专题14 灵活玩转概率 （6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题14 灵活玩转概率 【题型归纳目录】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 题型二：互斥事件、对立事件的判断 题型三：独立事件的判断 题型四：古典概型 题型五：独立事件概率的计算 题型六：概率的综合应用 【知识点梳理】 1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【典型例题】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 【典例1-1】（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【解析】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 【典例1-2】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【解析】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机， 对于A，有，故A正确； 对于B，事件B、D不可能同时发生，两事件互斥，所以，故B正确； 对于C，成立，故C正确； 对于D，{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确． 故选:D． 题型二：互斥事件、对立事件的判断 【典例2-1】（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【答案】A 【解析】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 【典例2-2】（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【解析】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 【变式2-1】（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 【答案】D 【解析】根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况， 易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件， 故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件． 故选：D． 【变式2-2】（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【解析】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 题型三：独立事件的判断 【典例3-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【答案】C 【解析】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 【典例3-2】（23-24高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 【答案】B 【解析】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件,，即B与不相互独立，故B错误; ，即与不相互独立，C与A互斥故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】B 【解析】依题意，试验的样本空间为，， 显然，则；，； ，；，. 对于A，因,故与不是互斥事件，A正确； 对于B，因，，而,故与不独立，即B错误； 对于C，因，,故与相互独立，即C正确； 对于D，因，，故与相互独立，即D正确. 故选：B. 【变式3-2】（19-20高一下·全国·课后作业）若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【答案】C 【解析】对于A,D两项，由可知事件与事件能同时发生，则两者不互斥，故A,D错误； 对于B，由，得，又， 则， 即事件与事件不是互为对立事件，故B错误； 对于C，由上分析，可得,故事件与事件相互独立，即C正确. 故选：C. 题型四：古典概型 【典例4-1】（22-23高一下·天津南开·期末）在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为 ． 【答案】/ 【解析】记2袋已经过了保质期的牛奶为，3袋未过保质期的牛奶为， 从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：，共10种情况； 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：，共3种情况； 所以所求概率为. 故答案为：. 【典例4-2】（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“ ”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【答案】/ 【解析】由题意可知，共有4根算筹， 当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80； 其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为， 故答案为： 【变式4-1】（23-24高一下·江苏苏州·期末）在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 . 【答案】/0.2 【解析】在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数， 则这两数之和可能是：，总共有15个数， 其中素数为：，共有3个数， 所以这两数之和仍为素数的概率是. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）四名学生按任意次序站成一排，则A或在边上的概率为 ． 【答案】 【解析】四名学生按任意次序站成一排，样本点共24个，这24个样本点发生的可能性是相等的， 如下图所示． 都不在边上的情况共4种，所以A或在边上的概率为. 故答案为：. 题型五：独立事件概率的计算 【典例5-1】（23-24高一下·四川攀枝花·期末）已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（    ） A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72 【答案】B 【解析】，， 所以. 故选：B. 【典例5-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）在古装剧《知否》中，甲和乙两人进行一场投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷相互独立，比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如下所示： 筹数 2 4 5 6 10 0 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹． 分以下四种情况：①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率； ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率， 故甲获胜的概率． 故选：D． 【变式5-1】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】甲取得最后的胜利包含两种情况: 一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为； 二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为， 所以甲取得最终胜利的概率为. 故选；D. 【变式5-2】（2023高三上·江苏徐州·学业考试）天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 【答案】D 【解析】由题意，甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，且两地是否降雨相互独立， 所以甲乙两地均不下雨的概率为， 所以，这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为. 故选：D. 题型六：概率的综合应用 【典例6-1】（24-25高一上·辽宁·期末）学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立． (1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率； (2)求学生甲两题均答对的概率． 【解析】（1）若学生甲第一题选择A种试题作答，则第二题选择B种试题作答的概率 ， 若学生甲第一题选择B种试题作答，则第二题选择A种试题作答的概率 ， 故学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率． （2）若学生甲两题都选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率， 若学生甲两题都选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率， 若学生甲第一题选择A种试题作答，第二题选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率 ， 若学生甲第一题选择B种试题作答，第二题选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率 ， 故学生甲两题均答对的概率. 【典例6-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)根据频率分布直方图估计中位数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为 ， 所以样本中分数高于的概率为． 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为． （2）由频率分布直方图可得：上的频率为， 而上的频率为，故此两组的频率和为， 设中位数为，则且， 故即中位数为. （3）设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为： 共10种情况. 其中2人中男女同学各1人包含结果为： ，共6种. 设事件抽取的2人中男女同学各1人，则 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是. 【变式6-1】（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【解析】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件. 因为，所以. 又，所以，即. 又，所以， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和. （2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 【变式6-2】（23-24高一下·江苏无锡·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【解析】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 则，解得， 所以a的值为. （2）周平均阅读时间的平均数的估计值为 ， 且，， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值， 则，解得， 因为，， 所以该市区高中生阅读量达标. （3）在抽取学生人数为，设为； 在三组中抽取学生人为，设为； 在三组中抽取学生人数为，设为； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M， 列表可得： 1 2 3 4 5 A B C D b 1 ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 3 ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ A ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ √ ╳ B ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ √ ╳ C ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ √ ╳ D ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╳ b ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ ╱ 可知，, 所以. 【强化训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 【答案】C 【解析】任取两件所有可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品； A中，恰好有一件次品即为一件正品一件次品， 所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件； B中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件； C中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是正品是对立事件； D中，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品； 至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件． 故选：C 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件M与事件Y互为对立事件 C．事件X与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y为互斥事件 【答案】D 【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： 一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以,,,, 因为事件与事件互斥，所以,又因为, 所以事件与事件不相互独立，故A错误； 由,所以事件与事件不互为对立事件，故B错误； ,故C错误； “甲、乙两人所选选项完全不同”与“甲、乙两人均未选择B选项”不能同时发生，事件与事件互斥,故D错误. 故选：D 3．（23-24高一下·江苏淮安·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 【答案】B 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果， 对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误； 对于B选项，，，，则A与D相互独立，正确； 对于C选项，，，则A与C不独立，错误； 对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误． 故选:B. 4．（23-24高一上·山东日照·期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出舱进行同一试验，每次只派一人，每人最多出舱一次．若前一人试验不成功，返舱后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出舱试验成功的概率分别为，，，每人出舱试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设试验任务不成功的概率是， 所以成功的概率为， 故选：D. 5．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为 . 【答案】 【解析】由古典概型概率计算公式可知，所求即为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】24 【解析】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 7．（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 【答案】300 【解析】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得， 解得， 即白色围棋子的数目大约有300颗． 故答案为：300. 8．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 【答案】/ 【解析】由题意可知事件A出现的频率为，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值， 由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为， 故答案为： 9．（22-23高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人. 【答案】6720 【解析】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为， 则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）. 故答案为：6720 10．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】 【解析】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近， 估计袋中红球个数是. 故答案为：. 11．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ． 【答案】 【解析】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小. 所以使误差较小的可能性大的估计值是. 故答案为：. 12．（22-23高一下·天津滨海新·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 . 四面体的面 1 2 3 4 频数 19 23 22 36 【答案】0.22/ 【解析】标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计值为0.22. 故答案为：0.22. 13．（24-25高一下·北京·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【解析】（1）（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. （2）(2) 平均数为 14．25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 15．（24-25高一下·北京·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【解析】（1）由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. 则其第75百分位数为分. （2）由题设分； 则平均分为分. （3）由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 16．（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下： 一周课外读书时间/h 合计 频数 4 6 10 12 14 24 48 32 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.16 1 (1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉． (2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人． ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率． 【解析】（1）由题意可得，，； 设一周读书时间的前位数为， 因为， . 所以一周读书时间的前位数. 且. 即一周的读书时间超过h，才能获得“读书积极分子”荣誉． （2）（ⅰ）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为， 又，，的频数分别为20，50，130， 所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13． （ⅱ）由（ⅰ）知，在，两层中共抽取7人， 设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为； 若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种， 其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共10种． 设事件为“这2人不在同一层”， 则由古典概型的概率计算公式得． 17．（24-25高一下·江西·阶段练习）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【解析】（1）第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. （2）由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. （3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 18．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【解析】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 19．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【解析】（1）由图可知：，解得，， 故的值为； （2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上， 因为， ， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得：， 所以满意度评分位列前的游客将发纪念品，获得纪念品的分数至少为分； （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这3人中随机抽取2人，则有：共有3个基本事件， 选取的2人评分分别在和内各1人有，2个基本事件， 所以. 即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 20．（24-25高一上·山东日照·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. (1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 【解析】（1）第六组的频率为， 所以第七组的频率为； 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第八组的频率为， 估计该校的800名男生的身高的平均数为； （2）第六组有4人，记为a，b，c，d， 第八组的人数为，记这2人分别为A，B， 因此样本空间可记为，共包含15个样本点， 记事件E：随机抽取的两名男生在同一组， 则，包含7个样本点， 所以，所以抽取的两名男生在同一组的概率为. 21．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如图. (1)求a的值，并估计这批植株高度的平均数和众数； (2)若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率. 【解析】（1）由频率分布直方图，得，解得； 高度的平均数； 高度在区间的频率最大，所以高度的众数为22. （2）高度在和的频率分别为0.1和0.2， 因此抽取6株样本，高度在有2株，记为，在有4株，记为， 从6株样本中任取2株的样本空间，共15个， 抽取的2株植株高度均在内的事件,共6个， 所以抽取的2株植株高度均在内的概率. 22．（24-25高一上·江西景德镇·期末）手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图： (1)求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； (2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； (3)在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率. 【解析】（1）由题意得， 解得； 设中位数为， 则，解得， 所以中位数是125. （2）由， 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. （3）在区间中有人， 在区间中有人， 在区间中有人， 按分层抽样抽取6人， 则从中抽取4人，中抽取1人，中抽取1人； 设从中抽取职工为，从中抽取职工为，从中抽取职工为， 则从6人中抽取2人的情况有共15种情况，它们是等可能的， 其中满足两人均来自区间的有共有6种情况， 所以； 所以两人均来自区间的概率为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 灵活玩转概率 【题型归纳目录】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 题型二：互斥事件、对立事件的判断 题型三：独立事件的判断 题型四：古典概型 题型五：独立事件概率的计算 题型六：概率的综合应用 【知识点梳理】 1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【典型例题】 题型一：随机事件、事件的运算和样本空间 【典例1-1】（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【典例1-2】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：互斥事件、对立事件的判断 【典例2-1】（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【典例2-2】（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【变式2-1】（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 【变式2-2】（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 题型三：独立事件的判断 【典例3-1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【典例3-2】（23-24高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 【变式3-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式3-2】（19-20高一下·全国·课后作业）若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 题型四：古典概型 【典例4-1】（22-23高一下·天津南开·期末）在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为 ． 【典例4-2】（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“ ”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【变式4-1】（23-24高一下·江苏苏州·期末）在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 . 【变式4-2】（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）四名学生按任意次序站成一排，则A或在边上的概率为 ． 题型五：独立事件概率的计算 【典例5-1】（23-24高一下·四川攀枝花·期末）已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（    ） A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72 【典例5-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）在古装剧《知否》中，甲和乙两人进行一场投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷相互独立，比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023高三上·江苏徐州·学业考试）天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82 题型六：概率的综合应用 【典例6-1】（24-25高一上·辽宁·期末）学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立． (1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率； (2)求学生甲两题均答对的概率． 【典例6-2】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)根据频率分布直方图估计中位数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 【变式6-1】（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率. 【变式6-2】（23-24高一下·江苏无锡·期末）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? (3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率. 【强化训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中A和B是正确选项，C和D是错误选项，甲，乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件M与事件Y互为对立事件 C．事件X与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y为互斥事件 3．（23-24高一下·江苏淮安·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与D相互独立 C．A与C相互独立 D．C与D对立 4．（23-24高一上·山东日照·期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出舱进行同一试验，每次只派一人，每人最多出舱一次．若前一人试验不成功，返舱后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出舱试验成功的概率分别为，，，每人出舱试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为 . 6．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 7．（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 8．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 9．（22-23高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人. 10．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 11．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示． 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ． 12．（22-23高一下·天津滨海新·期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 . 四面体的面 1 2 3 4 频数 19 23 22 36 13．（24-25高一下·北京·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 15．（24-25高一下·北京·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 16．（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下： 一周课外读书时间/h 合计 频数 4 6 10 12 14 24 48 32 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.16 1 (1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉． (2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人． ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率． 17．（24-25高一下·江西·阶段练习）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 18．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 19．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 20．（24-25高一上·山东日照·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. (1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率. 21．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如图. (1)求a的值，并估计这批植株高度的平均数和众数； (2)若从高度在和的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在内的概率. 22．（24-25高一上·江西景德镇·期末）手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图： (1)求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； (2)若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； (3)在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$