专题08 空间几何体的表面积与体积（5大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题08 空间几何体的表面积与体积 【题型归纳目录】 题型一：直观图 题型二：空间几何体表面积 题型三：直接法求空间几何体体积 题型四：换底法求空间几何体体积 题型五 ：割补法求空间几何体体积 【知识点梳理】 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点四、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点五、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 知识点六、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为、，高是，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是、，高是，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点七、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式 ． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 【典型例题】 题型一：直观图 【典例1-1】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【典例1-2】（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-1】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为已知求的周长（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型二：空间几何体表面积 【典例2-1】（24-25高一下·山西·期中）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【典例2-2】（24-25高一下·天津·期中）在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·山东·期中）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·福建泉州·期中）若圆锥的侧面积与过旋转轴的截面面积之比为，则圆锥母线与旋转轴的夹角大小为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·浙江·期中）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 题型三：直接法求空间几何体体积 【典例3-1】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【典例3-2】（24-25高一下·四川遂宁·期中）如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥的表面积． 【变式3-1】（24-25高一下·浙江·期中）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心.    (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积. (2)若正四棱锥的外接球的表面积为，求正四棱锥的体积. 题型四：换底法求空间几何体体积 【典例4-1】（23-24高一下·广东东莞·期中）如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面ACE． (2)求异面直线与CD所成角的大小． (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【典例4-2】（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)判断直线PM与的位置关系（直接写答案，不用证明） (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积． 【变式4-1】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱中，，D是的中点，与交于点E. (1)求证：平面； (2)若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积. 题型五 ：割补法求空间几何体体积 【典例5-1】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值； (3)若，求多面体的体积. 【典例5-2】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【变式5-1】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【强化训练】 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（    ） A． B．8 C． D．32 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津静海·期中）小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·天津·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 10．（多选题）（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的轴截面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为 D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 11．（多选题）（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 12．（16-17高一·全国·课后作业）如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 13．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设圆锥顶点到平面的距离为l，则截得的截面面积都为 （用R，l表示），由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等，从而得到半球的体积公式. 14．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是 ； 15．（24-25高一下·天津滨海新·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为 ； 16．（24-25高一下·新疆和田·期中）已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为 . 17．（24-25高一下·天津滨海新·期中）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为 18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为 ． 19．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 20．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点，    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，求：正四面体的体积. 21．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（1）A，B，C，D是球O的球面上四点，，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为，求球O的体积； （2）已知正四棱台中，，该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积. 22．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积. 23．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. (1)求； (2)求证： 平面； (3)求三棱锥的体积. 24．（24-25高一下·吉林·期中）已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 空间几何体的表面积与体积 【题型归纳目录】 题型一：直观图 题型二：空间几何体表面积 题型三：直接法求空间几何体体积 题型四：换底法求空间几何体体积 题型五 ：割补法求空间几何体体积 【知识点梳理】 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点四、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点五、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 知识点六、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为、，高是，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是、，高是，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点七、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式 ． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 【典型例题】 题型一：直观图 【典例1-1】（24-25高一下·湖南常德·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且， 过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示： 可知，，且，因此，的面积为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为已知求的周长（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，作出原图， 由斜二测画法，在原图中 所以故的周长为 故选： 【变式1-2】（24-25高一下·山东泰安·期中）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知在斜二测图形中，， 根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，. 又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质， 可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）. 如图，得到原图. 因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径，高； 根据圆台体积公式，可得. 故选：B. 题型二：空间几何体表面积 【典例2-1】（24-25高一下·山西·期中）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【解析】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：D 【典例2-2】（24-25高一下·天津·期中）在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体中，正四面体，如图： 不妨设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 所以正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为. 故选：B 【变式2-1】（24-25高一下·山东·期中）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知圆台的侧面展开图的圆心角为， 设圆台上、下底面圆半径为，母线长为，展开图中大、小扇形的半径分别为； 则展开图的外弧长为，内弧长为， 因此有，即，又，可得； 所以母线长为， 圆台侧面积为，代入可得，即； 所以圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：A 【变式2-2】（24-25高一下·福建泉州·期中）若圆锥的侧面积与过旋转轴的截面面积之比为，则圆锥母线与旋转轴的夹角大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得， 设圆锥母线与旋转轴所成角为，则， 所以圆锥母线与旋转轴所成角的大小为. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·浙江·期中）如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出旋转体如下图： 过点作所在直线的垂线，垂足为,，，，则， 即底面圆的半径为，则圆的周长为， 圆锥侧面展开图的半径为，上下两个圆锥的侧面积为， 几何体的侧面展开是一个矩形，， 所以几何体的表面积为. 故选：B. 题型三：直接法求空间几何体体积 【典例3-1】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在边长为的正方体中，为中点， (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为． 【典例3-2】（24-25高一下·四川遂宁·期中）如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥的表面积． 【解析】（1），， ； （2）记三棱锥的表面积为，则， 几何体为长方体， 均为直角三角形，为等腰三角形， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（24-25高一下·浙江·期中）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心.    (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积. (2)若正四棱锥的外接球的表面积为，求正四棱锥的体积. 【解析】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以. （2）设外接球半径为，由外接球表面积，可得. 因为底面积，设底面正方形边长为， 则，，底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 根据正四棱锥体积公式，当时，； 当时，. 题型四：换底法求空间几何体体积 【典例4-1】（23-24高一下·广东东莞·期中）如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面ACE． (2)求异面直线与CD所成角的大小． (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接交于，连接， 因为是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中，， 所以为异面直线与CD所成角， 因为为等腰直角三角形， 所以， 所以异面直线与CD所成角为. （3）因为正方体的棱长为1，所以， 所以， 所以. 【典例4-2】（24-25高一下·福建莆田·期中）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)判断直线PM与的位置关系（直接写答案，不用证明） (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1）直线PM与异面，理由如下： 由图可知，平面，平面，且， 所以直线与异面. （2）连接，在直三棱柱中，因为为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 故平面. （3）在直三棱柱中，平面平面， 因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，则点到底面的距离即为长， 又因为N，P分别为AC，BC的中点，且， 则. 【变式4-1】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【解析】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. （2）因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为. （3）连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥.           因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱中，，D是的中点，与交于点E. (1)求证：平面； (2)若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积. 【解析】（1）如图，连接，因四边形为矩形，则为的中点，又D是的中点，则得， 因平面，平面，故平面. （2）依题意，，解得，在中，. 因为正三角形，则，又平面，平面，故， 因平面，故平面，即为三棱锥的高， 则三棱锥的体积为：. 题型五 ：割补法求空间几何体体积 【典例5-1】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值； (3)若，求多面体的体积. 【解析】（1）取的中点，连接， 由分别为的中点，得，， 而，且，则，且 ， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，则为直线与所成角， 由平面，，得平面，而平面， 则，，， 直角梯形中，， 则， 在中，由可得， 在中，，， 在中，，， 所以与所成角的余弦值为. （3）在棱柱中，取中点，连接，则， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，而，， 四棱锥的体积，由，得， 三棱柱的体积， 所以多面体的体积为. 【典例5-2】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【解析】（1）证明：在正三棱柱中，平面平面，平面, ∴平面， ∵平面，平面平面， ∴. （2） 设中点为，连接，， ∵是棱的中点，∴且， 即四边形为平行四边形，∴， 在正三棱柱中，， ，，， 故与所成角的余弦值. （3）在正三棱柱中，底面为等边三角形， ，， ， ， 所以剩余部分的体积. 【变式5-1】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【解析】（1）如图，取的中点，连接. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以四点共面. 因为三点不共线，所以四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 截面为梯形，， ，， 同理可得， 如图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 所以， 故梯形的面积为 （2）易知多面体为三棱台，， ， 该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为． 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为． 【强化训练】 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 2．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【解析】 如图，是四棱锥的高，于点，连接，则， 因正方形的边长为4，则， ， 故正四棱锥的侧面积为. 故选：D. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法知，原四边形的高为，， 所以四边形的面积为. 故选：A 6．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以可把当作底面，当作高． 可得． 再根据三棱锥体积公式，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 由，，可知是等腰三角形，底边上的高． 可得． 设三棱锥的高为，根据三棱锥体积公式， 已知，，则，解得． 此三棱锥的高为． 故选：D． 7．（24-25高一下·天津静海·期中）小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】馒头的体积为， 火腿的体积为. 故选：B. 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积， 圆台的上、下底面，令，，设，，则 ∴，∴， 则， 所以圆锥的侧面积和为. 故选：A. 9．（24-25高一下·天津·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【答案】D 【解析】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体的体积为 故选：D. 10．（多选题）（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的轴截面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为 D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 【答案】AD 【解析】对于A，圆台的高即轴截面等腰梯形的高， 因此圆台的轴截面面积为，A正确； 对于B，圆台的体积，B错误； 对于C，圆台的侧面积，C错误； 对于D，圆台侧面展开图是半圆环，如图， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为线段长， ，由为中点，得， 所以，D正确. 故选：AD 11．（多选题）（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【解析】对于A，已知正三棱柱的侧面为边长为的正方形，则正三棱柱底面正三角形的边长. 设正三角形内切圆半径为，根据正三角形内切圆半径公式， 把代入，得，所以A选项错误.   对于B，由A可知圆柱底面半径，正三棱柱的高（即圆柱的高）. 根据圆柱侧面积公式（其中为底面半径，为高）. 把，代入公式，得，所以B选项正确.   对于C，先求正三棱柱两个底面正三角形的面积，把代入得. 正三棱柱三个侧面的面积，两个内切圆的面积，圆柱侧面积（已在B中求出）. 则该几何体的表面积，所以C选项错误.   对于D，正三棱柱的体积，把，代入得. 圆柱的体积，把，代入得. 该几何体的体积，所以D选项正确.   故选：BD. 12．（16-17高一·全国·课后作业）如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 【答案】6 【解析】过作，则， ∵与轴垂直，且， ∴， 则的边上的高等于， 故答案为： 13．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体，设圆锥顶点到平面的距离为l，则截得的截面面积都为 （用R，l表示），由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等，从而得到半球的体积公式. 【答案】 【解析】在半球中，截面为圆，半径为， 所以截面面积为， 在圆柱中截面为圆柱底面面积减去一个小圆的面积， 在轴截面中，，所以，则小圆的面积为， 则截面面积为， 所以截得的截面面积都为. 故答案为： 14．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是 ； 【答案】 【解析】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，所以， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 15．（24-25高一下·天津滨海新·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为 ； 【答案】 【解析】因为该组合体得到上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 故答案为：. 16．（24-25高一下·新疆和田·期中）已知球O的表面积与圆锥的侧面积相等，且球O的直径为2，圆锥的母线长为4，则圆锥的底面半径为 . 【答案】1 【解析】设圆锥的底面半径为，依题意，，解得， 所以圆锥的底面半径为1. 故答案为：1 17．（24-25高一下·天津滨海新·期中）若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为 【答案】 【解析】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高为， 所以圆锥的体积. 故答案为： 18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为 ． 【答案】 【解析】因为圆台的上底面半径，下底面的半径，其侧面积为，设母线为，高为， 所以，即，解得， 所以， 所以该圆台的体积. 故答案为： 19．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【解析】（1）在正三棱柱中，连接，连接， 则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）平面，由D为棱的中点，得，， 于是， 所以. 20．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点，    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，求：正四面体的体积. 【解析】（1）因分别为的，上的中点，所以，且； 因分别为的，上的中点，所以，且； 所以，且， 所以四边形为平行四边形. （2）取的中心，连接，连接， 则为正四面体的高， 在中，可得，， 在中，由勾股定理得， 则正四面体的体积为. 21．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（1）A，B，C，D是球O的球面上四点，，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为，求球O的体积； （2）已知正四棱台中，，该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积. 【解析】（1）如下左图所示，由题意可知AD为球O的直径，设D到面ABC的距离为d， 则等边的面积为，所以， 则球心O到面ABC的距离为1. 设面ABC，易知H为等边的外心， 所以，故球的半径， 所以球O的体积. （2）如上右图所示，设J，L分别为上、下底面的中心，M，K分别为BC，的中点，且有，， 设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为，，， 由，即得，，所以，. 又及， 所以有，解得. 由勾股定理可得斜高， 所以，从而四棱台表面积. 22．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）如图，连结，设交于，连结， 因为底面是菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在直四棱柱中，平面， 平面，所以， 又底面是菱形，所以， 因为平面，且， 所以平面，又平面， 所以. （3）设到平面的距离为， 则， 而直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，， 所以菱形的面积为， 所以. 23．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. (1)求； (2)求证： 平面； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）. 所以. 又由，可得，所以. （2）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则，因为平面平面， 因此平面. （3）因为平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以. 在中，为的中点，， 所以. 因此. 24．（24-25高一下·吉林·期中）已知在正方体中，截下一个四棱锥，为棱中点，为棱的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积． 【解析】（1）； （2）四棱锥的表面由正方形和四个直角三角形所围成， ，，， 则与全等，与全等， 因为，，， 所以. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$