专题09 玩转外接球、内切球、棱切球（9大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题09 玩转外接球、内切球、棱切球 【题型归纳目录】 题型一：正方体、长方体外接球 题型二：正四面体外接球 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 题型四：直棱柱外接球 题型五：直棱锥外接球 题型六：正棱锥外接球 题型七：垂面模型 题型八：锥体内切球 题型九：棱切球 【知识点梳理】 考点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：正方体、长方体外接球 【典例1-1】（2025·高三·天津滨海新·期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·山东德州·模拟预测）阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑. （注：图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑） 上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-1】（2025·高二·新疆伊犁·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的半正多面体为二十四等边体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 题型二：正四面体外接球 【典例2-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高三·全国·专题练习）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·贵州·开学考试）已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 【典例3-1】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 . 【典例3-2】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为,则该四面体的外接球的表面积为 【变式3-1】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为、、15，则此四面体的外接球的体积为 题型四：直棱柱外接球 【典例4-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高一·湖北咸宁·期末）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高一·广西南宁·期末）已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（    ） A．3π B． C． D． 题型五：直棱锥外接球 【典例5-1】（2025·高一·浙江绍兴·期中）如图，三棱锥中， 平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑”（biē nào），就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面且，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高三·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2025·高三·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：正棱锥外接球 【典例6-1】（2025·高二·广东深圳·期中）已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高三·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：垂面模型 【典例7-1】（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2025·高三·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·四川德阳·二模）在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 题型八：锥体内切球 【典例8-1】（2025·高一·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【典例8-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【变式8-1】（2025·高一·山东枣庄·阶段练习）如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【变式8-2】（2025·高二·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则 ，该内切球的表面积为 . 题型九：棱切球 【典例9-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【典例9-2】（2025·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 【变式9-1】（2025·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 . 【强化训练】 1．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·天津滨海新·期中）棱长为的正方体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高一·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·山东·阶段练习）与棱长为的正方体所有棱都相切的球的体积为 ． 7．（2025·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为 . 8．（2025·高一·天津滨海新·期中）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 9．（2025·高一·重庆·期中）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ． 10．（2025·高一·天津和平·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 11．（2025·高一·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 12．（2025·高一·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ． 13．（2025·高一·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 . 14．（2025·高一·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是 ，体积是 ． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 玩转外接球、内切球、棱切球 【题型归纳目录】 题型一：正方体、长方体外接球 题型二：正四面体外接球 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 题型四：直棱柱外接球 题型五：直棱锥外接球 题型六：正棱锥外接球 题型七：垂面模型 题型八：锥体内切球 题型九：棱切球 【知识点梳理】 考点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 题型一：正方体、长方体外接球 【典例1-1】（2025·高三·天津滨海新·期末）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，则， 由于三棱锥的表面积为，且各侧面均为等边三角形， 所以，可得， 所以正方体外接球半径为，故体积为. 故选：B 【典例1-2】（2025·山东德州·模拟预测）阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑. （注：图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑） 上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】鳖臑的外接球和正方体的外接球是同一外接球， 由鳌臑的外接球的体积为，得外接球的半径为，即正方体的体对角线长度是， 故正方体的棱长为2，所以鳖臑体积为. 故选：B 【变式1-1】（2025·高二·新疆伊犁·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的半正多面体为二十四等边体．已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为3， 侧棱长为的正四棱柱的外接球，设外接球半径为， 则，所以， 则该正多面体外接球的表面积 故选：C. 【变式1-2】（2025·高二·云南昭通·期末）棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设长方体的外接球的半径为， 由已知，所以， 又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为， 长方体体对角线等于其外接球的直径， 所以， 所以. 故选：C. 题型二：正四面体外接球 【典例2-1】（2025·高一·湖北武汉·期末）一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正四面体中，取中点，连接，则⊥， 过点作⊥于点， 则⊥平面，外接球球心在上，连接，则， 因为正四面体的棱长为2，所以，， 则，， ， 由勾股定理得，即， 解得， 设内切球球心为，则在上，过点作⊥于点，则， 故，， 因为∽，所以，即， 解得， 故它的外接球与内切球半径之比为，体积之比为. 故选：D 【典例2-2】（2025·高三·全国·专题练习）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积， 设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，   O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上， 则，则， 即得，所以， 又设正四面体外接球的半径R， 则，即，即得， 故外接球体积为. 故选：C． 【变式2-1】（2025·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：如图，正四面体中， 作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为， 由正三角形的性质，， ； 由，得，解得， 该球的表面积为． 故选：A． 方法二：如下图 在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体， 可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为. 立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径， 外接球的表面积为. 故选：A. 【变式2-2】（2025·高二·贵州·开学考试）已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高， 棱锥的高为， 设外接球半径为，则 ，解得. 所以外接球的表面积为. 故选：B. 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 【典例3-1】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等，且△ABC的边长分别为，3，4，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为 . 【答案】 【解析】将三棱锥补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，可以求出a2+b2+c2＝18，从而确定外接球的直径，进而得到外接球的体积.∵三棱锥P﹣ABC每对异面的棱长度都相等， ∴该三棱锥可以补成一个长方体，且该长方体各面上的对角线长分别为， 设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 且不妨假设，b2+c2＝32＝9，a2+c2＝42＝16， ∴a2+b2+c2＝18， ∴三棱锥外接球的直径为， ∴外接球的体积为. 故答案为：. 【典例3-2】（2025·高一·四川绵阳·期末）四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为,则该四面体的外接球的表面积为 【答案】 【解析】根据题意将四面体补成一个长方体， 三个面上对角线长分别为， 则有，解得， 外接球半径为，故外接球的表面积为， 故答案为： 【变式3-1】（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期末）在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为、、15，则此四面体的外接球的体积为 【答案】 【解析】由于四面体三组对棱长相等，则可将四面体补形为长方体，长方体的面对角线长为四面体的棱长，设长方体的边长为，则，，上述式子相加可得，设外接球的半径外，则，解得，故外接球的体积为. 题型四：直棱柱外接球 【典例4-1】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 【典例4-2】（2025·高一·湖北咸宁·期末）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设中点为中点为中点为， 外接球球心在中点处， 设， 该三棱柱的体积为， 该三棱柱的外接球表面积为， 外接球半径，即，， ， 底面内切圆半径， ，因此该球最大半径为. 故选：B. 【变式4-1】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 【变式4-2】（2025·高一·广西南宁·期末）已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（    ） A．3π B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正三棱柱的底面边长为， 所以底面所在平面截其外接球所成的圆的半径满足即， 又由正三棱柱的高为1，则球心到圆的距离为， 故外接球半径，∴外接球的体积． 故选：B． 题型五：直棱锥外接球 【典例5-1】（2025·高一·浙江绍兴·期中）如图，三棱锥中， 平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为平面，所以，，所以是直角三角形， 又因为在中，，，由余弦定理得， 即，解得， 所以，由勾股定理得， 又，且两直线在平面内，所以平面， 所以，所以是直角三角形， 如图，取的中点，则有， 则为三棱锥的外接球的球心，故半径， 所以三棱锥的外接球的体积. 故选：D. 【典例5-2】（2025·高二·内蒙古赤峰·期末）《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑”（biē nào），就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”，平面且，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由平面，平面，则，又， 由且都在面内，故面，面， 所以，，又平面，则，即两两垂直， 所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球， 所以外接球半径为，故外接球的表面积为. 故选：B 【变式5-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的外接圆圆心为，过点作底面， 为三棱锥外接球球心，设该球半径为， 由平面，则，连接、、， 由是正三角形，，故， 由，，则， 故有， 故该球的表面积. 故选：D. 【变式5-2】（2025·高三·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 【变式5-3】（2025·高二·湖北武汉·期中）已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，底面的外接圆半径， 又平面，且，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 【变式5-4】（2025·高三·天津·阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面， 则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得： ， 因此外接圆半径，球的半径， 所以球O的表面积. 故选：C 题型六：正棱锥外接球 【典例6-1】（2025·高二·广东深圳·期中）已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该正三棱锥为，侧棱， 因其侧面均为直角三角形，则两两垂直，故的边长均为， 则该正三棱锥的体积为. 因两两垂直，则该三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球， 而正方体的外接球直径等于该正方体的体对角线长度，故球O的半径， 则球的表面积，依题意有，解得. 故选：D. 【典例6-2】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【变式6-1】（2025·高三·湖北十堰·期末）已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得. 球心到底面的距离为， 由，得， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 【变式6-2】（2025·高三·宁夏吴忠·阶段练习）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 题型七：垂面模型 【典例7-1】（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 【典例7-2】（2025·高三·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意得，. 记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变， 即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：A. 【变式7-1】（2025·四川德阳·二模）在三棱锥中，平面平面为等腰三角形，且，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图取的中点，的中点，连接，则， 因为为等腰三角形，所以, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为直角三角形，且，所以为的外心， 设三棱锥的外接球的球心为，则平面， 所以‖， 在等腰中，，， 则，的外心在外， 所以， 在中，，则， 所以 设三棱锥的外接球的半径为，则， 过作交延长线于点，则， 在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【变式7-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 取等边三角形的中心为，连接并延长交于， 则且， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，故， 故，同理， ，，故，故为外接球的球心， 且，故外接球的体积为， 故选：C . 题型八：锥体内切球 【典例8-1】（2025·高一·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 【典例8-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】 【解析】作圆锥的轴截面图，如图， 由图，为等边三角形，则， 又，所以， 所以在正中，， 设内切球球心为，半径为，则在上，且，， 在中，，所以，解得， 所以外接球表面积． 故答案为：. 【变式8-1】（2025·高一·山东枣庄·阶段练习）如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【解析】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 【变式8-2】（2025·高二·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则 ，该内切球的表面积为 . 【答案】 7 【解析】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形， 所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆， 设的内切圆半径为， 则， 解得， 所以内切球的半径为1，其表面积为． 设，则平面平面，且交线为, 平面, 所以平面，同理平面，平面,故,故, 由余弦定理可得， 进而可得， 由等体积法可得化简可得，故（舍去）， 故答案为：7， 题型九：棱切球 【典例9-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 【典例9-2】（2025·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】 如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知， 则， 因为， 所以. 故答案为：. 【变式9-1】（2025·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示： 设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点， 球与棱分别切于点，则，球的半径为， 注意到在边长为1的等边三角形中，，， 且底面，底面，所以， 所以，， 所以，而，所以，即， 解得（舍去）， 从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为. 故答案为：. 【变式9-2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 . 【答案】 【解析】设，外接球的半径为， 该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即， 根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球， 故，即， 故该多面体的棱切球的表面积为． 故答案为：． 【强化训练】 1．（2025·甘肃·模拟预测）半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 2．（2025·高一·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 3．（2025·高一·福建泉州·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示： 图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 4．（2025·高一·天津滨海新·期中）棱长为的正方体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】棱长为的正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为, 则，即， 所以外接球的表面积. 故选：B 5．（2025·高一·山东青岛·期中）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 6．（2025·高三·山东·阶段练习）与棱长为的正方体所有棱都相切的球的体积为 ． 【答案】 【解析】与正方体所有棱都相切的球的球心为正方体的体对角线的交点， 半径为面对角线的一半，因为正方体的棱长为 所以正方体的面对角线长为 ，则球的半径为 所以球的体积为 故答案为： 7．（2025·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】由余弦定理可知：， 即，又，解得. 因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径； 记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为， 则有， 当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有 ， 再由，可知， 故，解得，此时， 故答案为：. 8．（2025·高一·天津滨海新·期中）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为 【答案】/ 【解析】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1， 所以所求最大球的体积为. 故答案为： 9．（2025·高一·重庆·期中）如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 ． 【答案】 【解析】 取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角，平面， 所以平面， 因为，，所以，, ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，解得， 所以该球的体积为. 故答案为： 10．（2025·高一·天津和平·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 【答案】 【解析】如图，在四面体中，所有棱长都为，设底面三角形外接圆圆心为, 则, 设,则, 所以外接球半径为,所以表面积为, 故答案为: . 11．（2025·高一·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即， 又，设，则，解得； 所以外接球半径为， 可得则该球的表面积为. 故答案为： 12．（2025·高一·陕西西安·期中）正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 13．（2025·高一·广东惠州·期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 . 【答案】 【解析】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的体积是. 故答案为：. 14．（2025·高一·安徽阜阳·期中）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【解析】由题设，则，故外接圆的半径， 若球体的半径为，则球心到截面的距离为，故， 所以，故球的表面积是，体积为. 故答案为：， 14 学科网（北京）股份有限公司 $$