专题04 一元函数的导数及其应用(12大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 内蒙古专用）

专题04 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的概念 题型03导数的计算 题型04导数的几何意义 题型05 导数求函数单调性 题型06 极值和最值 题型07 导数中恒成立、能成立问题 题型08 导数研究函数零点 题型09 导数研究函数图像和性质 题型10 双变量问题 题型11 导数的实际应用 题型12 导数新概念 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 3．（22-23高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒． ( 题型02 ) 导数的概念 1．（23-24高二上·内蒙古·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）一个质量的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能，则物体开始运动后第4s时的动能是 A．160J B．165J C．170J D．175J ( 题型03 ) 导数的计算 1．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，若，则等于（　　） A． B．1 C．ln2 D．e 4．（22-23高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). ( 题型04 ) 导数的几何意义 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）若直线为曲线的一条切线，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）若曲线上存在两条垂直于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是 ． ( 题型0 5 ) 导数求函数单调性 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数（）. (1)，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. ( 题型0 6 ) 极值和最值 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 2．（23-24高三上·内蒙古包头·期末）函数的最小值为 ． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 4．（23-24高二下·内蒙古包头·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. ( 题型0 7 ) 导数中恒成立、能成立问题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数m的取值范围． 2．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数（，） （1）若，求函数的单调区间与极值； （2）若在区间上至少存在一点，使成立，求实数的取值范围. ( 题型0 8 ) 导数研究函数零点 1．（多选）（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．恰有一个极值点 B．有最小值但没有最大值 C．直线与曲线的公共点个数最多为4 D．经过点只可作的一条切线 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)在处切线斜率为2，求； (2)当时， ①，证明：； ②判断的零点个数，并说明理由. ( 题型0 9 ) 导数研究函数图像和性质 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型 10 ) 双变量问题 .1．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个极值点其中，求的最小值. 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． ( 题型 11 ) 导数的实际应用 1．（23-24高三上·内蒙古通辽·期末）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（    ） ①，②，③，，④ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． ( 题型 12 ) 导数的新概念 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 2．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）设函数.（   ） A．为奇函数 B．图象过二四象限 C．的导数； D．值域为 6．（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）函数．下列说法中正确的有（   ） A．当时，函数的对称中心是 B．，使在上单调递减 C．当时，若恰有两个零点，则实数的值唯一，且 D．当时，恒成立，则 7．（22-23高三上·内蒙古包头·期末）曲线在点处的切线方程为 . 8．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）一个同时具有下列性质①②③的函数 . ①； ②当时，； ③是偶函数. 9．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）函数与函数公切线的斜率为 . 10．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数，当时，恒成立.则实数的取值范围是 . 11．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围． 12．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的概念 题型03导数的计算 题型04导数的几何意义 题型05 导数求函数单调性 题型06 极值和最值 题型07 导数中恒成立、能成立问题 题型08 导数研究函数零点 题型09 导数研究函数图像和性质 题型10 双变量问题 题型11 导数的实际应用 题型12 导数新概念 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】 【解析】根据平均变化率的公式进行求解即可. 【详解】函数在区间上的平均变化率为：. 故答案为： 3．（22-23高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒． 【答案】1 【分析】求出代入即可. 【详解】由题意得，所以， 即质点在时刻的瞬时速度为1米/秒． 故答案为：1. ( 题型02 ) 导数的概念 1．（23-24高二上·内蒙古·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解. 【详解】因为， 又，则，所以，则， 故选：B. 2．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）一个质量的物体做直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能，则物体开始运动后第4s时的动能是 A．160J B．165J C．170J D．175J 【答案】A 【解析】根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得物体开始运动后第时速度，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，物体的运动距离与时间的关系式为， 则有， 物体开始运动后第时速度， 物体开始运动后第时的动能； 故选：． 【点睛】本题考查导数的几何意义，注意求出物体的速度，属于基础题． ( 题型03 ) 导数的计算 1．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，再代值求出，，即可求得，再求即可 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：A 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知函数，若，则等于（　　） A． B．1 C．ln2 D．e 【答案】D 【分析】求导，由得出. 【详解】， 故选：D 4．（22-23高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据基本初等函数的导数公式去求导即可解决 【详解】（1），则 （2），则 （3），则 （4），则 ( 题型04 ) 导数的几何意义 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：D 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）若直线为曲线的一条切线，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切点坐标，再代入切线方程可得结果. 【详解】设切点为， 由得， 所以，得，得， 所以切点为， 所以，得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据导数的几何意义求解是解题关键. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）若曲线上存在两条垂直于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出原函数的导函数，令，得到，然后将问题转化为在上有两个不同的解，再构造函数，求出的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】由，得， 令，则， 曲线存在两条垂直于轴的切线， 在上有两个不同的解． 令，则． 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ， 又当时，，． 的取值范围为． 故选：． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题． 4．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据函数求导，再由切线的斜率为4，求得切点的坐标，写出切线方程. 【详解】因为， 所以， 设切点为， 因为切线的斜率为4， 所以， 解得， 所以该切线的方程是，即 故答案为： ( 题型0 5 ) 导数求函数单调性 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式. 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 3．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导函数小于0在上有解求解即得. 【详解】函数，求导得， 由函数在上存在单调递减区间，得在上有解， 即不等式在上有解， 而函数在上单调递减，当时，，则， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立. 4．（23-24高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数（）. (1)，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，求导得切线的斜率，进而求得切线方程； （2）先求导，再分，，和讨论导数的正负，进而求得函数的单调性. 【详解】（1）时，，，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为，且， ①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. ②当，即时，由，得或；由，得. 则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为. ③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为. ④当，即时， 由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. ( 题型0 6 ) 极值和最值 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 则当时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时函数有极大值，无极小值. 故选：C 2．（23-24高三上·内蒙古包头·期末）函数的最小值为 ． 【答案】0 【分析】求出函数定义域，对分段去绝对值，当时，分析函数的单调性；当时，利用导数分析函数的单调性并求最小值，即可得到的最小值． 【详解】解：函数的定义域为． 当时，，此时函数在上为减函数， 当时，， 则，所以在上单调递增， 在上是连续函数， 当时，单调递减，当时，单调递增． 当时取得最小值为． 故答案为：0． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】（1）当时，，求导得，由导数的几何意义，可求得切线的斜率，进而根据点斜式可得切线方程； （2）求导得，通过对的取值进行分类讨论，分析的符号，进而可得的极值情况，建立关于的不等式，即可得出答案. 【详解】（1）∵， ∴当时，， ∴，， ∴切点坐标为， ∴所求切线的斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）∵，∴， 当时，，在上单调递增，此时无极值； 当时，令，得， 当时，，的减区间为， 当时，，的增区间为， ∴的极小值， ∴，令，则，令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时取得最大值1， ∴的取值范围是． 4．（23-24高二下·内蒙古包头·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为2 【分析】（1）求导，根据的图象在点处的切线与直线垂直，得到方程组，求出； （2）求导，得到函数单调性，从而得到最值. 【详解】（1）由，得. 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得； （2）由（1）可知， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 因为， 所以， 所以在上的最大值为，最小值为2. ( 题型0 7 ) 导数中恒成立、能成立问题 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案； （2）利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求得新函数的最大值，可得答案. 【详解】（1）由，已知其定义域为， 求导可得， 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得，可得下表： 极大值 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）要证，只需证， 令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 则，所以. 2．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数（，） （1）若，求函数的单调区间与极值； （2）若在区间上至少存在一点，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2). 【详解】试题分析：（1）求出的表达式，定义域以及导数，然后判断导函数的符号，求出单调区间． （2）若在区间上至少存在一点，使成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值． 试题解析：（1）当时，，令，解得，又函数的定义域为，由 ，得，由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，有极小值，无极大值 （2）当时，则在区间上单调递减 若在上存在一点，使得成立， 故在区间上的最小值为， 由，得， 当时，由，令，则 ①若，则对成立， 所以在区间上单调递减 则在区间上的最小值为， 显然，在区间的最小值小于不成立. ②若，即时， 则有在递减，递增， 所以在区间上的最小值为， 由 ， 得，解得，即， 综上，. ( 题型0 8 ) 导数研究函数零点 1．（多选）（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．恰有一个极值点 B．有最小值但没有最大值 C．直线与曲线的公共点个数最多为4 D．经过点只可作的一条切线 【答案】ACD 【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故是唯一的极值点，故A正确； 对于B，函数在上的最小值为， 又因为当时，且，当且时，， 当且时，， 所以既无最小值也无最大值，故B错误； 对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示， 直线恒过点， 当足够大时， 直线与曲线有2个交点， 直线与曲线有2个交点， 则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确； 对于D，易知点不在的图象上，设切点为， 则，解得， 则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确. 故选：ACD. 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)在处切线斜率为2，求； (2)当时， ①，证明：； ②判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②两个 【分析】（1）根据导数的几何意义代入计算解方程可得； （2）①对函数求导并构造函数利用函数单调性即可证明得出结论； ②对不同区间上的单调性进行分类讨论，并利用零点存在定理可得在上有两个零点. 【详解】（1）由可得， 可得，解得； （2）当时，，其定义域为； 可得； ①当时，令， 则， 令， 则； 因此可知在上单调递增，即， 因此，可得在上单调递增； 所以，即在上单调递增， 因此， 即可得时，； ②由，可知在上单调递增， 易知当趋近于时，趋近于，又； 根据零点存在定理可得在上存在唯一零点； 设，， 即可得时，；时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，当趋近于时，趋近于， 令， 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增； 即可得，当趋近于时，趋近于， 即可得在上有唯一零点，且，即的一个零点为0，上无零点， 综上可知，在上有两个零点. 【点睛】方法点睛：求解函数零点问题时，要利用导数求出函数单调性并由零点存在定理得出零点所在区间，即可求得函数的零点个数. ( 题型0 9 ) 导数研究函数图像和性质 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数上存在点关于原点的对称点在函数的图象上，从而可以转化为函数与的图象在上有交点的问题，再分离参数得到，设，通过求导判断的单调性，求的值域即可得到答案. 【详解】由题意可知，函数上存在点关于原点的对称点在函数的图象上， 可以转化为函数关于原点对称的函数与的图象有交点， 函数关于原点对称的函数为即， 所以，与在上有交点， 由得，设，即与在上有交点，   ，令，得，所以在上单调递增， 令，得，所以在上单调递减， 所以，， 又由，，，所以， 所以要想有交点，的取值范围为， 故选：B. 【点睛】方法点睛：分离参数解决图象交点问题 将参数移一边，即，从而只需要研究这一个函数的性质，从而得到参数的取值范围. 2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，表示出切线方程，将点代入，则关于切点横坐标的方程有三个实根，通过分离参数，将问题转化为两个函数图象有三个不同交点的问题求解即可． 【详解】由，得， 设切点为,，过切点的切线方程为， 代入点坐标化简为，即这个方程有三个不等式实根， 令，求导得到， 由，得，由，得，或， 故函数上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故得,结合，， 当时，，时，， 得， 故选：D．    ( 题型 10 ) 双变量问题 .1．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的曲线上点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若有两个极值点其中，求的最小值. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义得到，，得到结果；（2）对函数求导分情况讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（3）构造函数研究函数的单调性，得到函数的变化趋势，进而得到函数最值． 【详解】（1）当时，所以， ，又， 过切点的切线方程为， 即：. （2）由题意得：，, 令, ①当,即，则恒成立， 即恒成立，在上单调递增. ②当时，即，令,即， 解得：或 令，解得： 综上，当时，的单调增区间为， 当时，单调增区间为， 单调减区间为. （3）由（2）知，，， 由题意知，是方程的两根, ，， ， 令 当时，, 所以， 在上单调递减， 即的最小值为. 2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可； （2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证. 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. ( 题型 11 ) 导数的实际应用 1．（23-24高三上·内蒙古通辽·期末）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（    ） ①，②，③，，④ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意可知其导函数上存在两点的导函数值乘积为；对每一个函数进行求导，逐个判断即可. 【详解】，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件； ，所以恒成立，不满足条件； ，，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件； ，所以，函数单调递增，且，，其导函数上存在两点的导函数值的乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件. 故选：C. 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【详解】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B ( 题型 12 ) 导数的新概念 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 2．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用导数求出切线的斜率，利用两平行线间的距离求解即可. 【详解】根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方. ∵，∴，由，可得，此时. ∴曲线在处的切线方程为，即：. 直线与直线的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为2. 故选：D. 2．（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 【详解】，，则所求切线切点坐标为， ，有，则所求切线斜率为， 所求的切线方程为，即. 故选：B 3．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：A． 【点睛】方法点睛： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质可求出，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 易知，所以，即有，得到， 所以， 函数定义域为, 得到，所以， 故， 有，此时，函数为奇函数， 即，满足题意， 所以，定义域为， 当时，， 函数，在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递增； 当时，， ， 由，得到 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极小值点，当时，， 结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图， 又在区间上有最小值，所以，解得， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出的解析式，对求导，根据极值的定义求出的极小值，要使在区间上有最小值，即的极小值在，解不等式即可. 5．（多选）（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）设函数.（   ） A．为奇函数 B．图象过二四象限 C．的导数； D．值域为 【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性定义、单调性分析判断ABD；求出函数的导数，并利用基本不等式判断C. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，为奇函数，A正确； 对于B，函数在R上都单调递增，则在R上单调递增， 当时，，当时，，因此图象不过二四象限，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，的取值集合为，则的取值集合为， 而的取值集合为，因此的取值集合为， 由为奇函数，得当时，的取值集合为，所以值域为，D正确. 故选：ACD 6．（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）函数．下列说法中正确的有（   ） A．当时，函数的对称中心是 B．，使在上单调递减 C．当时，若恰有两个零点，则实数的值唯一，且 D．当时，恒成立，则 【答案】ACD 【分析】代入的值后整理函数解析式，由得对称性通过平移知道的对称性，判断A选项；求函数的导函数，由二次函数的性质知道函数在上函数值的正负，即可判断B选项；由导函数求函数的极值点，恰有两个零点等价于函数的极值点为零点，判断C选项；整理不等式，构造两个新函数，在分别求导，求得导函数为0时的两根，通过讨论的范围，通过函数的单调性求和函数的最值，然后建立不等式组求得的取值范围，判断D选项. 【详解】， ∵关于点对称，∴函数的对称中心是，A选项正确； ∵是开口向上的二次函数，所以当时，，所以B选项错误； 当时，，， 令，则或，显然当时，，不合题意， ∴，由二次函数的性质可知函数存在两个极值点， 要想恰有两个零点，则或，∴，C选项正确； 当时，，，则， 令， 则， ∵恒成立， ∴或 ①当，即时，当时，，即函数均为减函数， 恒成立，，解得，无解； ②当，即时，当时，，即函数均为增函数，当时，，即函数均为减函数， ∵恒成立 ∴， 令， ， 令， 则所以函数在上单调递增， ∵当时， ∴， 所以函数，即在上单调递增，由∵， ∴解得，∴； 综上所述：，D 正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，在研究不等式在已知区间上恒成立问题时，一般可以利用导函数来求函数的单调区间，对于含参的函数，需要通过讨论参数的范围，然后得到函数的单调性，然后求出函数的最值来建立不等式即可. 7．（22-23高三上·内蒙古包头·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求导，然后求出和，再利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由已知， ，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即 故答案为： 8．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）一个同时具有下列性质①②③的函数 . ①； ②当时，； ③是偶函数. 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，逐项验证①②③，即可得出结论. 【详解】由题意可知函数为偶函数且在上为减函数，可取， 对于①，，满足条件； 对于②，由于，所以当时，，满足条件； 对于③，函数的定义域为， ，， 故函数为偶函数； 综上所述，函数满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 9．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）函数与函数公切线的斜率为 . 【答案】1或 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为； 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即 又易知，整理可得， 即，即，解得或； 因此可得斜率为或. 故答案为：1或 10．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数，当时，恒成立.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用参变量分离法可知不等式对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由时恒成立，得在上恒成立， 即恒成立，设，，则， ， 当时，，当，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值， 所以，得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于在恒成立，可利用参变量分离法，并构造函数，再利用导数求出从而求解. 11．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性即可； （2）结合（1）中的单调性，首先可以判断时不符合题意，然后结合的大致趋势，可以画出和时的大致图象，结合图象分析出时仅有一个实数解，时，仅当最小值小于时，满足题意，最后构造关于的函数，利用函数的单调性和得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为， 因为， 所以， 当时，， 所以在上单调递增； 当时， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 所以在上单调递增，在单调递减， 当时， 令，则， 解得， 令，则， 解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减，在单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，所以方程不可能有两个不同的实数解，不符合题意； 当时，在上单调递增，在单调递减； 令，得， 所以，解得， 所以时，，时，， 且当时，，当时，， 所以函数的大致图象如图所示，    由图可知，方程仅有一个实数解，不符合题意； 当时，在上单调递减，在单调递增； 令，得， 所以，解得， 所以时，，时，， 且当时，，当时，， 所以函数的大致图象如图所示，    由图可知，若方程有两个不同的实数解， 则， 所以，即， 令， 所以， 所以函数在时单调递减， 又因为， 所以由，得， 即的取值范围为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题，以及函数零点个数问题，解题的关键在于利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性，并结合函数的大致趋势画出函数的大致图象，然后将零点个数问题转化为函数图象的交点问题来求解. 12．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数可得在区间上的极值； （2）求出分、讨论，可得答案； （3）当时只需证明，设，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 在区间上有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为， 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时， 若，则，从而； 若，则，从而， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，只需证明：， 即证成立， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 可得，即，得证. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$