专题11 立体几何中的点线面位置关系问题以及平行垂直问题（7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题11 立体几何中的点线面位置关系问题以及平行垂直问题 【题型归纳目录】 题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断 题型二：证明线面平行 题型三：证明面面平行 题型四：证明线线垂直 题型五：证明线面垂直 题型六：证明面面垂直 题型七：平行、垂直探索性问题 【知识点梳理】 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 【典型例题】 题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断 【典例1-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则   (2)若，则; (3)若，则;     (4) ，则. 上面四个命题正确的有（   ） A．(1)，(3) B．(2)，(4)C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4). 【典例1-2】（24-25高一下·新疆和田·期中）设a，b是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【变式1-1】（24-25高一下·重庆·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（   ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m不可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m可能垂直 题型二：证明线面平行 【典例2-1】（24-25高一下·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 【典例2-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式2-1】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【变式2-2】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 题型三：证明面面平行 【典例3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【典例3-2】（24-25高一下·天津西青·期中）在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且. (1)求证:平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若、分为、的中点，点在线段上，且. 求证: 平面平行平面. 【变式3-1】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 【变式3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 题型四：证明线线垂直 【典例4-1】（23-24高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 【典例4-2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【变式4-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 题型五：证明线面垂直 【典例5-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 【典例5-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； 【变式5-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【变式5-2】（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 题型六：证明面面垂直 【典例6-1】（24-25高一下·天津·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 【典例6-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，平面，分别是上的动点，且.    (1)求证：不论为何值，总有平面⊥平面； (2)若，求证：平面⊥平面. 【变式6-1】（22-23高一下·山西·期末）如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：EF平面ABC． (2)证明：平面EFA⊥平面PAC． 【变式6-2】（23-24高一下·湖南益阳·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，为正三角形，，分别为，的中点. (1)若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求证：平面平面. 题型七：平行、垂直探索性问题 【典例7-1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【典例7-2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【变式7-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【变式7-2】（22-23高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【强化训练】 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与NM是异面直线 B． C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点 2．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·北京·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点A到平面的距离． 4．（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 5．（21-22高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，，为棱上的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面， ，求证：平面平面. 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，是线段上的一点． (1)若，求证：平面； (2)若，求证：平面平面． 7．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 8．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 9．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 10．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 11．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，点是棱上一点不包括端点，点是棱的中点． (1)当为棱的中点时，判断四边形是什么图形？ (2)是否存在一点，使得面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 立体几何中的点线面位置关系问题以及平行垂直问题 【题型归纳目录】 题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断 题型二：证明线面平行 题型三：证明面面平行 题型四：证明线线垂直 题型五：证明线面垂直 题型六：证明面面垂直 题型七：平行、垂直探索性问题 【知识点梳理】 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 【典型例题】 题型一：立体几何中的点线面位置关系的判断 【典例1-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则   (2)若，则; (3)若，则;     (4) ，则. 上面四个命题正确的有（   ） A．(1)，(3) B．(2)，(4)C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4). 【答案】C 【解析】（1）中，若，由面面平行的性质，可得，所以（1）正确； （2）中，由，根据线面平行的判定定理，可得， 又由，且，根据线面平行的性质，可得，所以（2）正确； （3）中，若，则与平行或异面，所以（3）不正确； （4）中，若，根据线面垂直的性质，可得，所以（4）正确. 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一下·新疆和田·期中）设a，b是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，，则或与相交，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，故B错误； 对于C，若，，，，则或与相交，故C错误； 对于D，若，，，则，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·重庆·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，由，，得或，A错误； 对于B，由，，，得或是异面直线，B错误； 对于C，当相交，其交线垂直于平面，满足，，不平行，C错误； 对于D，由，，得，又，则，D正确. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（   ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m不可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m可能垂直 【答案】D 【解析】对于A，若l与不平行，则l与相交或在内，而，则l与m可能平行、 可能相交、也可能是异面直线，A错误； 对于B，，则在内存在直线，当内的直线与垂直时，此时，B错误； 对于C，若，且，，则l与m异面，C错误； 对于D，若，且l与不垂直，则l与m可能垂直， 在正方体中，取为平面，，符合题意，，D正确. 故选：D 题型二：证明线面平行 【典例2-1】（24-25高一下·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 【解析】（1）因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 （2） 连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 【典例2-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【解析】（1）连接BD，交AC于O，连接， ∵四边形是正方形，∴， 由棱台的性质可得， 由，， 可得，则，， ∴四边形是平行四边形，则， 又∵平面， 平面， ∴平面； （2）因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 取中点，连，，因为，且， 所以是平行四边形，则，而平面， 故平面，又平面，故， ，得， 又，所以， 所以， 所以， 设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为， 因为，所以， 所以 故直线到平面的距离为. 【变式2-1】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为． 【变式2-2】（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【解析】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 题型三：证明面面平行 【典例3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【解析】（1）因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. （2）因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 【典例3-2】（24-25高一下·天津西青·期中）在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且. (1)求证:平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若、分为、的中点，点在线段上，且. 求证: 平面平行平面. 【解析】（1）证明：连接，则为中点，点为中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面． （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， ，，所以为等腰直角三角形， 设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． （3）连接，如图所示，因为、分别为、的中点， 所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，、平面， 所以平面平面． 【变式3-1】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）． 【解析】（1）在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，由四边形为正方体的对角面， 得四边形是矩形，则，因此， 所以，，，四点共面. （2）连接， 由，分别是，的中点，得， 又平面，平面，则平面， 而，且，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，因此平面， 又平面，所以平面平面． （3）过作直线交的延长线分别于， 连接分别交于，连接， 由，得，直线平面平面平面 因此五边形是平面截正方体所得截面，如图， 所以是平面与正方体侧面的交线. 【变式3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点． (1)求证：平面平面； (2)求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比． 【解析】（1）由题意，,为等边三角形， 故为等边三角形，,, 在三棱台中， 故,且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 又因为,, 且, 所以相似于, 所以, 因为平面，平面， 所以平面， 因为,平面,平面, 所以平面平面. （2）设三棱台的高为， 则， ， 所以， ， 所以， 所以. 题型四：证明线线垂直 【典例4-1】（23-24高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接交于O点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则O为的中点，又E为AB的中点，故， 平面，平面， 故平面； （2）取BC中点为H，连接, F为的中点，故，而底面， 故底面，底面，故; 又E为AB的中点，则，而，即， 故，而平面， 故平面，平面，故，即； （3）由（2）可知为直线EF与平面ABC所成角，即， 由，E为AB中点，则； 又，得， 又底面，底面，故， 而平面，故平面， 故. 【典例4-2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． (1)证明：； (2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 【解析】（1） 连接，∵平面平面，，平面平面，平面， ∴平面，因为平面，所以， 由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：， 又梯形的高为，故， ∴， ∴，在中，，．∴，即， ∴为的三等分点，所以， 所以，∴． 又∵，面，面， ∴平面，∵平面，∴． （2）， 连接，在梯形中可得，， 因此，即， 因为平面，因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 由平面，可得， 因为平面，因为平面， 所以， 所以，所以，所以B到平面的距离为， 在中由，，得， 设直线和平面所成角为，则， 所以直线和平面所成角得正弦值为． 【变式4-1】（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）设，连接，由平面，平面，得， 因为，，，分别为的中点， 所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以， 因为分别是的中点，所以， 已知平面，平面，所以平面平面， 又，为中点，则， 而平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）在平面内过点作，交延长线于，连接，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，是的中点，所以， 因为，，平面，， 所以平面，由平面，所以， 所以是二面角的平面角， 设，则， 由得，， 在，， 所以， 所以二面角的正弦值． 题型五：证明线面垂直 【典例5-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 【解析】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点， 又分别为中点，则， 由平面，平面，则平面； （2）由分别为中点，则， 在正三棱柱中且，则， 所以，则， 由为正三角形，为中点，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面. 【典例5-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． (1)求证：平面； 【解析】（1）因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 【变式5-1】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【解析】（1）由，，，，即为直角梯形， 所以，， 所以，即， 又平面，平面，则， 由平面，故平面； （2）若是的中点，则，故为平行四边形， 所以且，故异面直线与所成的角，即为， 由平面，平面，则， 又，易知，则， 所以，则， 由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 由，，则，而平面， 所以平面，平面，则， 故， 所以，而，且， 设点B到平面的距离为， 则，即，可得. 【变式5-2】（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【解析】（1）连接，如图所示， 因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，如图所示， 为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示， 因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 题型六：证明面面垂直 【典例6-1】（24-25高一下·天津·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 【解析】（1）四棱锥底面是菱形，连接，，则是正三角形， 由底面ABCD，平面，得，由是的中点，得， 而平面，所以平面. （2）连接，由菱形，得，由是的中点，得，则， 由底面ABCD，底面ABCD，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （3）令，连接，由（2）知平面，得是直线PC与平面POE所成的角， ，，则， 由，得，， ，， 在直角中，， 所以直线PC与平面POE所成角的正弦值为. 【典例6-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，平面，分别是上的动点，且.    (1)求证：不论为何值，总有平面⊥平面； (2)若，求证：平面⊥平面. 【解析】（1）平面，平面， ，又且平面， ∴平面.                   又， ∴不论为何值，恒有， 平面，又在平面内， ∴不论为何值，恒有平面⊥平面. （2）由（1）知平面，平面，， 又且平面 , 平面，又在平面内， 平面⊥平面 【变式6-1】（22-23高一下·山西·期末）如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：EF平面ABC． (2)证明：平面EFA⊥平面PAC． 【解析】（1）因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EFBC， 因为平面ABC，平面ABC， 所以EF平面ABC； （2）因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC． 因为PA⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA， 又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA， 所以平面EFA⊥平面PAC． 【变式6-2】（23-24高一下·湖南益阳·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，为正三角形，，分别为，的中点. (1)若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求证：平面平面. 【解析】（1）为正三角形，为的中点，， 又平面平面，平面平面，且平面， 平面， 连接，则为直线与平面所成的角， 在等边三角形中，， 在三角形中， ， ， ， 直线与平面所成的角的正弦值为； （2）取的中点，连接， 由（1）得， 四边形是的菱形，， 为正三角形，又为的中点，则， 又平面， 平面，又平面， ， 因为，分别为，的中点，所以且， 又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以平行四边形为矩形， ， 是的中点， ， 又平面， 平面，又平面， 平面平面． 题型七：平行、垂直探索性问题 【典例7-1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 【典例7-2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【变式7-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【解析】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 【变式7-2】（22-23高一下·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为分别是的中点， 所以，且平面，平面， 所以平面； （2）存在，点是的中点，此时，连结 因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 由（1）可知，平面，且，且平面， 所以平面平面， 所以上存在中点，使平面平面. 【强化训练】 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与NM是异面直线 B． C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点 【答案】C 【解析】连接， 点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确． 连接，因为，所以，B正确． 平面，平面平面， 因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误． 连接，由，知共面，且平面平面， 如图1，因为，所以. 如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确． 故选：C 2．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 ①，，，四点共面； ②与异面； ③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； ④与的交点一定在直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】依题意，可得，，故，所以，，，四点共面，①正确，②错误； 因为，所以四边形EFGH是梯形，且EF与GH必相交，设交点为M， 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，所以点M在平面ACB与平面ACD的交线上. 又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，所以④正确，③错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·北京·期中）如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点A到平面的距离． 【解析】（1）因为所以是平行四边形，所以 平面，且平面，所以平面； （2）因为是正方形，所以得， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面； （3）设点A到平面的距离为， 因为，所以， ， 所以， 故点到平面的距离为； 4．（24-25高一下·广西南宁·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求GA与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）若为的中点，连接，又F，G分别是的中点， 所以且，而底面是正方形，则且， 所以，，故为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面； （2）由（1）及，则，而，故， 由底面，底面，则， 所以， 由底面是正方形，则， 所以，F是的中点，则， 由且都在面平面内，故平面； （3）由底面，底面，则，， 又，，， 所以，则， 令棱锥的高为，又， 则，所以， 又，故GA与平面所成角的正弦值为. 5．（21-22高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，，为棱上的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面， ，求证：平面平面. 【解析】（1）取的中点，连接. 因为为的中点，所以且. 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面， 平面，所以. 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，是线段上的一点． (1)若，求证：平面； (2)若，求证：平面平面． 【解析】（1）连接，交于点，连接，如图所示． 因为底面为菱形，所以是的中点，又，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）在直四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又底面为菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 7．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图，连接，取的中点，连接交于点，连接， 设交于点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以平面即为平面，且为中点， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，为的中点，所以， 所以为平面与平面的夹角， 由为直角三角形，可得， ，则， 即为等腰三角形，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 8．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 9．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ， 因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB． 10．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． （2）由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． （3）存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 11．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图，四棱锥中，底面为正方形，点是棱上一点不包括端点，点是棱的中点． (1)当为棱的中点时，判断四边形是什么图形？ (2)是否存在一点，使得面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，分别为，边的中点，所以，且， 因为底面为正方形，所以，， 所以，且，所以四边形是梯形． （2）假设在棱上一点存在一点，使得面， 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面PAB，所以平面平面， 与“平面与平面相交”相矛盾， 所以不存在点，使得面． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$