点是的中点， 所以，，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3）由（1）（2）可知，，， 且，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 9．如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，结合面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）在中，M是的中点，D是的中点， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2）在中，，M是的中点，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 10．如图，在四棱锥中，，平面底面ABCD，，E，F分别是CD和PC的中点.求证： (1)底面ABCD； (2)平面PAD； (3)平面平面PCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据平面底面ABCD证明底面ABCD； （2）证明，证明四边形ABED为平行四边形，证明平面PAD； （3）证明，证明，证明平面PAD，证明，证明平面BEF，证明平面平面PCD. 【详解】（1）平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，， 底面ABCD； （2），E是CD的中点， ，且， 所以四边形ABED为平行四边形， ，又平面PAD，平面PAD， 平面PAD； （3）四边形ABED为平行四边形，， ， 由（1）知底面ABCD，底面ABCD， ，，平面， 所以平面PAD，平面， ，分别是CD，PC的中点， ， ，平面， 平面，平面PCD， 所以平面平面PCD. 题型三 面面垂直的补充条件 11．（多选）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（    ） A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 【答案】BD 【分析】执果索因，若要平面MBD⊥平面PCD，根据图像推出需要哪些条件，即可得解. 【详解】 连接AC，BD，BM，MD． 因为在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 所以BD⊥PA，BD⊥AC，因为PA∩AC=A， 所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC． 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD． 而PC属于平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD． 故选：BD. 12．如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 13．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 14．如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且． (1)当点M在线段上什么位置时，有平面？ (2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？ 【答案】(1)当点为线段的中点时，有平面，证明见解析． (2)点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面 【分析】（1）当点为线段的中点时，有平面．先证明：平面．根据四边形是平行四边形，可得．已知可得，，可得，从而平面．可得．根据正三角形的性质可得，即可证明平面． （2）在（2）的条件下，点时，有平面平面．下面给出证明：在（1）的条件下，平面．可得．于是平面．平面平面．根据等腰三角形、直角三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：当点为线段的中点时，有平面． 下面先证明：平面． 四边形是平行四边形，． 又，即，， ，平面，平面，， 从而平面，平面．． 是正三角形，， ， 又，平面，平面，平面． （2）解：在（1）的条件下，点时，有平面平面，即点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面． 下面给出证明：在（1）的条件下，平面，平面．，又．，平面，平面 平面．因为平面 平面平面． 不妨设，则，． 则，即，解得 ． ． 点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面． 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点. (1)当为何值时，平面平面，并说明理由； (2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）取，即点为的中点，证明出平面，结合面面垂直判定定理可得出结论； （2）由题意可知为的中点，利用已知条件求得以及三棱锥的体积，计算出的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）解：当时，平面平面，理由如下： 因为底面，平面，所以， 因为为矩形，所以， 又，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以为线段的中点，又因为，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：因为平面平面，由（1）可知为的中点. 因为底面，所以点到底面的距离为， 所以， 因为，所以，所以，， 平面，平面，则，同理可知， ，为的中点，则，， 所以，， 设点到平面的距离为，由得，解得. 题型四 二面角的计算 16．如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连接，根据条件得到，从而为二面角的平面角，再利用几何关系，即可求解. 【详解】取中点，连接，因为和都是等边三角形， 则，所以为二面角的平面角， 又，则，，所以， 所以二面角的大小为. 故选：C. 17．如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 【答案】ABD 【分析】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【详解】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于B，直接证明平面不好证，可通过证明的平行线垂直平面来得证，因为，故求证平面即可得证平面. 18．如图，已知四边形是正方形，平面.二面角的平面角的大小为 ；二面角的平面角的大小为 .    【答案】 【分析】由平面.确定，，即可确定二面角的平面角，进而可求解. 【详解】空1：∵平面，在平面. ∴. ∴为二面角的平面角. 又由题意知， ∴二面角的平面角的大小为. 空2：∵平面，在平面. ∴, ∴为二面角的平面角. 又四边形ABCD为正方形， ∴， 故二面角的平面角的大小是. 故答案为：， 19．如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判断定理，首先证明平面，即可证明面面垂直； （2）首先根据，构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由条件可知，，，且， 所以， 过点作，连结，则，且 所以为二面角的平面角，    由（1）知，平面，平面，所以， 由，则，所以，则， 中，，， 所以，所以, 所以二面角的大小为. 20．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由三角形全等得到，由三线合一得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直； （2）由（1）得到为二面角的平面角，即，作出辅助线，由（1）知，⊥，证明出⊥平面，并求出，求出，由锥体体积公式得到答案. 【详解】（1）为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）由（1）知，⊥，⊥， 故为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 由勾股定理得， 过点作⊥于点， 由（1）知，⊥平面，而平面， 所以⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 其中， 即三棱锥的高为，    由勾股定理得， 故， 三棱锥的体积为. 题型五 已知二面角求其他量 21．如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】作,根据二面角的定义可得，即可利用余弦定理求解，进而由勾股定理求解. 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 故答案为： 22．如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 23．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．    (1)求证：平面平面． (2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质可推出平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）过作于D，说明是与平面ABC所成的角，作，说明为二面角的平面角．进而结合解三角形可得，利用三角恒等变换，即可求得答案. 【详解】（1）与都垂直，由棱台的性质得， ．又平面， 平面．又平面ABC， ∴平面平面，即平面平面． （2）由（1）知，平面平面ABC．如图，    过作于D，平面平面平面， 则平面， 是与平面ABC所成的角，即． 作于E，连接平面ABC，平面ABC，． 又，平面， 平面平面， 则为二面角的平面角． 在中，，得． 平面，平面，所以，则， 在中，． 由∽-，得，则． ，则， ，即， 于是，则， . 24．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． (1)证明：； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的平面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【分析】（1）只需结合已知证明平面即可，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）利用转换法，可知只需求出即可，再结合解三角形知识即可求解； （3）找出二面角的平面角，再结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （2） 平面，平面，平面平面（其中点是的交点亦是中点）， ，可知N为中点， 而，，， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 结合，解得， . （3） 由题意知平面，过点N作平行线交于点H， 面，再作（K为垂足）， 为二面角的平面角，， 由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形， 从而， 在三角形中，， 所以， 而，所以， 不妨设，， 则且，， . 25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．    (1)证明：平面平面； (2)点在棱上，当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而可得结论； （2）过作交于，过作于，连接，先证明平面，可得为二面角的平面角，设，列方程求解即可. 【详解】（1）连结，∵侧棱底面， 平面，∴． 又∵底面是正方形，∴． 而且，平面． ∴平面．又平面， ∴平面平面．    （2）过作交于，过作于，连接． 在平面中，，， ∴，因为底面，∴平面， 又平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，又平面，∴， ∴为二面角的平面角． 故，则． 设，则，，． 在Rt中，，∴． 在Rt中，， ∴．所以，当二面角的余弦值为时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$