专题01 二元一次方程组（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题01 二元一次方程组（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 题型二 图像法解二元一次方程 题型三 二元一次方程的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 同解方程组的问题 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 二元一次方程组与不等式综合 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 题型十 二元一次方程组与实际问题 题型十一 三元一次方程组与实际问题 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）解方程组： (1) (2) 2．（23-24七年级下·山东德州·期末）解方程组： (1) (2) 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）解方程组 (1) (2) 题型二 图像法解二元一次方程 4．（23-24七年级下·山东济宁·期末） (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，…… 如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对， 例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m， （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）： ． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，写出直线m与直线n的交点M的坐标 ；则方程组 的解是   ． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B，写出的面积． 【拓展提高】 （2）已知关于，的二元一次方程组无解，则这两条直线 ．（填位置关系） （3）请在图2中画出（2）中符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是C、D，方程②图象与，轴的交点分别是E、F，计算的度数．    6．（21-22七年级下·山东滨州·期末）阅读材料，回答以下问题： 我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如是方程的一个解，对应点，如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还有对应点，，，，将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线就叫做方程的图象．一般的，以任意二元一次方程解为坐标的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问： (1)已知、、，则点　　（填“或或”）在方程的图象上． (2)求方程和方程图象的交点坐标． (3)已知以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值． 题型三 二元一次方程的特殊解法 7．（23-24七年级下·山东临沂·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______的解集为______． (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数，求m的值． 8．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 9．（22-23七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 10．（20-21七年级下·山东德州·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得，乙看错了方程组中的b，解得．求出原方程组的正确解． 11．（22-23七年级下·四川·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而得到的解为；乙看错了方程中的，而得到的解为． (1)求的值； (2)求原方程组的正确解． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 题型五 同解方程组的问题 13．（22-23七年级下·山东德州·期中）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 14．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 15．（22-23八年级下·山东淄博·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 16．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 17．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）关于的方程组，若满足，求的取值范围． 18．（22-23七年级下·山东烟台·期末）已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，求m的值． 题型七 二元一次方程组与不等式综合 19．（23-24七年级下·山东东营·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 20．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解，互为相反数，求的值； (2)若方程组的解，满足，求的取值范围． 21．（22-23七年级下·山东滨州·期末）按要求完成下列题目： (1)解方程组： (2)已知方程组的解x，y满足，求m的取值范围． 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 22．（21-22七年级下·山东济宁·期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 23．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 24．（22-23七年级下·山东济南·期末）定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是 ． 25．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 26．（23-24七年级下·山东滨州·期末）（1）若关于的二元一次方程组的解是，试求关于的二元一次方程组的解． （2）阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得．请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数） 27．（21-22七年级下·山东济宁·期末）[阅读材料] 问题1：若方程组的解满足条件0<x+y<1，求k的取值范围． 解析：由于方程组中x，y的系数恰好都分别为1和4，所以直接将方程组①，②相加，可得5x+5y=k+4，即x+y=(k+4)，由条件0<x+y<1得： 0<(k+4)<1．从而求得k的取值范围： -4<k<1．这种不需求x、y，而直接求x+y的方法数学中称为整体代换． 问题2：若方程组的解满足条件0<x+y<1，求k的取值范围． 小华在解此题时发现由于x，y的系数不对等，整体代换不可行，但聪明的小华并没有放弃，通过探索发现：方程①，②分别乘以不同的数，仍然可以达到整体代换的目的． [解答问题] (1)请根据小华的思路，在下面的横线上填上适当的式子． 方程①× (-2)得：________________③， 方程②× 3得：________________④， 将方程③、④相加得：________________， 所以x+y=________________， 由条件0<x+y<l得：________________________， 从而求得k的取值范围：________________． (2)若问题变为“若方程组的解满足条件0<2x+y<1，求k的取值范围”． 问：你应如何确定两方程的变形，才能达到不需求x，y 的值，而确定2x+ y的值，从而求出k的取值范围?请直接写出解题过程(不用写解题思路)． 28．（21-22七年级下·山东威海·期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 【方法引领】 用换元法解方程组：． 分析：由于方程组中含有式子和，所以可设． 原方程组可化为． 解得 ，即 ． 进而可求得原方程组的解． …… 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案） (2)已知方程组，求x，y的值． 题型十 二元一次方程组与实际问题 29．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 30．（23-24七年级下·山东烟台·期末）为鼓励学生积极参加体育活动，某班级准备购买一批跳绳．已知2件A类跳绳和3件B类跳绳共需41元，5件A类跳绳和2件B类跳绳共需53元． (1)求这两种跳绳的单价各是多少元？ (2)该班级准备购进这两种跳绳共60件，且B类跳绳的数量不少于A类跳绳数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 31．（23-24七年级下·山东聊城·期末）炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的，两种空调销量迅速增长．已知空调的进价为万元/台，售价为万元/台；空调的进价为万元/台，售价为万元/台．今年六月这两种空调的销售总额为206万元，总利润为102万元（利润售价进价）．问这两种空调售出的台数分别是多少？ 32．（23-24七年级下·山东烟台·期末）年月日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？ (2)若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？ 33．（23-24七年级下·山东烟台·期末）随着我国航天事业的蓬勃发展．相关航天商品备受青睐．某店抓住商机，从某网店购进每个标价20元的航天模型共200个，已知该网店的快递费和优惠率如下表： 每次网购数量 个 100个以上（含100） 快递费用 商品总价的 免费 价格优惠 不优惠 优惠 (1)已知该店分两次网购该种模型，共花费3840元，则两次网购模型各多少个？ (2)若该店一次性购进该批模型，再以每个27元的价格出售，在第九个“中国航天日来临之际，每个模型以m折出售，要使每个模型的利润率不低于，则最低可打几折？ 34．（23-24七年级下·山东东营·期末）新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，工种2人，工厂每月需要支付的基本工资为17000元． (1)求工种和工种工人每月的基本工资是多少？ (2)该工厂决定招聘，两个工种工人共150人，现要求工种的人数不少于工种人数的2倍，那么招聘工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？ 35．（23-24七年级下·山东济南·期末）某校开展运动会，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．已知买15个A 款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元：若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元．商店开展促销活动：活动方案一：商店内所有商品9折出售．活动方案二：用35元购买会员卡，凭会员卡购买，商品价格打8折； (1)该商店在无促销活动时，求 A 款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)促销期间，若购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若参与活动方案一，共需要 元；若参与活动方案二，共需要 元．（均用含m的代数式表示） (3)在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，参与活动方案二购买方式更合算？ 36．（23-24七年级下·山东德州·期末）某公司用甲、乙两种货车向武汉运送物资，两次满载的运输情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 物资总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 1 2 11 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 37．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某超市计划购进甲、乙两种商品共计10件进行销售(购进甲、乙两种商品数量均不为0)．已知两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元． (1)求甲、乙两种商品的进价； (2)若购进甲、乙两种商品费用不超过590元，则该超市有几种进货方案? (3)该超市计划将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元，求购进的甲商品不能少于多少件? 题型十一 三元一次方程组与实际问题 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 40．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． $$专题01 二元一次方程组（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 题型二 图像法解二元一次方程 题型三 二元一次方程的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 同解方程组的问题 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 二元一次方程组与不等式综合 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 题型十 二元一次方程组与实际问题 题型十一 三元一次方程组与实际问题 题型一 选用合适的方法解二元一次方程组 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）直接利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 2．（23-24七年级下·山东德州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴是原方程的解； （2）解：， 化简得，， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴是原方程的解． 题型二 图像法解二元一次方程 4．（23-24七年级下·山东济宁·期末） (1)填表，使上下每对，的值是方程的解． (2)以上表中的值为横坐标，的值为纵坐标，在图的平面直角坐标系中标出这些点观察并思考： ①这些点是否在一条直线上? ②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解吗? (3)(2)中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程的图象；请在图的同一平面直角坐标系中画出方程的图象，并根据两个方程的图象直接写出方程组的解． (4)图2给出了方程组的图象，根据图象提供的信息求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①均在同一条直线上；是 (3) (4) 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象； （1）先解出方程的四个解，再在平面直角坐标系中利用描点法作图，再根据图形解答即可； （2）根据（1）所作的图形即可解答； （3）用描点法分别画出两个二元一次方程的图象，根据图象的交点就是方程组的解，即可解答； （4）根据方程组的解为，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程的解， 可以为：， 填表如下， （2）①如图所示，由图可知，这些点都在同一条直线上； ②在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解； （3）解：的解， 可以为： 如图所示， 根据图象的交点就是方程组的解，则方程组的解为 （4）解：根据函数图象可得方程组的解为 ∴ 解得： ∴ 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，…… 如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对， 例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m， （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）： ． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，写出直线m与直线n的交点M的坐标 ；则方程组 的解是   ． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B，写出的面积． 【拓展提高】 （2）已知关于，的二元一次方程组无解，则这两条直线 ．（填位置关系） （3）请在图2中画出（2）中符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是C、D，方程②图象与，轴的交点分别是E、F，计算的度数．    【答案】（1）①，，；（答案不唯一）②图象见解析；；；③；（2）平行；（3）见解析； 【分析】（1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线n，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点A、B的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）先找出两个方程中的两对整数解，得出直线上的两个点，根据两点确定一条直线，画出两条直线即可；根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余得出答案即可． 【详解】解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：，，；（答案不唯一） ②如图，直线n即为所求，根据图象可知：直线m与直线n的交点M的坐标；则方程组 的解是；    ③把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴， ∴； （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）方程的两组整数解为：，， ∴方程①图象经过点，； ∵是方程的一组解， ∴方程②图象平行于方程①图象，且经过点，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，方程组的解，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握点的坐标与方程解的关系． 6．（21-22七年级下·山东滨州·期末）阅读材料，回答以下问题： 我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如是方程的一个解，对应点，如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还有对应点，，，，将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解．所以，我们就把这条直线就叫做方程的图象．一般的，以任意二元一次方程解为坐标的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问： (1)已知、、，则点　　（填“或或”）在方程的图象上． (2)求方程和方程图象的交点坐标． (3)已知以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的横坐标代入方程求出的值，看是否等于它们的纵坐标，由此即可得出答案； （2）联立两个方程，利用加减消元法解方程组求出方程组的解，由此即可得； （3）先利用加减消元法求出方程组的解，从而可得点的坐标，再将其代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将代入方程得：，解得， 则点不在方程的图象上； 将代入得：，解得， 则在方程的图象上，不在方程的图象上； 故答案为：． （2）解：联立， 解得， 则方程和方程图象的交点坐标为． （3）解：， 解得， 点是以关于的方程组的解为坐标的点， ， 又点在方程的图象上， ， 解得． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程、点坐标，熟练掌握消元法是解题关键． 题型三 二元一次方程的特殊解法 7．（23-24七年级下·山东临沂·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______的解集为______． (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数，求m的值． 【答案】(1)；或 (2)m的值为 【分析】本题考查绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法、解一元一次不等式，（1）根据题意求解即可； （2）先将二元一次方程组的两方程求和可得，再代入，得到关于m的绝对值方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的解集为，的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：∵， 由得，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵m是负整数， ∴． 8．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 10．（20-21七年级下·山东德州·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得，乙看错了方程组中的b，解得．求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】把代入②，代入①得到关于a，b的方程组，求出a，b，代入原方程即可求解． 【详解】解：解方程组 把代入②，代入①得　　 解得 方程组为 解得 方程组的解是． 【点睛】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是把方程的解代入原方程． 11．（22-23七年级下·四川·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而得到的解为；乙看错了方程中的，而得到的解为． (1)求的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）将，代入，求出的值，将，代入，求出的值，代入代数式求解即可； （2）将的值代入方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴方程组为：， ，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查方程组错解复原问题．解题的关键是掌握错解满足没有看错的方程． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 题型五 同解方程组的问题 13．（22-23七年级下·山东德州·期中）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 14．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解， （1）根据题意联立，解方程组即可； （2）把代入，解方程组后求出，的值，然后代入计算后再求立方根即可； 掌握同解方程组的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得：， 整理得：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 15．（22-23八年级下·山东淄博·阶段练习）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】根据方程组解相同，可得新方程组，求解得到方程组的解，根据方程组的解满足方程，把解代入可得到关于a、b的方程组，求解即可得到a、b的值，再代入求解，即可得到答案； 【详解】解：由题意得，方程组   ∴方程组的解为   把代入含a、b的方程可得， ∴方程组的解为 ∴； 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及乘方，先组合新的方程，分别求出两个方程组的解是解题的关键． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 16．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 17．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）关于的方程组，若满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，涉及二元一次方程组的解法、解一元一次不等式等知识，先利用两个方程求和得到，再由题意列不等式求解即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法及解一元一次不等式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得：， ， ∵， ∴，解得． 18．（22-23七年级下·山东烟台·期末）已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可． 【详解】解：解方程组，得， 将代入， 解得． 【点睛】本题考查解二元一次方程组求参数，关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． 题型七 二元一次方程组与不等式综合 19．（23-24七年级下·山东东营·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，求整数m的值． 【答案】5 【分析】根据解一元一次不等式组的解法和解二元一次方程组的方法，可以求的值，本题考查解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法． 【详解】解：， ①②得，即， ①②得，即， 二元一次方程组解是正整数， ， 解得，， 或6， 时，，， 当时，不符合题意，舍去； ． 由不等式组得， 关于的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得，， 的值是5． 20．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解，互为相反数，求的值； (2)若方程组的解，满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查解二元一次方程组及相反数的定义，求不等式组的解，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）观察所给方程组的特点，由两个方程相加易得：，结合x与y互为相反数即可得到，由此即可解得对应的k的值； （2）观察所给方程组的特点，易得，，结合条件：即可列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围． 【详解】（1）解：在方程组 中， 由①＋②得，， 即 ， ∵，互为相反数， ∴，即； （2）在方程组 中， 由①－②得，， 即 ， 又∵ ，且 ， ∴ ，解得， 即的取值范围是． 21．（22-23七年级下·山东滨州·期末）按要求完成下列题目： (1)解方程组： (2)已知方程组的解x，y满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将整理得，然后将其代入中解出，进而再解出即可； （1）先由得，再将其代入之中解出，进而解出，然后将，代入之中得到关于的一元一次不等式，最后解此不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：由，得：． 将代入，得：． 解得：， 将，代入，得：． 原方程组的解为：． （2）由，得：． 将代入，得：． 将代入，得：． 原方程组的解为：． 又， ， 解得：． 的取值范围是：． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组得方法与技巧是解答此题的关键． 题型八 与解二元一次方程组有关的新定义问题 22．（21-22七年级下·山东济宁·期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据题中的新定义的运算法则，列出方程组，解方程组求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义，可得， 解方程组，得， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，理解定义新运算公式，掌握二元一次方程组的解法是解决此题的关键． 23．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 24．（22-23七年级下·山东济南·期末）定义新运算：对于任意实数、约定关于的一种运算如下：．例如：．若，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出所求． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，弄清题中的新定义是解本题的关键． 25．（23-24七年级下·山东滨州·期末）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（）当，且时，分别求出和即可， （）根据条件列出方程组即可求出的值； （）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）当，且时， ， ， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， ∴，； （3）∵任意数对经过运算又得到数对， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又均不为， ∴． 题型九 与解二元一次方程组有关的阅读理解类问题 26．（23-24七年级下·山东滨州·期末）（1）若关于的二元一次方程组的解是，试求关于的二元一次方程组的解． （2）阅读下列材料：我们知道面积是5的正方形边长是，因为，且更接近于2，所以设，将正方形边长分为2与两部分，如图所示．由面积公式，可得．因为较小，略去，得方程，解得．请类比所给方法，探究的近似值．（画出示意图，表明数据，并写出求解过程，结果保留两位小数） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和估算无理数的大小，熟练掌握解二元一次方程组的常用方法，以及运用数形结合的思想，画出示意图是解题的关键． （1）根据题意，可知关于、的二元一次方程组的解为方程组的解，解该方程组，即可获得答案； （2）根据题意，画一个边长为的正方形，将正方形边长分为4与两部分，列方程并求出的值，从而得到的近似值． 【详解】解：（1）∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于、的二元一次方程组的解为方程组的解， 解方程组，可得， ∴关于、的二元一次方程组的解为； （2）因为，且更接近于4， 所以设， 如下图，将正方形边长分为4与两部分， 由面积公式，可得， 因为较小，略去，得方程， 解得， ∴． 27．（21-22七年级下·山东济宁·期末）[阅读材料] 问题1：若方程组的解满足条件0<x+y<1，求k的取值范围． 解析：由于方程组中x，y的系数恰好都分别为1和4，所以直接将方程组①，②相加，可得5x+5y=k+4，即x+y=(k+4)，由条件0<x+y<1得： 0<(k+4)<1．从而求得k的取值范围： -4<k<1．这种不需求x、y，而直接求x+y的方法数学中称为整体代换． 问题2：若方程组的解满足条件0<x+y<1，求k的取值范围． 小华在解此题时发现由于x，y的系数不对等，整体代换不可行，但聪明的小华并没有放弃，通过探索发现：方程①，②分别乘以不同的数，仍然可以达到整体代换的目的． [解答问题] (1)请根据小华的思路，在下面的横线上填上适当的式子． 方程①× (-2)得：________________③， 方程②× 3得：________________④， 将方程③、④相加得：________________， 所以x+y=________________， 由条件0<x+y<l得：________________________， 从而求得k的取值范围：________________． (2)若问题变为“若方程组的解满足条件0<2x+y<1，求k的取值范围”． 问：你应如何确定两方程的变形，才能达到不需求x，y 的值，而确定2x+ y的值，从而求出k的取值范围?请直接写出解题过程(不用写解题思路)． 【答案】(1)-4x-10y=2k -2； 9x+5y=9；5x+5y=-2+7k ；；； (2) 【分析】（1）仿照阅读材料解答即可； （2）仿照阅读材料的方法，把已知变形得到2x+y=-k+，再整体代入得关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， 方程①×（-2）得：-4x-10y=-2k-2③， 方程②×3得：9x+15y=9④， 将方程③、④相加得：5x+5y=-2k+7， 所以x+y=-k+， 由条件0＜x+y＜l得：0＜-k+＜l， 从而求得k的取值范围：1＜k＜； 故答案为：-4x-10y=2k -2； 9x+5y=9；5x+5y=-2+7k ；；；． （2）解：， ①×（-7）得：-14x-35y=-7k-7③， ②×8得：24x+40y=24④， ③+④得：10x+5y=-7k+17， ∴2x+y=-k+， ∵0＜2x+y＜1， ∴0＜-k+＜1， 解得＜k＜． 【点睛】本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，熟练将方程组变形． 28．（21-22七年级下·山东威海·期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 【方法引领】 用换元法解方程组：． 分析：由于方程组中含有式子和，所以可设． 原方程组可化为． 解得 ，即 ． 进而可求得原方程组的解． …… 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案） (2)已知方程组，求x，y的值． 【答案】(1)； (2)x=4，y=3． 【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题． （2）根据题意，利用换元法解决此题． 【详解】（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2． 得． 故答案为： （2）设． 原方程组可化为． 解得． 即． 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 题型十 二元一次方程组与实际问题 29．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 【答案】(1)A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个 (2)购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买A型摆件a个，B型摆件b个，a、b均为正整数，根据题意有等式，即有，根据a、b均为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个， 根据题意有：， 解得：， 答：A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个； （2）解：设购买A型摆件a个，B型摆件b个，根据题意可知a、b均为正整数， 根据题意有等式：， 整理得：， 即：， ∵a、b均为正整数， ∴一定是7的倍数， ∴b可以为6和13， ∴相应的a可以为16和8， 故购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 30．（23-24七年级下·山东烟台·期末）为鼓励学生积极参加体育活动，某班级准备购买一批跳绳．已知2件A类跳绳和3件B类跳绳共需41元，5件A类跳绳和2件B类跳绳共需53元． (1)求这两种跳绳的单价各是多少元？ (2)该班级准备购进这两种跳绳共60件，且B类跳绳的数量不少于A类跳绳数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A类跳绳的单价是7元，B类跳绳的单价是9元 (2)最省钱的购买方案是购进A类跳绳45件、B类跳绳15件，最少费用为450元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的一次函数关系式． （1）设A类跳绳的单价是x元，B类跳绳的单价是y元，根据题意列方程组可得答案； （2）设购进A类跳绳a件，则购进B类跳绳件，设购买费用为w元，依题意可得，根据一次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：设A类跳绳的单价是x元，B类跳绳的单价是y元，由题意得： ， 解之得，，      答：A类跳绳的单价是7元，B类跳绳的单价是9元． （2）解：设购进A类跳绳a件，则购进B类跳绳件， 由题意，， 解得． 设购买费用为w元，则， ， ∵ ∴w随着a的增大而减小，a最大时，w有最小值． ∴当时，最省钱，此时 元， 件， ∴最省钱的购买方案是购进A类跳绳45件、B类跳绳15件，最少费用为450元． 31．（23-24七年级下·山东聊城·期末）炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的，两种空调销量迅速增长．已知空调的进价为万元/台，售价为万元/台；空调的进价为万元/台，售价为万元/台．今年六月这两种空调的销售总额为206万元，总利润为102万元（利润售价进价）．问这两种空调售出的台数分别是多少？ 【答案】，两种空调售出的台数分别是160台，180台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设，两种空调售出的台数分别为台，台，根据这两种空调的销售总额为206万元，总利润为102万元列出方程组求解即可． 【详解】解：设，两种空调售出的台数分别为台，台， 由题意，得 解得 答：，两种空调售出的台数分别是160台，180台． 32．（23-24七年级下·山东烟台·期末）年月日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元，购买个甲种纪念品和个乙种纪念品共需元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？ (2)若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？ 【答案】(1)购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元 (2)最多能买个甲种纪念品 【分析】本题考查二元一次方程，不等式的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的运用，一元一次不等式的运用，即可． （1）设购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元，列出方程组，即可； （2）设购买甲种纪念品个，则乙种纪念品为：，列出不等式，即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元， ∴， 解得：， 答：购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需元． （2）解：设购买甲种纪念品个， ∴乙种纪念品为：， ∴， 解得：， 答：最多能买个甲种纪念品． 33．（23-24七年级下·山东烟台·期末）随着我国航天事业的蓬勃发展．相关航天商品备受青睐．某店抓住商机，从某网店购进每个标价20元的航天模型共200个，已知该网店的快递费和优惠率如下表： 每次网购数量 个 100个以上（含100） 快递费用 商品总价的 免费 价格优惠 不优惠 优惠 (1)已知该店分两次网购该种模型，共花费3840元，则两次网购模型各多少个？ (2)若该店一次性购进该批模型，再以每个27元的价格出售，在第九个“中国航天日来临之际，每个模型以m折出售，要使每个模型的利润率不低于，则最低可打几折？ 【答案】(1)两次网购模型各60个、140个 (2)最低可打7折 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设两次网购模型各x个、y个，根据“购进每个标价20元的航天模型共200个，共花费3840元，”列方程组求解即可； （2）根据“每个模型以m折出售且利润率不低于，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设两次网购模型各x个、y个， 根据题意，当时，总金额为：． ． 由题意得：，                解得，                答：两次网购模型各60个、140个． （2）解：由题意，得当一次性购进时，每个模型的单价， 由题意，得， 解得， ∴m的最小值为7．                      答：最低可打7折． 34．（23-24七年级下·山东东营·期末）新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，工种2人，工厂每月需要支付的基本工资为17000元． (1)求工种和工种工人每月的基本工资是多少？ (2)该工厂决定招聘，两个工种工人共150人，现要求工种的人数不少于工种人数的2倍，那么招聘工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？ 【答案】(1)A工种工人每月的基本工资是3000元，B工种工人每月的基本工资是4000元 (2)招聘A工种工人50人时，可使每月所付的基本工资总额最少，最少工资总额是550000元 【分析】本题考查了列二元一次方程组的应用，一元一次不等式解决实际问题，一次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元，根据招聘A工种4人与招聘工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，工种2人，工厂每月需要支付的基本工资为17000元，列二元一次方程组，求解即可； （2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人，工种的人数不少于工种人数的2倍，据此列不等式求解，再设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，可得A种工人数与每月支付工资w元之间的函数解析式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A工种工人每月的基本工资是3000元，B工种工人每月的基本工资是4000元； （2）解：设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人人， 根据题意得：， 解得：， 设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值（元）． 答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的基本工资总额最少，最少工资总额是550000元． 35．（23-24七年级下·山东济南·期末）某校开展运动会，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．已知买15个A 款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元：若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元．商店开展促销活动：活动方案一：商店内所有商品9折出售．活动方案二：用35元购买会员卡，凭会员卡购买，商品价格打8折； (1)该商店在无促销活动时，求 A 款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)促销期间，若购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若参与活动方案一，共需要 元；若参与活动方案二，共需要 元．（均用含m的代数式表示） (3)在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，参与活动方案二购买方式更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元 (2)， (3)当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列代数式，不等式的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式，准确计算． （1）设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元，根据买15个A 款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元：若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元，列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据参与活动方案二购买方式更合算列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元； （2）解：活动方案1， 共需要元； 活动方案2， 共需要元； （3）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 36．（23-24七年级下·山东德州·期末）某公司用甲、乙两种货车向武汉运送物资，两次满载的运输情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 物资总量（吨） 第一次 2 1 10 第二次 1 2 11 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ (2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，以及二元一次方程组的解，找准等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨，根据前两次租用这两种货车的情况表列出方程组，进行求解即可； （2）设租用甲种货车辆，乙种货车辆，根据一次要运31吨货，即可列出关于，的二元一次方程，结合，为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种货车每辆能装货吨，乙种货车每辆能装货吨； 解得． 答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨； （2）解：设租用甲种货车辆，乙种货车辆， 则， 由于，均为正整数，则或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车； 方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车； 方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车． 37．（23-24七年级下·山东济宁·期末）某超市计划购进甲、乙两种商品共计10件进行销售(购进甲、乙两种商品数量均不为0)．已知两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元． (1)求甲、乙两种商品的进价； (2)若购进甲、乙两种商品费用不超过590元，则该超市有几种进货方案? (3)该超市计划将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元，求购进的甲商品不能少于多少件? 【答案】(1)甲种商品每件的进价是80元，乙种商品每件的进价是50元； (2)共有3种进货方案． (3)购进的甲商品不能少于5件； 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式（组）的应用； （1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，根据两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元，再建立方程组解题即可； （2）设购进a件甲种商品，则购进件乙种商品，再根据购进甲、乙两种商品费用不超过590元，购进甲、乙两种商品数量均不为0，建立不等式组解题即可； （3）设购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据至少盈利150元，建立不等式解题即可； 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种商品每件的进价是80元，乙种商品每件的进价是50元； （2）解：设购进a件甲种商品，则购进件乙种商品， 依题意得：， 解得：． 又∵a为整数， ∴a可以取1，2，3， ∴共有3种进货方案． （3）解：设购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 依题意得：， 解得：． ∴购进的甲商品不能少于5件； 题型十一 三元一次方程组与实际问题 38．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 【答案】共需80元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详解】设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元． 根据题意，得 由，得③， 由，得． 所以若购甲，乙，丙货物各1件，则共需80元． 39．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 【答案】中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚， 根据题意，得 解得 所以中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚． 40．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． $$