期末考试押题卷04-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

2024-2025学年下学期期末考试押题卷04 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（    ） A．119 B．122 C．125 D．132 4．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（   ） A． B． C．EI与BG共面 D．AF与BG异面 6．在中，角的对边为，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知一个样本容量为10的样本平均数为5，方差为1.6.现将样本中的3个数据去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和是（    ） A．5，1 B．5，2 C．5，3 D．4，3 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（    ） A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则符合条件的有两个 11．如图，三棱锥中，分别为棱的中点，平面，，，，则（    ） A．四点共面 B．点与点到平面的距离相等 C．直线与直线垂直 D．三棱锥的体积为6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计本次竞赛成绩的平均分为 分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）该校准备对本次竞赛中分数位于前的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于 分． 13．某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    14．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回．直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概率为 ；将球全部取出才停止取球的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数，． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 16．（15分） 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 17．（15分） 已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值. 18．（17分） 已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 19．（17分） 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末考试押题卷04 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，所以， 所以， 所以，又，所以. 故选：B 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设复数，则， ， 又，， ，，. 故选：A. 3．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（    ） A．119 B．122 C．125 D．132 【答案】C 【解析】从小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132， ， 所以第40百分位数为第四个数，即125. 故选：C 4．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 5．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（   ） A． B． C．EI与BG共面 D．AF与BG异面 【答案】C 【解析】根据题意，画出该正方体的直观图， A选项，，为等边三角形，AF与CH所成的角为，A错误； B选项，CH与BD异面，B错误； C选项，直线EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确； D选项，，直线AF与BG共面，D错误. 故选：C. 6．在中，角的对边为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，因，由正弦定理可得 ， 因，所以，故，即， 又因，所以， 故选：A 7．已知一个样本容量为10的样本平均数为5，方差为1.6.现将样本中的3个数据去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和是（    ） A．5，1 B．5，2 C．5，3 D．4，3 【答案】B 【解析】由均值得. 方差 得. 不妨设设，则 ， ， 故选：B． 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， 三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为，内切球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， ， ，， 三棱锥 的表面积为 ， 又，， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图1为某省2024年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2024年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（    ） A．2024年月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B．2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关 C．从两图中看，业务量与业务收入变化高度一致 D．从月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 【答案】ABC 【解析】对于A，由图1可知，快递业务量3月份为4397万件，2月份为2411万件，差值为万件，故A正确； 对于B，由图1可知2024年月份快递业务量同比增长率均超过，在3月份最高，故B正确； 对于C，由两图易知业务量从高到低是3月4月1月2月，业务收入从高到低是3月4月1月2月，保持高度一致，故C正确； 对于D，由图2知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，故D错误； 故选：ABC． 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 11．如图，三棱锥中，分别为棱的中点，平面，，，，则（    ） A．四点共面 B．点与点到平面的距离相等 C．直线与直线垂直 D．三棱锥的体积为6 【答案】BD 【解析】因为分别为棱的中点，所以，， 又平面，所以平面，所以平面， 所以四点不共面，故A错误； 因为，且平面，平面，所以平面， 所以点与点到平面的距离相等，因为是线段的中点， 所以点与点到平面的距离相等，所以点与点到平面的距离相等， 故选项B正确； 因为平面，平面，所以， 因为，即， ，平面，所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 假设，，平面，则平面， 而过点有且只有一条直线与平面垂直，假设不成立， 所以直线与直线不垂直，故选项C错误； 因为，且，因为平面，所以平面， 因为为的中点，， 所以， 所以， 故选项D正确； 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计本次竞赛成绩的平均分为 分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）该校准备对本次竞赛中分数位于前的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于 分． 【答案】 75.4 86 【解析】（1）根据题意可得，解得． 所以估计本次竞赛成绩的平均分为（分）． （2）由频率分布直方图可得，最后一组的频率为， 后两组的频率之和为， 设获得荣誉证书的学生分数不低于x， 则，， 解得，故获得荣誉证书的学生分数不低于86分． 故答案为：75.4；86 13．某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为 （精确到）.    【答案】 【解析】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 14．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回．直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概率为 ；将球全部取出才停止取球的概率为 ． 【答案】 / / 【解析】若2个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，其概率为． 若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第5次取出的一定是白球． 四种情况： ①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球， 其概率为； ②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球， 其概率为； ③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球， 其概率为； ④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球， 其概率为； 故所求概率为． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知复数，． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 【解析】（1）因为z是纯虚数，所以，解得； （2）在复平面内z对应的点为， 由题意可得，解得， 即m的取值范围是. 16．（15分） 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 【解析】（1）①应填，②应填； （2）区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； （3）、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 17．（15分） 已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值. 【解析】（1）由余弦定理， 又，所以； （2）由（1）知，由正弦定理， 则. （3）由，所以，所以为锐角，故， 所以， 所以， 所以 . 18．（17分） 已知四棱锥的底面为是边长为1的正方形，平面 (1)求证：平面； (2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； (3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求. 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由平面，平面， 得，由正方形，得，而平面， 所以平面. （2）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面，因此， 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 因此，，则，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （3）在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形成正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接，由平面， 得，而平面，则平面， 是直线与平面所成的角，取中点，连接， 由是的中点，则，平面，而平面， 则，设则，，则， 而，由直线与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，解得或， 所以或. 19．（17分） 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【解析】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即 解得或（舍去）， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$