精品解析：广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

培英高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或4 D. 3或4 【答案】D 【解析】 【分析】由组合数的性质即可求解. 【详解】由， 可知：或， 所以或， 故选：D 2. 随机变量的分布列为 1 3 P m 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故选：A 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 191 B. 192 C. 193 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【详解】因为，则， 故选：C 4 若函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令，求得，进而可求解. 【详解】由， ， 令，可得，得， 所以， 所以， 故选：A 5. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( ) A. 0.63 B. 0.24 C. 0.87 D. 0.21 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可． 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3， 从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C， 从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D， 则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8， 由题可知A、B、C、D互相独立， 故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为： P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87． 故选：C． 6. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果. 【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况： （1）每组人数别为1，2，2，方法有； （2）每组的人数分别为1，1，3，方法有， 所以不同的方案有90+60=150种. 故选：A 【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 5 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的多项式，利用组合的意义分析项的构成，列式计算作答. 【详解】可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得： 从5个式子中取2个式子提供，余下3个式子提供，则可得到； 从5个式子中取1个式子提供，另4个式子提供，则可得到， 所以的展开式中的系数为. 故选：C 8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程变形为或，然后分析的单调性，再对不同的进行分类讨论即可得到结果. 【详解】由于，故原方程等价于或. 由于当时，，故在上单调递减. 而当时，有，故此时， 从而当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 从而当时，有，而在上单调递减，， 所以有唯一的解. 若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或， 而只有一个解，所以方程至少有三个解. 假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以. 假设，则当，时有， 从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解， 所以至多有两个解，矛盾，所以. 综上，有，即； 另一方面，当即时，设， 由于，，， 且. 故在，，上各有一个解，从而至少有三个解. 而，（因为），所以或有四个解. 综上，的取值范围是，即，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围问题，需要严格证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含充分性和必要性两方面. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案. 【详解】B选项：，对； C选项：,C对； A选项：由全概率公式得： , ,A错； D选项：D对； 故选：BCD 10. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 最大时， D. 的整数的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由得到，根据得，判断A选项，根据等差数列通项公式判断B选项，根据和求的最大值，判断C选项，由等差数列前项和公式判断D选项. 【详解】因为，所以，从而， 因为，所以，A正确；，B正确； 因为，所以，所以为的最大值，C错误； ，令，解得，所以整数的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为单调增函数 B. 是函数的极大值点 C. 函数至多有两个零点 D. 时，不等式 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，求导，再根据，判断正负，得到的单调性再逐项判断. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以当时，，，则在递减； 当时，，，则在递增； 所以当时， 取得极大值，，A错B对， 当时，无零点，无零点； 当时，有一个零点，有一个零点； 当时，最多有两个零点，至多有两个零点， 故函数至多有两个零点；C对， 当时，，，所以不等式恒成立，D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________．（用数字作答） 【答案】63 【解析】 【分析】根据展开式，当时，有，当时，有，可计算. 【详解】已知， 当时，有， 当时，有， 所以. 故答案为：63 13. 如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种. 【答案】13 【解析】 【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案. 【详解】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况， 若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况， 若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况. 若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况. 故答案为：13. 14. 某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为______． 人 题号 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ × × √ √ 2 × √ × √ √ √ 3 √ × × √ × × 4 √ × × × √ × 5 × × √ √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 【答案】14分 【解析】 【分析】方法一：根据无论答案是“√”还是“×”，一个答“√”的人和一个答“×”的人的得分和为，从而得到每道题前五人的得分比吴多2分，然后计算得分即可； 方法二：根据钱的成绩分析答案，然后求得分； 方法三：分析孙的答案情况，然后求得分. 【详解】解法一：分析可得，无论每道题的结果如何，每道题前五人的得分比吴的得分多2分，则吴的得分为：，加上基本分后为14． 解法二：由于前四个人只有钱的得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题， 不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分；： 人 题号 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ × × × √ √ 2 × × × √ √ √ 3 √ √ × √ × × 4 √ √ × × √ × 5 × √ √ √ √ √ 得分 14 14 14 14 11 对于6个人而言，前4个题，6个人的答案都是三个√，三个错，那前4个题，每个题都是3个人对，3个人错；前4个题的总分为：分； 现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5个题的得分是：分，最终5个题的总得分为69分； 而从得分来看，分，于是吴得分是2分，矛盾； 于是第5题正确答案是“√”，第5题的得分是：分，6个题的总分为：81分，于是吴得14分． 解法三：考虑第一，二题孙的答案是对的， （1）若孙第三题答案也是对的，与赵14分矛盾； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ ×（2） ×（2） √ √ 2 ×（2） √ ×（2） √ √ √ 3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2） 4 √ × × × √ × 5 × × √ √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 （2）若孙第三题答案是错的，钱最后两题只能全对，与周11分矛盾； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ ×（2） ×（2） √ √ 2 ×（2） √ ×（2） √ √ √ 3 √（2） × × √（2） × × 4 √ ×（2） ×（2） ×（2） √ 5 ×（2） ×（2） √ √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 考虑孙第一题对，第二题答案是错的 （3）若孙第三题答案是对的，则赵最后两题全对，与孙14分矛盾； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ ×（2） ×（2） √ √ 2 × √（2） × √（2） √（2） √（2） 3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2） 4 √（2） × × × √ × 5 ×（2） × √ √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 （4）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，与赵14分矛盾； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ ×（2） ×（2） √ √ 2 × √（2） × √（2） √（2） √（2） 3 √（2） × × √（2） × × 4 √ × ×（2） × √ × 5 × × √（2） √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 考虑孙第一题错，第二题答案是对的 （5）若孙第三题答案是对的，则李最后两题全对，与孙14分矛盾； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √（2） √（2） × × √（2） √（2） 2 ×（2） √ ×（2） √ √ √ 3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2） 4 √2 × ×（2） ×（2） √ × 5 × × √（2） √（2） √ √ 得分 14 11 14 14 11 （6）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，此时正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √（2） √（2） × × √（2） √（2） 2 ×（2） √ ×（2） √ √ √ 3 √（2） × × √（2） × × 4 √ ×（2） ×（2） ×（2） √ ×（2） 5 × × √（2） √（2） √（2） √（2） 得分 14 11 14 14 11 14 考虑孙第一题错，第二题答案是错的，则孙后三题全对，与赵14分矛盾； 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √（2） √（2） × × √（2） √（2） 2 × √（2） × √（2） √（2） √（2） 3 √ ×（2） ×（2） √ ×（2） ×（2） 4 √ × ×（2） × √ × 5 × × √（2） √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 综上所述：正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分． 故答案为：14分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. （1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； （2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列． （2）利用条件概率转化求解即可． 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为0，1，2， 依题意得：，，， 的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件， 根据分步计数原理，． 所以． 16. 已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式； （2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和. 【小问1详解】 由题意， 在等差数列中，设公差为, 由，得，则， 又a3＋2，a4，a5－2成等比数列， ∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2， ∴，， ∴数列的通项公式为：． 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，， 在数列中，， ∴， ∴， ， 两式相减得 ． ∴ 17. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为． （1）求实数、的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可得出实数、的值； （2）利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得结果. 【小问1详解】 解：因为，该函数定义域为，， 因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为， 则，解得. 【小问2详解】 解：由（1）可得，该函数的定义域为，， 由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. 18. 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； （2）若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； （3）在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 【答案】（1）处取得最大值，. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【小问1详解】 已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为. 所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. 【小问2详解】 已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. 【小问3详解】 已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 19. 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： （1）求出、、的值； （2）写出的泰勒展开式（至少有项）； （3）设，，，证明：. 【答案】（1），， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据可得出、、的值； （2）根据材料二可得出的泰勒展开式； （3）利用分析可知，要证所证不等式成立，即证当时，，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，证明出即可. 【小问1详解】 由题意可得，， . 【小问2详解】 设，则，，，， 以此类推可知，对任意的，，则， 所以， . 【小问3详解】 对任意的，要证明，即证， 即证， 令，其中， 则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即，故原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培英高级中学2024-2025学年度第二学期期中考试 高二年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或4 D. 3或4 2. 随机变量的分布列为 1 3 P m 则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 191 B. 192 C. 193 D. 194 4 若函数，则（ ） A 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( ) A. 0.63 B. 0.24 C. 0.87 D. 0.21 6. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 5 B. C. 15 D. 8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C 最大时， D. 的整数的最大值为 11. 已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为单调增函数 B. 是函数的极大值点 C. 函数至多有两个零点 D. 时，不等式 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________．（用数字作答） 13. 如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种. 14. 某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为______． 人 题号 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ × × √ √ 2 × √ × √ √ √ 3 √ × × √ × × 4 √ × × × √ × 5 × × √ √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人. （1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列； （2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率. 16. 已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为． （1）求实数、的值； （2）求函数的单调区间和极值． 18. 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； （2）若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； （3）在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 19. 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封.他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中. 阅读材料二：英国数学家泰勒发现泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题： （1）求出、、的值； （2）写出泰勒展开式（至少有项）； （3）设，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $