精品解析：广东省佛山市顺德区2025年中考二模数学试卷

2024学年第二学期九年级适应性训练数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1.选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2.作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系每一个象限点的坐标特征，第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，据此即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限． 故选：D 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂，逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，掌握两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 根据对顶角相等得到，再由两直线平行同旁内角互补得到，即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据自变量系数，判断出在一次函数中，y随x的增大而减小，是解答本题的关键．根据一次函数中自变量系数的正负判断出一次函数的增减性，据此作答即可． 【详解】解：∵在一次函数中，自变量系数， ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 6. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故选：D． 7. 学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 首先用分别表示3处研学地方，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小芳和小亮选择同一个地方研学的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：用分别表示3处研学地方， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况， ∴小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，得到，进而得到． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 某公司办公大楼共4层，公司要召开会议，从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在（ ） A. 4层 B. 3层 C. 2层 D. 1层 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减混合运算的应用，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 设每层的距离为x，根据题意分别表示出每层到开会楼层的距离和，进而比较求解即可． 【详解】设每层的距离为x， ∵从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2， ∴到1层开会的总距离为：， 到2层开会的总距离为：， 到3层开会的总距离为：， 到4层开会的总距离为：， ∵ ∴要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在2层． 故选：C 10. 如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（ ） A B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．延长交于点，由正方形的性质得，，，，证四边形是矩形，得，进而证，得即，求解即可得解． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 故选：． 二、填空题（4个题，每题3分，共12分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键 直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵数式有意义， ∴，即． 故答案为． 12. 在平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点N．若点N在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，先求得N点的坐标，即可求得k的值． 【详解】解：把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点， ∵点N在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 13. 新定义：．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据题意得到，即，得到，求出或，即可得到答案． 详解】解：新定义：，， ，即， ， 解得：或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论______． 【答案】，，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平移变换、等腰直角三角形，平行线的判定，结合平移的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：，，（答案不唯一）． 三、解答题（8个题，共78分） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、实数的混合运算． （1）先算括号内的式子，同时计算开方和乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先把除法运算化为乘法运算，再约分，接着通分后进行同分母的减法运算，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， 当时，原式． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作线段，且点在边上，作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的作图方法作出图形即可； （2）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：如图，、为所求作； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 18. 某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）如下： 苹果编号 供应商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83 乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76 任务：为更好地包装出售，超市要从甲、乙两个供应商中挑选一个合作商，根据所学统计知识作出更加合理的选择，说明理由． 【答案】选择甲供应商作为合作商，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、方差等知识点，分别根据算术平均数，方差的定义解答即可． 【详解】解：甲供应商的苹果直径平均数为： ， 乙供应商的苹果直径平均数为： ， 甲供应商的苹果直径方差为： ， 乙供应商的苹果直径方差为： ， 选择甲供应商作为合作商，理由如下： 甲和乙的平均数相同，从方差角度上看，甲供应商的方差为5.8，小于乙供应商的方差18.4，所以甲供应商的苹果大小更整齐，更易于包装出售，因此选取甲供应商作为合作商． 19. 【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 （1）根据方案一，求、两点间的距离； （2）尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【小问1详解】 解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． 20. 线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． （1）如图，当经过圆心时，证明：； （2）如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接、．由点是的中点，得．由是的直径，得，进而解直角三角形得，从而即可得解； （2）如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点．由（）得．，进而证明（）．得，．从而．在中，解直角三角形得．从而即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接、． ∵点是的中点， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 如图，连接，，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． 由（）得．， ∴． ∵， ∴（）． ∴，． ∴． ∴． 在中，， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理的推论，全等三角形的判定及性质，弧、弦、圆周角间的关系． 21. 现有抛物线． （1）下表所列的点均在抛物线上． 0 1 2 3 3 ①求抛物线的解析式； ②若点在抛物线上，且满足，直接写出的取值范围； （2）和是抛物线上的两点．当，时，对于，，均有，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质． （1）①由表格可知，抛物线的顶点为，过点，设抛物线的解析式为，将点代入求解即可； ②令，求出x的值，再由已知条件结合二次函数的性质求解即可； （2）由已知得对称轴，抛物线与轴的两个交点为，，根据与0的大小关系，分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①由表格可知，抛物线的顶点为，过点， 设抛物线的解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②令， 解得，， ∵， ∴若点抛物线上，且满足，则； 【小问2详解】 解：解法1：当，时，，对称轴， 令，得， 解得或， 抛物线与轴的两个交点为，， 当时，， ，， ， 当时，如图1， 对于，，均有， ， 解得， 当时，如图2，点和关于对称， 对于，，均有， ， 解得， 综上所述，； 解法2：， 对于，，均有， ，即， 当时，，符合题意； 当时，， ， ， ， 解得； 当时，， ， ， ， 解得， 综上所述，； 解法3：抛物线的开口向上，对称轴是， ，， ， 对于，，均有， 点靠近对称轴， 当，即时，的中点在对称轴右侧，如图3 ， 解得， ，且， 解得； 当，即时，的中点在对称轴左侧，如图4， ， 解得， ，且， 解得，且， 满足条件的不存在， 综上所述，； 解法4：抛物线的对称轴是， 当时，如图5，点和关于对称， ∵对于，，均有， ∴， 解得； 当时，如图6，点和关于对称， ∵对于，，均有， ∴， 解得，且， 满足条件的不存在， 综上所述，； 解法5：，， ∵对于，，均有， ∴，即对所有成立， 令（），对称轴是， 当，即时，当时，随的增大而增大， 所以， 由，解得， 当，即时， ， 所以不符合要求； 当，即时， 当时，随的增大而减小， 所以， 由，解得，不符合要求． 综上所述，． 22. 如图1，在中，，，点是边上一点，过点作，垂足为点．连接，点是的中点，连接，． （1）探究与的关系，并证明； （2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2，题（1）中的结论是否还成立？说明理由； （3）在（2）条件下，若，求的最小值． 【答案】（1）且，证明见解析 （2）成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，，从而得到，进而得到．同理．再根据题意得到，即可解答； （2）延长至点，使得，连接，，，交于点，记交于点．证明，可得，，再证明，可得，，即可解答； （3）分别过点B，G作的平行线，两平行线交于点M，连接，则四边形是平行四边形，．可得．从而得到当C，G，M三点共线时，最小，即可解答． 【小问1详解】 解：，且．理由： ，点是的中点， ． 同理． ． ， ． ． 同理． ，， ． ． ； 【小问2详解】 解：，且．理由： 如图，延长至点，使得，连接，，，交于点，记交于点． ，，， ． ，． ，． ． ，， ． ，， ． ． ，． ． ，且． 【小问3详解】 解：如图，分别过点B，G作的平行线，两平行线交于点M，连接，则四边形是平行四边形，． ∴． ∴． 当C，G，M三点共线时，最小． 此时． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期九年级适应性训练数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1.选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2.作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题（10个题，每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，则（ ） A B. C. D. 5. 若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 7. 学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A 5 B. 6 C. D. 9 9. 某公司办公大楼共4层，公司要召开会议，从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在（ ） A. 4层 B. 3层 C. 2层 D. 1层 10. 如图，正方形的边长为，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（4个题，每题3分，共12分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 在平面直角坐标系中，把点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点N．若点N在反比例函数的图象上，则______． 13. 新定义：．若，则的值为______． 14. 如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论______． 三、解答题（8个题，共78分） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 16. 解不等式组 17. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作线段，且点在边上，作的平分线交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．证明：四边形是菱形． 18. 某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）如下： 苹果编号 供应商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83 乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76 任务：为更好地包装出售，超市要从甲、乙两个供应商中挑选一个合作商，根据所学统计知识作出更加合理的选择，说明理由． 19. 【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 （1）根据方案一，求、两点间距离； （2）尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 20. 线段是的一条弦，动点是上方圆弧上一点，点是的中点．连接、、，且． （1）如图，当经过圆心时，证明：； （2）如图，当不经过圆心时，是否还成立？说明理由． 21. 现有抛物线． （1）下表所列的点均在抛物线上． 0 1 2 3 3 ①求抛物线的解析式； ②若点在抛物线上，且满足，直接写出的取值范围； （2）和是抛物线上的两点．当，时，对于，，均有，求的取值范围． 22. 如图1，在中，，，点是边上一点，过点作，垂足为点．连接，点是的中点，连接，． （1）探究与关系，并证明； （2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2，题（1）中的结论是否还成立？说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$