专题10 立体几何中的范围与最值问题（6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题10 立体几何中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：截面问题 题型二：面积、周长问题 题型三：体积问题 题型四：长度问题 题型五：线段和最值问题 题型六：角度问题 【知识点梳理】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力． 【典型例题】 题型一：截面问题 【例1】（2025·高一·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（2025·北京丰台·一模）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得，，，四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2025·高一·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型二：面积、周长问题 【例2】（2025·高一·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选题）（2025·高一·湖南长沙·期中）如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．正三棱柱的外接球表面积为 C．周长的最小值为 D．若，则平面平面 【变式2-2】（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面的面积为，则下列四个结论正确的有（    ） A．若的中点为E，则平面 B．若三棱柱的体积为，则到平面的距离为3 C．若，，则球O的表面积为 D．若，则球O体积的最小值为 【变式2-3】（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为 . 【变式2-4】（2025·高一·河北·期中）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：体积问题 【例3】（2025·高一·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型四：长度问题 【例4】（2025·高一·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 【变式4-1】（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型五：线段和最值问题 【例5】（2025·高三·江西赣州·期中）已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为 ． 【变式5-1】（2025·高一·天津滨海新·期中）正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）    A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 【变式5-2】（2025·高一·浙江温州·期中）如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是 . 题型六：角度问题 【例6】（2025·高一·浙江宁波·期中）在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值的最大值. 【变式6-1】（2025·高一·浙江台州·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【变式6-2】（多选题）（2025·高一·湖南张家界·期末）正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ） A．平面平面 B．三棱锥的体积为定值 C．可能为直角三角形 D．平面与平面所成的锐二面角的范围是 【强化训练】 1．（多选题）（2025·高一·云南·期中）已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（   ） A．直三棱柱的体积的最大值是24 B．直三棱柱的体积的最大值是72 C．直三棱柱的侧面积的最大值是 D．直三棱柱的表面积的最大值是 2．（多选题）（2025·高一·江苏徐州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为空间一动点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若为线段上的动点，则与所成角的范围为 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 D．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹长度为 3．（2025·高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 4．（2025·高一·天津滨海新·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）盛水的部分始终呈棱柱形． （2）水面所在四边形的面积为定值． （3）当容器倾斜如图②所示时，为定值． （4）当容器倾斜如图③所示时，为定值． （5）当容器倾斜如图③所示时，当时，取最小值． 其中所有正确命题的序号是 ． 5．（2025·高一·浙江·期中）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为 . 6．（2025·高一·山东临沂·期中）圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为 ． 7．（2025·高一·云南昭通·阶段练习）四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为 ；直线l与平面所成夹角的范围为 ． 8．（2025·高一·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 9．（2025·高一·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 10．（2025·高一·福建厦门·阶段练习）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 11．（2025·高一·河北邢台·期中）如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． (1)求这两个球的半径之和． (2)当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 12．（2025·高一·山西·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 立体几何中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：截面问题 题型二：面积、周长问题 题型三：体积问题 题型四：长度问题 题型五：线段和最值问题 题型六：角度问题 【知识点梳理】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力． 【典型例题】 题型一：截面问题 【例1】（2025·高一·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 【变式1-1】（2025·北京丰台·一模）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得，，，四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于结论①，取中点为，连接，，，， 因为正方体，为的中点，所以， 所以，，，四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点， 故结论①正确； 对于结论②，因为，求的最小值，即求的最小值， 因为正方体，所以，，，四点共面， 所以与会相交于一点，设为， 此时， 因为 ， 所以的最小值为错误， 故结论②错误； 对于结论③，取，中点分别为，，连接，设交 于点，若平面， 在平面中，易知， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以， ，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，   所以. 所以存在点，使得， 故结论③正确. 对于结论④，当点与点重合时，截面为矩形，截面面积为， 当点为上靠近点的三等分点时， 取中点为，连接，，，，，， 此时四边形即为平面截正方体所得截面，证明如下： 已知平面，求证点为上靠近点的三等分点， 因为，所以，所以点为上靠近点的三等分点，得证. 又因为，且，，所以四边形为等腰梯形，面积为， 所以当点为上靠近点的三等分点时，截面面积为， 当点趋近于点时，截面面积趋近于3， 因为，，点从上靠近点的三等分点向点运动时，截面面积的变化是连续的， 所以点从上靠近点的三等分点向点运动时存在某点，使得截面面积为， 故线段上至少存在两个点使得截面面积为， 故结论④不正确 故选：B. 【变式1-2】（2025·高一·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径， 设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E， 设， 则，， 可得截面SCD的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以截面积的最大值为2. 故选：C. 题型二：面积、周长问题 【例2】（2025·高一·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为N， 由题意，， 半球形容器的球心为O， 显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为A， 连接ON，则小球的半径， 球O的半径； 所以半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为， 故选：B 【变式2-1】（多选题）（2025·高一·湖南长沙·期中）如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．正三棱柱的外接球表面积为 C．周长的最小值为 D．若，则平面平面 【答案】ABD 【解析】对于，取的中点为，连接，所以， 因为平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离， 由正三棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，又平面，所以平面， 又，所以，所以， ，故正确； 对于，在正三棱柱中，， 设外接球半径为，底面外接圆半径为，所以，即， 因为，所以正三棱柱的外接球表面积为，故正确； 对于，由侧面展开图所示，   周长，所以周长的最小值为，故错误； 对于，由，可知为的中点，取，的中点分别为，，连接，，，此时，且平面，故平面，又平面，所以平面平面，故正确. 故选：ABD. 【变式2-2】（多选题）（2025·高一·福建厦门·期中）已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面的面积为，则下列四个结论正确的有（    ） A．若的中点为E，则平面 B．若三棱柱的体积为，则到平面的距离为3 C．若，，则球O的表面积为 D．若，则球O体积的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于选项A：如图，连接，交于点，连接， 因为，则， 且平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于选项B：连接， 因为，则， 设到平面的距离为，则，解得， 所以到平面的距离为2，故B错误； 对于选项C：取中点，连接， 由题意可知：分别为的外心， 则的中点就是三棱柱的外接球的球心，连接， 设，球的半径为， 则，即， 由题得，则， 所以球O的表面积为，故C正确； 对于选项D：设， 设上底面和下底面的中心分别为，连接，则其中点为， 由题得， 则，即， 且，即， 可得，当且仅当时取等， 即最小值为2，所以球O体积的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【变式2-3】（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为 . 【答案】4 【解析】正四棱锥的底面中心为，线段的中点为，连接， 设，则，， 由正四棱锥的体积，得，则， 因此正四棱锥的表面积， 则 ，当且仅当，即时取等号， 解得，所以正四棱锥的表面积的最小值为4. 故答案为：4 【变式2-4】（2025·高一·河北·期中）如图，在正三棱锥中，，三条侧棱两两夹角均为，，分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据余弦定理，. 故选：A. 题型三：体积问题 【例3】（2025·高一·山西·期中）如图，在棱长为的正方体内有两个球相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设两球半径分别为，球心和在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得 即 ，所以， 故两球体积之和为 由二次函数性质可知： 当且仅当时，有最小值． 故选：A 【变式3-1】（2025·高一·北京大兴·期中）如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部， 连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点到的距离为，则， 所以，面积的最小值为， 故， 即三棱锥体积的最小值为. 故选：C. 题型四：长度问题 【例4】（2025·高一·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】 取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：A. ，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 【变式4-1】（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 题型五：线段和最值问题 【例5】（2025·高三·江西赣州·期中）已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】分别取的中点，连接，设， 因为为等边三角形，则， 且，平面，则平面， 可知点平面， 又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点， 可得平面，即点关于平面的对称点为点， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高一·天津滨海新·期中）正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）    A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 【答案】B 【解析】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3， 在中，，为等腰直角三角形， 将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：B. 【变式5-2】（2025·高一·浙江温州·期中）如图，已知正四面体中，侧棱长为2，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则最小值是 . 【答案】/ 【解析】由题可得，平面SCF，则平面SCF. 取BC中点为G，连接EG与CF交于H，因，则平面SCF. 设P关于平面SCF的对称点为，由对称性可知，，则. 则当A，Q，三点共线时可得最小，此时， 则当时，取最小值. 在三角形中，由题可得 则. 综上，. 故答案为： 题型六：角度问题 【例6】（2025·高一·浙江宁波·期中）在平面四边形中，，将沿翻折至，其中为动点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正切值的最大值. 【解析】（1）（i）由题意可得， 则，即， 又平面，则平面； （ii）由（i）可知，为三棱锥的高， 则. 则三棱锥的体积为. （2）取的中点为，连接，则，则， 因为的中点，所以， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面， 过作于点， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 则是直线与平面的所成角， 设，则， 若，则， 则； 若，则， 则， 则， 令，则， 则， 则 ， 因，当且仅当，即时取得等号， 则， 故直线与平面所成角的正切值的最大值为1. 【变式6-1】（2025·高一·浙江台州·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【解析】（1）连接AC交BD于，连接，则， 因为，由四棱台的性质可得，且， 故四边形为平行四边形，故， 不包含于面面，故面. （2）面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离， ， ，，，， 取DC中点，连，，可得，而平面， 故平面，由平面，故， ，得， ，，故， 故，故． （3） 连接，因为，由四棱台的性质可得， 故四边形为平行四边形，故，故平面， 而平面，故，又，， 平面，故平面， ，点在面内的动点，点面面， 面，为与面所成的平面角， ，DO最小为，则最大为． 【变式6-2】（多选题）（2025·高一·湖南张家界·期末）正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ） A．平面平面 B．三棱锥的体积为定值 C．可能为直角三角形 D．平面与平面所成的锐二面角的范围是 【答案】ABD 【解析】对于A，取、的中点、，连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，则， 且， 所以四边形为平行四边形，， 为等边三角形，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面，平面，，平面， 平面，因此平面平面，故A正确； 对于B，因为的面积为定值， ，平面，平面，所以平面， 因为，所以点到平面的距离为定值，进而可知，三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，平面，平面，， 为的中点，则， 若为直角三角形，则为等腰直角三角形，则， 设正三棱柱的棱长为，则，则， 因为，故，所以不可能为直角三角形，故C错误.   当、分别为，中点时，平面与平面所成的角为， 当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大； 延长交于，连接，则平面平面， 由于为的中点，，所以且， 故在中，为中点，为中点， 在中，为中点，为中点，故，由于平面， 所以平面，平面，所以，， 所以平面与平面所成锐二面角最大为， 平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确． 故选：ABD． 【强化训练】 1．（多选题）（2025·高一·云南·期中）已知直三棱柱的外接球的半径为5，是以为斜边的直角三角形，且，则（   ） A．直三棱柱的体积的最大值是24 B．直三棱柱的体积的最大值是72 C．直三棱柱的侧面积的最大值是 D．直三棱柱的表面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】由题意可得直三棱柱的高为． 设，，则． 直三棱柱的体积． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则，故A错误，B正确． 直三棱柱的侧面积． 因为， 所以，解得， 则，当且仅当时，等号成立，故C正确． 直三棱柱的上、下底面的面积之和， 当且仅当时，等号成立， 则直三棱柱的表面积， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BCD. 2．（多选题）（2025·高一·江苏徐州·阶段练习）已知正方体的棱长为，为空间一动点，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若为线段上的动点，则与所成角的范围为 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长度为 D．若为侧面上的动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 对于A，当点不与点重合时，如图1，过点作,交于点，连接, 因,故即与所成角. 因平面，则平面,因平面,故.则, 当点与点重合时，点与点重合，; 当点从点向点移动时，越来越大，越来越小，故的值越来越大，即的值越来越大， 当点与点重合时，易得, 故与所成角的范围为，故A错误； ， 对于B，如图2，将正方形绕着旋转到与正方形共面时，连接,交于点， 则此时最小，而，故的最小值为，即B正确； 对于C，如图3，分别取的中点，连接,则平面,平面,故平面, 同理平面,又平面,故平面平面， 因为侧面上的动点，且平面，平面平面,则点, 即点的轨迹为线段，而，故点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图4，连接,因平面, 平面,则, ,点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧, 则在中，,则，同理, 则,故圆弧的长为，故D正确. 故选：BCD. 3．（2025·高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【解析】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故答案为：. 4．（2025·高一·天津滨海新·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）盛水的部分始终呈棱柱形． （2）水面所在四边形的面积为定值． （3）当容器倾斜如图②所示时，为定值． （4）当容器倾斜如图③所示时，为定值． （5）当容器倾斜如图③所示时，当时，取最小值． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】（1）（3）（4）（5） 【解析】对于（1），由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有， 且平面平面，故盛水的部分始终呈棱柱形（四棱柱或三棱柱），故（1）正确； 对于（2），由于固定，易知，且平面，所以平面， 又平面，所以,故为矩形，则， 的长随着倾斜度的变化而变化，故的面积是变化的，故（2）错误； 对于（3），当容器倾斜如图②所示时，四棱柱的体积保持不变， 即，又均为定值，故为定值，故（3）正确； 对于（4），当容器倾斜如图③所示时，三棱柱的体积保持不变， 即，又是定值，则为定值，故（4）正确． 对于（5），由（4）为定值，，当时，取最小值．故（5）正确； 故答案为：（1）（3）（4）（5） 5．（2025·高一·浙江·期中）在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小．将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时，， 故答案为： 6．（2025·高一·山东临沂·期中）圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， ∴全面积为，即，， 又，∴， 体积为， ∴时，， 故答案为：． 7．（2025·高一·云南昭通·阶段练习）四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为 ；直线l与平面所成夹角的范围为 ． 【答案】 1 【解析】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 将四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 可得四棱锥的外接球的球心O为的中点，∴， 连接，，交点为Q，因为底面为正方形，所以， 又平面，且平面，所以， 又，平面，平面，所以平面，即平面， 若平面，则l与平面所成的角为0． 如图，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S， 因为平面，且平面，所以， 又，，且，，平面，所以平面， 故过B且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，又平面，所以， 又，且，所以平面，又平面， 所以，又平面，所以为在平面内的射影， 即为直线l与平面所成的角，且， 在中，，，由射影定理求得 ， 而，当且仅当重合时，等号成立， 故，∴． 综上，直线l与平面所成夹角的取值范围为. 故答案为：1；. 8．（2025·高一·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 【解析】（1）因为正三棱柱的高为，， 所以， ， 所以该正三棱柱的表面积为， 所以； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为， 此时因为，所以，所以，即，解得． 9．（2025·高一·河南洛阳·期中）已知圆锥的底面半径，高. (1)求此圆锥的表面积； (2)若圆锥在球内，求球的表面积的最小值； (3)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值. 【解析】（1）因为，所以母线长， 圆锥的底面圆面积为， 圆锥的侧面面积为， 则圆锥的表面积为； （2）当球的表面积最小时，其轴截面如图： 设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得， 所以球表面积的最小值为； （3）正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大， 设球心为，球心在上，作于， 设球半径为，， 由得，，解得， 又，解得，即的最大值为. 10．（2025·高一·福建厦门·阶段练习）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【解析】（1）由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； （2）（ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为； （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. 11．（2025·高一·河北邢台·期中）如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． (1)求这两个球的半径之和． (2)当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 【解析】（1）由题知ABCD为过球心和对棱AB，CD的截面，如图， 则． 设球的半径分别为r，R， 则． 由，解得． （2）设这两个球的表面积之和为S，则， 所以． 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 12．（2025·高一·山西·期中）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 【解析】（1）因为底面 为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为. （2）由图和已知， ， 当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为. （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为则， 所以， 则， 令，则，， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$