10.2 事件的相互独立性（一）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2 事件的相互独立性 学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.(重点) 刘雨萌 引言 前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？ 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。 刘雨萌 新知探究 问题1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.你觉得事件A发生与否会影响B发生的概率吗？计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以AB={(1，0)}. 由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=，P(AB)=. 于是P(AB)=P(A)P(B). 结论：积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积. 刘雨萌 新知探究 问题2 一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点. 而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}, B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, 于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积. 刘雨萌 知识梳理 设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立. 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件 ，不可能事件，都与任意事件相互独立。 这是因为必然事件 总会发生，不会受任何事件是否发生影响； 同样，不可能事件总不会发生，也不受任何事件是否发生影响。 当然它们也不影响其他事件是否发生. 刘雨萌 典例分析 例1　　　判断下列事件是否为相互独立事件. (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”. “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件. ，，，二者不是相互独立事件. 刘雨萌 巩固提升 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件. 跟踪训练1　一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球. (1)记事件A=“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”，B=“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”； (2)记事件A=“从口袋内不放回地抽取2个球，第一次抽到红球”，B=“从口袋内不放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”. 试分别判断(1)(2)中的A，B是否为相互独立事件. 相互独立事件 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以A，B不是相互独立事件. 刘雨萌 新知探究 问题3 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与,与B，与是否独立，你有什么发现？ 例如证① 由事件的相互独立性定义知， 相互独立。 刘雨萌 知识梳理 如果事件A与事件B相互独立，那么A与 ， 与B，与也都相互独立. 刘雨萌 典例分析 教材251页例1 例2 一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}, B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,2),(2,1)} 所以 此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立. 刘雨萌 巩固提升 跟踪训练　一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则事件A1与是 A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 √ 学习笔记154页例2 跟踪训练　若P(AB)=，P()=，P(B)=，则事件A与B的关系是 A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 √ 刘雨萌 典例分析 例3 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 教材251页例2 分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先分别求A,B的对立事件A,B的概率，并利用A,B,A,B构建相应的事件。 刘雨萌 (1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义， 得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72 解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则 =“甲脱靶”， =“乙脱靶”，由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与 , 与B, 与 都相互独立,由已知可得， P(A)=0.8,P(B)=0.9,P( )=0.2,P( )=0.1 方法2.由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中把”的概率为1-P( )=1-0.02=0.98. (3)事件“两人都脱靶”= ,所以P( )=P( )P( )=0.2×0.1=0.02 (2)“恰好有一人中靶”=A ∪ B,且A 与 B互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(A ∪ B)=P(A )+P( B) 　　　　　　　　=P(A)P( )+P( )P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26 (4)方法1:事件“至少有一人中靶”=AB∪A ∪ B,且AB,A 与 B两两互斥，所以P(AB∪A ∪ B)=P(AB)+P(A )+P( B)=0.98. 刘雨萌 跟踪训练3　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； 巩固提升 (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率. 记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与与B，都是相互独立事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6. (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C=AB，所以P(C)=P(AB) =P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. （2）记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D=B，所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3. 刘雨萌 (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率. 记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一　则事件E包括B，A，AB，且它们两两互斥. 所以P(E)=P(B∪A∪AB)=P(B)+P(A)+P(AB)=0.5×0.6+0.5×0.4+ 0.5×0.6=0.8. 方法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件. 所以P(E)=1-P()=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8. 刘雨萌 16 典例分析 教材252页例3 例4 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为0.75，乙每轮猜对的概率为2/3.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率 解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立性假定，得 设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立， 所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1) 刘雨萌 新知探究 问题4 教材252页练习2 设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}, B={a,c},C={a,d}.请验证A,B,C三个事件两两独立，但P(ABC) 刘雨萌 互斥事件 相互独立事件 定义 概率公式 (1)列表比较 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)解决概率问题关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 课堂小结 刘雨萌 19 广东省阳江市第一中学周如钢 随堂演练 1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是 A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 √ 2.国庆节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 A. B. C. 　D. √ 刘雨萌 随堂演练 3.如果甲、乙通过面试的概率分别为，，那么两人中恰有一人通过的概率为 A. B. C. 　D. √ 4.已知A，B是相互独立事件，且P(A)=，P(B)=，则P(A)=　　　　，P()=　　　　.  刘雨萌 课后作业 韩语班：教材252页 练习1-4，习题10.2 4班：课后作业55 1-10必做，11-16选做 5班：课后作业55 1-14必做，15、16选做 刘雨萌 本节内容结束 判断两个事件是否相互独立的方法： (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． $$