期末考试押题卷03-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

2024-2025学年下学期期末考试押题卷03 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，且，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以，解得. 故选：C. 2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由题意在在复平面内对应的点，位于第一象限. 故选：A. 3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且， 原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 4．2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 【答案】D 【解析】由随机数表法可知，前四名学生的编号依次为：、、、， 因此，选取的第四个编号为. 故选：D. 5．《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【解析】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】设所求为，由题意， 在三角形中，解得. 故选：A. 7．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 8．四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知虚数z满足，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】因，则，故z的实部为，虚部为， ，z在复平面内对应的点为，在第三象限， 故AC正确；BD错误； 故选：AC 10．甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是．则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都解出此问题的概率 B．甲、乙都未解出此问题的概率 C．甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D．至少有一人解出此问题的概率 【答案】AC 【解析】记甲解出此题为事件A，乙解出此题为事件B，A与B为相互独立事件， 则，由，故A正确； 由，故B错误； 记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题，则， 所以 ，故C正确； 记事件D为至少有一人解出此问题，，故D错误． 故选：AC． 11．如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形的面积为 C．外接圆的周长为 D． 【答案】BCD 【解析】由题意可得，所以，故A错误； 过点作轴的垂线，设垂足为点，过点作轴的垂线，设垂足为点 ， 则四边形的面积为 ，故B正确； 因，在直角三角形中，易得， 设外接圆的半径为，由正弦定理，，解得， 故外接圆的周长为，故C正确； 因， ，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 【答案】 13 64 【解析】设，设的平均数为，方差为， 的平均数为，方差为，则， 则. 故答案为：. 13．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为 ； 【答案】 【解析】因为该组合体得到上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 故答案为：. 14．已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由正弦定理得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，所以，故， 所以周长的取值范围. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)若与共线，求的值． (2)若与的夹角为，求的值． (3)求向量在向量上投影的数量． 【解析】（1）因为，， 所以，， 因为与共线，所以，解得； （2）因为，， 又与的夹角为， 则，解得； （3）因为，， 所以，， 所以向量在向量上投影的数量为. 16．（15分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.    (1)求图中的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 【解析】（1）因为，解得：. （2）因为：， 所以估计该企业100名职工对该部门评分的平均数为. （3）因为评分的受访职工有人，评分的受访职工有人，从这10人中任选2人，这2人评分都在的概率为： . 17．（15分） 如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 18．（17分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点在线段上，，，求的最小值． 【解析】【（1）】 在中，由及正弦定理， 得， 则， 整理得， 而，则， 两边平方得， 又，所以，， 于是，解得， 所以． 【（2）】 由（1）知，由余弦定理得 ， 而，， 则，解得， 所以， 所以外接圆的半径为． 【（3）】 由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 19．（17分） 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 【解析】（1）若时，则，且， 可得， 所以的所有可能取值为0，2，4. （2）设“”为事件M，样本空间为， 因为，可知A共有个，即样本容量， 显然若对调两个位置的序号之差大于2，则， 可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序， 若调整两次两个连续序号：则有， 共有3种可能； 若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组， 由（1）可知：每组均有3种可能满足， 可得共有种可能； 综上所述：. 所以. （3）不可能，理由如下： 设专家甲的排序为，记； 专家乙的排序为，记； 由题意可得：，， 因为， 结合的任意性可得， 所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为. 2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末考试押题卷03 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，且，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 4．2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 5．《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 8．四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知虚数z满足，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 10．甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是．则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都解出此问题的概率 B．甲、乙都未解出此问题的概率 C．甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D．至少有一人解出此问题的概率 11．如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形的面积为 C．外接圆的周长为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 13．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为 ； 14．已知的内角，，的对边分别为．若为锐角三角形，，且，则周长的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)若与共线，求的值． (2)若与的夹角为，求的值． (3)求向量在向量上投影的数量． 16．（15分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.    (1)求图中的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 17．（15分） 如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 18．（17分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求的大小； (2)若，，求外接圆的半径； (3)若点在线段上，，，求的最小值． 19．（17分） 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第i位古董的位次编号，记，那么A与I的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当时，求的所有可能取值； (2)当时，求的概率； (3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I的差异量为a，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量是否可能为？请说明理由． 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$