微专题13 w取值与范围问题（5大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题13 w取值与范围问题 【题型归纳目录】 题型一：零点问题 题型二：单调性与极值 题型三：对称性 题型四：最大值与最小值 题型五：综合应用问题 【知识点梳理】 1、在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 2、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 3、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、已知单调区间，则. 【典型例题】 题型一：零点问题 【典例1-1】设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：单调性与极值 【典例2-1】（2025·江苏南通·二模）已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·全国·三模）已知函数在上不单调，在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：对称性 【典例3-1】记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【典例3-2】记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（2025·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型四：最大值与最小值 【典例4-1】（2025·北京昌平·二模）设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（    ）． A．, B．, C．, D．, 【典例4-2】（2025·安徽马鞍山·三模）函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间上的最小值是，则的最小值为 . 题型五：综合应用问题 【典例5-1】（2025·高三·河南郑州·期中）已知函数在有且仅有5个零点．下述四个结论：①在上有且仅有3个极大值点；②在上有且仅有2个极小值点：③在上单调递增；④的取值范围是．其中结论正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 【典例5-2】设函数，已知在内有且仅有2个零点，且在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【变式5-1】函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选题）已知函数，则下述结论中错误的是（ ） A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点 B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增 C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是 D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为11 【专题训练】 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 A． B． C． D． 3．（2025·山东·二模）已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当取最小值时，函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．设为的两个零点，且的最小值为1，则 A． B． C． D． 7．已知的图象关于直线对称，若存在，使得对于任意的x都有，且的最小值为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．设函数，在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上单调递增，直线和为函数图象的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·安徽安庆·三模）设函数，已知在有且仅有5个零点.下述四个结论不正确的是（    ） A．在上有且仅有3个极大值点 B．在上有且仅有2个极小值点 C．在上单调递增 D．ω的取值范围是 13．设函数，其中．若，且的最小正周期大于，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·全国·模拟预测）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 16．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（多选题）已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知，下列结论正确的是（    ） A．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则可以等于 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 D．若在上单调，且，则的最小正周期为 19．（多选题）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（　　） A．若，，且，则 B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为 D．若在上单调递增，则的取值范围为 20．（多选题）（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 21．（多选题）（2025·浙江温州·三模）已知函数的值域是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则不存在最大值 B．若，则的最小值是 C．若，则的最小值是 D．若，则的最小值是 22．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为 ． 23．已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则 ， ． 24．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题13 w取值与范围问题 【题型归纳目录】 题型一：零点问题 题型二：单调性与极值 题型三：对称性 题型四：最大值与最小值 题型五：综合应用问题 【知识点梳理】 1、在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 2、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 3、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、已知单调区间，则. 【典型例题】 题型一：零点问题 【典例1-1】设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得， 所以，，则，， 设函数的最小正周期为，则,即, 所以，又，，则，，经验证可知， 当时与题图相符，所以的最小正周期， 故选：C. 【典例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为， 若，由，得， 所以， 因为为的零点，所以， 故所以， 因为，则的最小值为3. 故选：B. 【变式1-1】已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 故选：D. 【变式1-2】（2025·四川雅安·一模）已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知为函数的最小正周期，故， 由得，即， 由于，故， 在区间有且只有三个零点，故， 且由于在上使得的x的值依次为， 故，解得，即， 故选：D 题型二：单调性与极值 【典例2-1】（2025·江苏南通·二模）已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又， 由，得到， 所以函数的单调增区间为， 依题有，则，得到， 故选：B. 【典例2-2】（2025·福建福州·模拟预测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， 又因为，且，则， 若在上单调递增， 所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调， 所以的周期，所以， 所以． 故选：D． 【变式2-1】（2025·全国·三模）已知函数在上不单调，在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，函数在上不单调，故，即； 因为时，； 故， 则，解得：， 而，且，，故选D． 【变式2-2】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上为增函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象. 当时，， 由于正弦函数在附近单调递增，且， 因为，函数在上为增函数，所以，， 所以，，解得，因此，的最大值为. 故选：C． 题型三：对称性 【典例3-1】记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】函数的最小正周期为， 则，由，得，， 的图像关于点中心对称，， 且，则，． ，，取，可得． ，则． 故选：D． 【典例3-2】记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意得，所以. 因为的图象关于点中心对称， 所以， 所以， 由，得， 所以， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（2025·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于轴对称， 则，又因为，则当时，. 故选：C 【变式3-2】若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】函数的图象向右平移个单位长度所得函数为： ， 则关于y轴对称， 即，则， 因为，所以当时，的最小值为， 故选：D. 题型四：最大值与最小值 【典例4-1】（2025·北京昌平·二模）设函数．已知，且当时，的最小值为4，则（    ）． A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【解析】因为的值域为, 所以当函数值同时取最大值或最小值时，满足. 因为的最小值为4，所以函数的周期. 所以. 因为，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 【典例4-2】（2025·安徽马鞍山·三模）函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为，所以， 问题转化为函数在时恰有两个最小值点， 所以有，因为，所以， 故选：A 【变式4-1】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间上的最小值是，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，得， 则是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的， ∴，则解得， ∴的取值范围是. 要使函数在区间上的最小值是， 则即，解得，∴的最小值为. 题型五：综合应用问题 【典例5-1】（2025·高三·河南郑州·期中）已知函数在有且仅有5个零点．下述四个结论：①在上有且仅有3个极大值点；②在上有且仅有2个极小值点：③在上单调递增；④的取值范围是．其中结论正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①④ 【解析】作出函数的图象，根据在有且仅有5个零点，再逐项判断.如图所示： 由图象可知在上有且仅有3个极大值点，故①正确; 在上可能有3个极小值点，故②错误； 因为函数在有且仅有5个零点，所以，解得，故④正确； 因为，所以，若在上单调递增，则，解得，不符合，故③错误； 故答案为：①④ 【典例5-2】设函数，已知在内有且仅有2个零点，且在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 若，则， 因为在内有且仅有2个零点，所以，解得①， 若，则， 因为在区间上单调递增，所以，解得②， 由①②式联立可知的取值范围是. 故答案为： 【变式5-1】函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵  ，， ∴ ，， 又对于任意的都有， ∴ ，， ∴ ，又， ∴ 或， 当时， ，且， 当时，， 若，则， ∴在上不单调，C错误， 当时， ，且， 当时，， 若，则， ∴在上不单调，A错误， 当时，， 若，则， ∴在上单调，D正确， 故选：D. 【变式5-2】（多选题）已知函数，则下述结论中错误的是（ ） A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点 B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增 C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是 D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为11 【答案】BD 【解析】因为,因为 在有且仅有个零点，所以 ，所以.所以选项C正确； 此时，在有且仅有 个极小值点，故选项A正确； 因为， 因为，所以当时，所以 ，此时函数不是单调函数，所以选项B错误； 若的图象关于对称，则，. ，，，. 当时，，当时，， 此时，函数在区间上单调递减，故的最大值为9．故选项D错误. 故选：BD 【专题训练】 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 综上，， 故选:D. 2．（2025·河南南阳·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：写出平移后函数解析式，结合正弦函数的单调性得出的范围． 平移后，当时，，由题意，即，∴，最大值为2． 故选D． 3．（2025·山东·二模）已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】函数，的图象向左平移个单位后所得函数， 函数的图象与的图象关于直线对称，则， 于是对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因此，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：A 4．将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当取最小值时，函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图象向左平移个单位后 所得函数为， 因为的图象关于直线对称， 则有，解得， 因为，所以的最小值为， 故函数的最小正周期为． 故选：A 5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 6．设为的两个零点，且的最小值为1，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得, 设x1，x2为f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的两个零点，且的最小值为1， ∴=1，解得T=2； ∴=2， 解得ω=π． 故选A． 7．已知的图象关于直线对称，若存在，使得对于任意的x都有，且的最小值为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得的半周期，由此求得的值，结合根据的对称轴列方程，求得的值.依题意存在，使得对于任意的x都有，所以分别是的最小值和最大值，而的最小值为，所以，由解得，所以.由于的图象关于直线对称，所以的值为或，即的值为或，由于，所以. 故选：B 8．设函数，在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，如上图可知：若函数，在区间恰有三个最值点和两个零点，则， 故选：A. 9．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 而在上的极值点个数少于等于零点个数，不满足题意； 所以， 函数在区间恰有三个极值点、两个零点， ，，求得 ， 故选：C 10．已知函数在区间上单调递增，直线和为函数图象的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上递增，直线和为函数图象的两条相邻对称轴， 函数的周期，则， 当时，函数取得最小值，则，解得， 因此，所以. 故选：A 11．（2025·四川宜宾·模拟预测）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在区间上单调递增，且直线与为相邻的两条对称轴， 所以，即，且，， 又时取得最小值，即，所以， 解得， . 故选：A. 12．（2025·安徽安庆·三模）设函数，已知在有且仅有5个零点.下述四个结论不正确的是（    ） A．在上有且仅有3个极大值点 B．在上有且仅有2个极小值点 C．在上单调递增 D．ω的取值范围是 【答案】B 【解析】作出的图像,如图，根据题意知，， 根据图象可知函数在有且仅有3个极大值点，所以A正确； 但可能会有3个极小值点，所以B错误； 根据，有，得，所以D正确； 当时，，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以C正确. 故选:B 13．设函数，其中．若，且的最小正周期大于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的最小正周期，可得，所以，所以．再由及得．故选A． 14．（2025·全国·模拟预测）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数在区间内恰有三个极值点、两个零点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A． 15．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴， ，① ，② ①-②得， 令，，则，， ，，的最小正周期， 在上单调， ， ，解得， 当时，，则②式为，， 又，，此时， 当时，， 在上不单调，不符合题意舍去； 当时，，则②式为，， 又，当时， ，此时， 当时，，单调递增； 当时，，此时， 当时，，单调递减. 的最大值为9. 故选：C 16．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解析：由图可知，即，所以． 由五点法可得，即．所以． 因为， 所以由，得或． 因为， 所以满足题意的最小正整数x为2， 故选:B． 17．（多选题）已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为函数在区间上单调， 且满足，而，， 即的一个对称中心为，，且在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则，即，解得， 又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期，则，即， 解得，而，因此， 所以可能得取值为，. 故选：BC 18．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知，下列结论正确的是（    ） A．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则可以等于 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 D．若在上单调，且，则的最小正周期为 【答案】BD 【解析】A项，向在平移个单位长度后，得到的函数为，由所得图象关于轴对称， ，即，不可能取，故A错误. B项，时，， 故，即，故B正确. C项，由得，的所有零点为. 不妨设是在上的三个零点， 则，， 解得且. 由得，由得， 故. 当时，且； 当时，且，. 综上可知，或，故C错误. D项，因为在区间上单调， ，故. 由，且在区间上单调， 为的一个对称中心. 又，且， 为的一条对称轴. 而，故D正确. 故选：BD. 19．（多选题）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（　　） A．若，，且，则 B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为 D．若在上单调递增，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】对于A，若，，且， 则，故A错误； 对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到， 若所得图象关于y轴对称，则，， 即，，所以存在时满足条件，故B正确； 对于C，由，得， 若在上恰有7个零点， 则，即，故C正确； 对于D，由，得， 若在上单调递增， 则，即，故D错误. 故选：BC. 20．（多选题）（2025·辽宁沈阳·一模）如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】令得，或，， 由图可知：，，， 所以，， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 所以， ，故B错误. 当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移）， 为偶函数得，， 所以，，则的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 21．（多选题）（2025·浙江温州·三模）已知函数的值域是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则不存在最大值 B．若，则的最小值是 C．若，则的最小值是 D．若，则的最小值是 【答案】ABC 【解析】当时，，，，当足够大时， 包含完整周期，故A正确； 为使更小， 只包含一个最大、最小值点，所以，解得，， 所以时，，验证成立，故B正确； C项：若，当取最小值时，周期最大，且，故，故，故C正确； D项：若，取最小值时，周期最大，，当，此时， D错误． 故选：ABC． 22．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，所以，， 因为，则，所以，， 由题意可知，则， 所以，，，故的最小值为. 故答案为：. 23．已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则 ， ． 【答案】 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， 当时，，即，； 当时，，即，； 综上：； 因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则， 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以， ． 故答案为：；. 24．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若， . 【答案】/ 【解析】设，由可得， 由可知，或，， 由图可知，，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以， ． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$