期末考试押题卷02-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

2024-2025学年下学期期末考试押题卷02 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：D 2．已知向量与的夹角为，，，若，则实数（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，所以， 故. 故选：D. 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【解析】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则， 故. 故选：D 4．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表： 年级 高一 高二 高三 抽样人数 36 34 30 平均身高 则该校高中学生的平均身高可估计为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：抽取的总人数为，各年级的频率依次为， 所以该校高中学生的平均身高可估计为. 故选：C. 5．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【解析】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 6．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】设米，在中， 已知所以在 中 已知所以在 中 已知所以因为B是的中点，且米， 所以米．又因为所以 在中，由余弦定理可得： 解得所以米． 故选： 7．已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形， 所以，则， 由. 故选：D 8．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以平面EFG，所以①正确， 对于②，连接，因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点， 所以∥，∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面平面，所以②正确， 对于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面， 因为平面平面，点P为底面上任意一点， 所以所有点P在上，所以③错误， 对于④，因为∥，所以为BP与所成的角， 因为平面，平面，所以， 所以， 由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为， 所以的最小值为，即的最小值是，所以④正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】ACD 【解析】对于A：在中，由，可得，由正弦定理可得，，故A正确； 对于B：在中，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，所以角最多有一个钝角， 若，则中至少有一个为负数， 即中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：因为，由余弦定理可得， 即，所以，即，故是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 10．（多选）在某运动会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．b的值为0.25 B．候选者面试成绩的中位数约为69.4 C．在被抽取的候选者中，成绩在区间之间的候选者有30人 D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5 【答案】BD 【解析】对于A，由，解得，故A错误； 对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则，解得，故B正确； 对于C，成绩在区间的频率为，故人数为，故C错误； 对于D，因为 ，故D正确． 故选：BD 11．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（    ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 【答案】BCD 【解析】对于A，如图，由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误， 对于B，如图由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确， 对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以阳马的体积，鳖臑的体积， 所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确， 对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点， 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体， 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人. 【答案】45 【解析】由题意得，因为加登山的人数占总人数的， 所以参加登山的人数为人，参加跑步的人为1500人. 又由得，高三年级参加跑步的人数为人. 根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为人， 所以高三年级应抽取人. 故答案为：45. 13．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【解析】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 14．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为是中点，，，得， 在四边形中，令，，由，得，， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 当且仅当时，两个等号同时成立， 所以的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量，，． （1）若点A，B，C共线，求实数m的值； （2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值． 【解析】（1）因为，，， 所以， 因为、、三点共线，所以，所以，解得 （2）①若为直角，则，所以，解得 ②若为直角，则，所以，解得 ③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解； 综上可得，当或时为直角三角形 16．（15分） 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，． (1)求这组样本平均数和方差； (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率； (3)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由． 【解析】（1）， 样本方差为 ， （2）用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品， 用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品， 则该试验的样本空间可表示为 共有15个样本点． 设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果， 即．     所以．         即两件均为一等品的概率为． （3）因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分， 所以估计改进后生产的产品评分的平均数，     所以可以认为这6件产品平均等级为一等品. 因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品， 所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品． 17．（15分） 已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由平面，平面， 得，由正方形，得，而平面， 所以平面. （2）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面，因此， 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 因此，，则，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （3）在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形成正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接，由平面， 得，而平面，则平面， 是直线与平面所成的角，取中点，连接， 由是的中点，则，平面，而平面， 则，设则，，则， 而，由直线与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，解得或， 所以或. 18．（17分） 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【解析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则． ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 19．（17分） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 【解析】（1）由， 得． 由正弦定理，得，整理得． 由余弦定理，得． 又，所以． （2）由题知，所以． 则，所以． 由（1）得，，又，所以，联立，得， 故的面积为． （3）如图，设，因为，所以， 由（1）知，，所以， 在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，， 由正弦定理，得所以， 所以，则，整理，得， 所以，，解得，． 又，所以， 则，因此为等边三角形． 在中， 由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 第6页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末考试押题卷02 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 2．已知向量与的夹角为，，，若，则实数（   ） A．2 B．1 C． D． 3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 4．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表： 年级 高一 高二 高三 抽样人数 36 34 30 平均身高 则该校高中学生的平均身高可估计为（    ） A． B． C． D． 5．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 6．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 7．已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 10．（多选）在某运动会的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．b的值为0.25 B．候选者面试成绩的中位数约为69.4 C．在被抽取的候选者中，成绩在区间之间的候选者有30人 D．估计候选者的面试成绩的平均数约为69.5 11．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（    ） A．阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B．鳖臑的四个面均为直角三角形 C．阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D．堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示： 高一年级 高二年级 高三年级 跑步人数（单位：人） a b c 登山人数（单位：人） x y z 其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 人. 13．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 14．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量，，． （1）若点A，B，C共线，求实数m的值； （2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值． 16．（15分） 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，． (1)求这组样本平均数和方差； (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率； (3)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由． 17．（15分） 已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 18．（17分） 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 19．（17分） 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$